Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.



рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
?k- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (?) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2?)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до?, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ? 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 5 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

Преобразование Фурье представляет собой наиболее широко используемое средство преобразовать произвольную функцию от времени в набор ее частотных составляющих на плоскости комплексных чисел. Это преобразование может быть применено для апериодических функций для определения их спектров, и в этом случае комплексный оператор s может быть заменен на/со:

С целью определения наиболее интересных частот может быть использовано численное интегрирование на комплексной плоскости.

Для ознакомления с основами поведения этих интегралов рассмотрим несколько примеров. На Рис. 14.6 (слева) приведен импульс единичной площади во временной области и его спектральный состав; в центре - импульс такой же площади, но большей амплитуды, а справа - амплитуда импульса бесконечна, однако его площадь по-прежнему равна единице. Правая картинка особенно интересна тем, что спектр импульса с нулевой шириной содержит все частоты с равными амплитудами.

Рис. 14.6. Спектры импулъсовразной ширины, по одинаковой пяошрди

В 1822 г. французский математикЖ. Б. Ж. Фурье (J. B.J. Fourier) показал в своей работе, посвященной вопросам теплопроводности, что любая периодическая функция может быть разложена на исходные компоненты, включающие частоту повторения и набор гармоник этой частоты, причем каждая из гармоник имеет свою амплитуду и фазу по отношению к частоте повторения. Основные формулы, используемые при Фурье-преобразовании,таковы:

где A() представляет собой компоненту постоянного тока, а А п и В п - гармоники основной частоты порядка и, находящиеся соответственно в фазе и противофазе с ней. Функция/(*), таким образом, является суммой этих гармоник и Ло-

В случаях, когда f{x) симметрична относительно тс/2, т. e. f{x) на области от л до 2л = -f{x) на области от 0 до л, и отсутствует компонента постоянного тока, формулы Фурье-преобразования упрощаются до:

где n = 1, 3,5, 7…

Все гармоники являются синусоидами, только часть из них находится в фазе, а часть - в противофазе с основной частотой. Большинство форм сигналов, встречающихся в силовой электронике, могут быть разложены на гармоники этим манером.

Если преобразование Фурье применить к прямоугольным импульсам длительностью 120°, то гармоники будут составлять набор порядка k = би ± 1, где n - одно из целых чисел. Амплитуда каждой гармоники h по отношению к первой связана с ее номером соотношением h = l//e. При этом первая гармоника будет иметь амплитуду, в 1.1 раза большую, чем амплитуда прямоугольного сигнала.

Преобразование Фурье выдает амплитудное значение для каждой гармоники, но, так как все они являются синусоидальными, среднеквадратичное значение получится просто делением соответствующей амплитуды на корень из 2. Среднеквадратичное значение сложного сигнала представляет собой корень квадратный из суммы квадратов среднеквадратичных значений каждой гармоники, включая первую.

При работе с повторяющимися импульсными функциями полезно рассмотреть рабочий цикл. Если повторяющиеся импульсы на Рис. 14.7 имеют среднеквадратичное значение X за время А, то среднеквадратичное значение за время В будет равно X(A/B) 1 ‘ 2 . Таким образом, среднеквадратичное значение повторяющихся импульсов пропорционально корню квадратному из значения рабочего цикла. Применив этот принцип к прямоугольным импульсамдлительностью 120° (рабочий цикл 2/3) с единичной амплитудой, получим среднеквадратичное значение (2/3) 1/2 = 0.8165.

Рис. 14.7. Определение среднеквадратичного значения (RMS) для повторяющихся

импульсов

Интересно проверить этот результат путем суммирования гармоник, соответствующих упомянутой последовательности прямоугольных импульсов. В Табл. 14.2 приведены результаты этого суммирования. Как видно, все совпадает.

Таблица 14.2. Результаты суммирования гармоник, соответствующих

периодическому сигналу с рабочим циклом 2/3 и единичной амплитудой

Номер гармоники

Амплитуда гармоники

Суммарное среднеквадратичное значение

Для целей сравнения можно сгруппировать любой набор гармоник и определить соответствующий общий уровень гармонических искажений. Среднеквадратичное значение сигнала при этом определяется по формуле

где h\ - амплитуда первой (основной) гармоники, а h„ - амплитуда гармоник порядка n > 1.

Компоненты, ответственные за искажения, могут быть записаны отдельно как

где n > 1. Тогда

где Fund - первая гармоника, а коэффициент нелинейньа искажений {THD) получится равным D/Fund.

Хотя анализ прямоугольной последовательности импульсов весьма интересен, он редко применяется в реальном мире. Коммутационные эффекты и другие процессы делают прямоугольные импульсы больше похожими на трапецеидальные, или, в случае с преобразователями, с передним фронтом, описываемым выражением 1 cos(0) и задним фронтом, описываемым зависимостью cos(0), где 0 < 0

логарифмическим масштабом наклон соответствующих участков этого графика составляет -2 и -1.Для систем с типовыми значениями реактанса изменение наклона примерно приходится на частоты от 11-й до 35-й гармоники сетевой частоты, причем при увеличении реактанса или тока в системе частота изменения наклона снижается. Практический результат от всего этого состоит в меньшей значимости высших гармоник, чем можно подумать.

Хотя увеличение реактанса способствует уменьшению гармоник высших порядков, обычно это не выполнимо. Более предпочтительным для уменьшения гармонических составляющих в потребляемом токе является увеличение числа импульсов при выпрямлении или преобразовании напряжения, достигаемое сдвигом фаз. Применительно к трансформаторам эта тема была затронута в гл. 7. Если тиристорный преобразователь или выпрямитель питается от обмоток трансформатора, соединенных звездой и треугольником, а выходы преобразователя или выпрямителя соединены последовательно или параллельно, то получается 12-пульсационное выпрямление. Номера гармоник в наборе теперь получаются k = \2n ± 1 взамен k = 6и + 1, где n - одно из целых чисел. Взамен гармоник 5-го и 7-го порядкатеперь появляются гармоники 11-го и 13-го порядков, амплитуда которых существенно меньше. Вполне возможно применение еще большего числа пульсаций, и, например, в больших источниках питания для электрохимических установок используются 48-пульсационные системы. Так как в больших выпрямителях и преобразователях используются наборы соединенных параллельно диодов или тиристоров, дополнительная стоимость фазосдвигающих обмоток в трансформаторе в основном определяет и его цену. На Рис. 14.8 показаны преимущества 12-пульсационной схемы перед 6-пульсационной. Гармоники 11-го и 13-го порядка в 12-пульсационной схеме имеют типовое значение амплитуды, равное примерно 10% от первой гармоники. В схемах с большим числом пульсаций гармоники имеют порядок k = pn + 1, где p - число пульсаций.

Для интереса отметим, что пары наборов гармоник, которые просто сдвинуты друг относительно друга на 30°, не взаимоуничтожаются в 6пульсационной схеме. Токи этих гармоник проникают назад через трансформатор; таким образом, требуется дополнительный сдвиг фаз для получения возможности их взаимного уничтожения.

Не все гармоники находятся в фазе с первой. Например, в трехфазном наборе гармоник, соответствующем последовательности прямоугольных импульсов 120°, фазы гармоник меняются в соответствии с последовательностью -5-я, +7-я, -11-я, +13-я и т.д. При разбалансировке в трехфазной цепи могут возникать однофазные компоненты, что влечет за собой утраивание гармоник с нулевым фазовым сдвигом.

Рис. 14.8. Спектры 6и 12-пульсациоиных преобразователей

Изолирующие трансформаторы часто рассматриваются как панацея от проблем с гармониками. Эти трансформаторы добавляют некоторый реактанс в систему и тем самым способствуют снижению уровня высших гармоник, однако, кроме подавления токов нулевой последовательности и электростатической развязки, проку от них немного.

Начнем с простой схемы, позволяющей рассмотреть основные концепции, которые мы используем в дальнейшем для более сложных схем. На рис. 7.1 показано входное напряжение V BX.p = 1 В, это синусоидальная волна с частотой f =1 кГц и максимальным значением 1 В (действующим значением V вх =√2). Чтобы обеспечить выходное напряжение, которое является нелинейной функцией входного, в качестве усилителя используется источник напряжения Е, управляемый напряжением (ИНУН). В этом примере зависимость выходного напряжения от входного отображается функцией

f (x ) = 1 + х + х ².

Рис. 7.1. Схема с нелинейной связью входного и выходного напряжений

Эта функциональная связь отображается в команде Е c помощью полиномиальных коэффициентов. Общий вид полинома:

f (х ) = k 0 + k 1 х + k 2 х ².

Чтобы перейти к зависимости нашего примера, используем три последних числа команды ввода Е. Мы хотим провести гармонический анализ, чтобы увидеть, какие из гармоник присутствуют в выходном напряжении, но сначала попробуем определить, чего же мы должны ожидать.

Прежде чем перейти к разложению временных зависимостей в ряд Фурье, необходимо выполнить анализ для переходных процессов (программу transient analysis в PSpice).

Поэтому необходимо использовать обе команды.TRAN и.FOUR. Обычно выполняется анализ переходных процессов для полного периода основной частоты. В этом примере f =1 кГц; следовательно, Т =1/f =1 мс. Гармонический анализ отражает частотные компоненты вплоть до девятой гармоники. Для большинства целей этого должно быть более чем достаточно. Если показывать более высокие гармоники, они не будут иметь большого значения из-за накопления ошибки округления в результатах.

Чтобы дать более подробное описание входного напряжения V BX , используем форму sin для описания источника. Параметры sin(а , b , с ,…) означают: а - постоянная составляющая, b - максимальное значение, с - частота, d - задержка, е - коэффициент затухания и f - фаза.

При включении во входной файл команды.FOUR производится гармонический анализ, дающий разложение в ряд Фурье для результатов анализа переходного процесса. Параметры для этой команды включают частоту основной гармоники и переменные, для которых будет получено разложение. В этом примере такими переменными будут периодические функции входного V(1) и выходного V(2) напряжений. Входной файл:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); аргументы для смещения, максимума и частоты

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; последние 3 значения для k0, k1, k2

Проведите анализ, затем получите графики V(1) и (V)2. Убедитесь, что V(1) - точная копия входного напряжения V ВХ. Выходное напряжение должно показать компоненту постоянного тока и сложную волну с максимумом в 3 В. Из теоретического изучения рядов Фурье можно заключить, что этот график напоминает периодическую волну, состоящую из основной и второй гармоник. Целесообразно распечатать копию этого графика для будущего изучения. На рис. 7.2 показаны эти графики.

Рис. 7.2. Графики напряжений v 1 и v 2 для схемы на рис. 7.1

Рассмотрим также выходной файл для этой схемы (рис. 7.3), на котором показаны следующие значения для напряжений узлов: V(1)=0 В и V(2)=1 В. Это означает, что хотя входной сигнал не имеет смещения, выходное напряжение имеет смещение V(2)=1 В.

На рис. 7.3 в таблице компонентов ряда Фурье для V(1) не все компоненты имеют реальные значения. Так, значение постоянной составляющей теоретически должно быть равно нулю, но анализ дает очень малое значение 3.5Е-10, не равное в точности нулю из-за накопления ошибки округления.

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000); arguments are offset, peak, and frequency

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; last 3 1s are for k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000Е+03 3.134Е-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000Е-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126Е-08 5.126Е-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000Е+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268Е+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189Е+02 -1.189Е+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.999939E+01 PERCENT

Рис. 7.3. Выходной файл с результатами анализа схемы на рис. 7.1

Первая гармоника представляет собой основную гармонику при f =1 кГц. Показана амплитуда первой гармоники ряда Фурье и ее фаза 2.4Е-7 (тоже почти ноль). Если считать, что этот компонент выражен формулой

b n sin(nx ),

то это означает, что b 1 =1, n =1, где индекс 1 соответствует основной частоте. Другие гармоники могут игнорироваться, так как их амплитуды на много порядков меньше основной гармоники. Именно основная гармоника отражена на графике V(1) в Probe, получена она из данных на рис. 7.3.

Другая таблица компонентов Фурье на рис. 7.3 относится к V(2). При просмотре различных гармоник обратите внимание, что имеется постоянная составляющая в 1,5 В. Почему 1,5 В? Составляющая k 0 =1 В дает только часть этого значения, остальные же 0,5 В связаны со второй гармоникой. Теория показывает, что при гармоническом искажении по второй гармонике в выходном напряжении кроме собственно второй гармоники с амплитудой b 2 появляется и связанная с искажениями по второй гармонике постоянная составляющая со значением b 0 =b 2 . Амплитуда основной частоты в разложении равна b 1 =1 В, амплитуда второй гармоники b 2 =0,5 В, ее фазовый угол составляет -90°. Более высокие гармоники имеют намного меньшую величину и их можно не учитывать.

В качестве упражнения по гармоническому синтезу вы можете нарисовать отдельные гармоники и сложить их, чтобы предсказать результат, который вы получите в Probe для V(2). Не забудьте учесть постоянную составляющую и соответствующие амплитуды и фазы для основной и второй гармоник. После того как вы нарисуете результирующее колебание, вам, несомненно, будет приятно узнать, что PSpice может сделать эту нудную работу за вас.

Сложение гармоник и разложение на гармонические составляющие

Создадим новый входной файл, соответствующий рис. 7.4, на котором к схеме рис. 7.1 добавлены еще два независимых источника тока.

Мы использовали два источника только для того, чтобы вы могли получить основную и вторую гармоники на одном графике с выходным напряжением. Дополнительные источники питают подключенный параллельно 1-омный резистор. Такое изменение первоначальной схемы совсем не обязательно, просто оно оказалось удобным при данном наборе параметров. Новый входной файл представляет собой расширение предыдущего файла и выглядит следующим образом:

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000);аргументы - смещение, амплитуда и частота

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; последние 3 записи for k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0.5 0.5 2000 0 0 -90)

Рис. 7.4. Схема для анализа сложения гармоник и разложения в ряд Фурье

Перед выполнением анализа подробно рассмотрим описания для i 1 и i 2 . Для гармонического синтеза используются результаты разложения в ряд Фурье из предыдущей задачи. Убедитесь, что вы понимаете смысл всех параметров; затем выполните анализ в Probe, получив графики I(i1), I(i2) и I(r). Хотя они и представляют собой токи, но численно они равны напряжениям, так как проходят через сопротивление в 1 Ом. На рис. 7.5 представлены результаты. Теперь можно установить, что первый график представляет собой основную гармонику, второй - вторую гармонику, а третий - результат сложения их в резисторе r . Конечно, можно получить график V(3) вместо I(r). При этом ось Y будет размечена в единицах напряжения, а не тока. Убедитесь, что сумма двух первых кривых дает третью кривую в различные моменты времени. Чтобы сделать график более компактным, мы использовали смещение в 1 В для основной гармоники и в 0,5 В - для второй гармоники. Фактически основная гармоника имеет нулевое смещение.

Рис. 7.5. Основная и вторая гармоники и результат их сложения

Искажение по второй гармонике в усилителях

Когда рабочая область усилителя выходит за пределы линейной части характеристики, это приводит к некоторым искажениям. Первое приближение к реальной выходной кривой достигается включением в модель второй гармоники, показывающей, что переходная функция, связывающая i c и i b (ток коллектора и базы), является некоторой параболой. Обычно искажение намного меньше, чем принятое в нашем первом, вводном, примере, который был показан на рис. 7.1. Более точный полином задается формулой

f (x ) = 0,1 + x + 0,2x ².

Достаточно просто преобразовать первоначальный входной файл, чтобы он отражал эту ситуацию. Команда ввода для зависимого источника Е примет вид:

Е 2 0 poly(1) 1,0 0.1 1 0.2; последние три величины для k0, k1, k2

а весь входной файл будет:

Проведите анализ и получите в Probe графики V(1) и V(2). Вы увидите, что обе волны выглядят, как настоящие синусоиды. Для более точного сравнения удалите график V(2) и получите вместо него график V(2)–0,1. Это позволит сблизить обе кривые. При сравнении волн не забудьте, что V(1) представляет собой просто синусоидальный сигнал, a V(2) - комбинацию основной и второй гармоник. В этом примере вторая гармоника значительно меньше по амплитуде, чем в предыдущем. Вы можете распечатать результаты исследования, приведенные на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Основная и вторая гармоники и результат их сложения

Выйдя из программы Probe, рассмотрите выходной файл для этого случая. Входное напряжение V(1) точно такое же, как и в предыдущем примере, но V(2), конечно, отличается. Обратите внимание, что постоянная составляющая выходного напряжения равна 0.2 В, а вторая гармоника при f =2 кГц имеет амплитуду 0,1 В и фазовый угол -90°. Другие гармоники намного меньше и ими можно пренебречь. В заключение определите общее гармоническое искажение, которое очень близко к 10%, как и ожидалось. Искажение по второй гармонике определено как b 1 /b 2 где b 1 и b 2 - коэффициенты при второй и основной гармониках соответственно. Эти данные приведены на рис. 7.7.

Fourier Analysis; Second-Harmonic Distortion, Power Amplifier

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994Е-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706Е+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 2.208405E-06 PERCENT

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 9.999880E+00 PERCENT

Рис. 7.7. Результаты анализа искажений по второй гармонике в усилителях

Интермодуляционные искажения

Используем простую схему (рис. 7.8), чтобы показать, как две синусоидальные волны объединяются в нелинейном устройстве, использующем довольно близкие друг к другу частоты, а именно f 1 =1 кГц и f 2 =1,5 кГц. Нелинейное смешивание происходит в зависимом источнике е-типа VCVS (ИНУН). Полином, описывающий связь, содержит больше членов, чем в предыдущем примере:

f (x ) = 1 + x + х ² + x ³.

Рис. 7.8. Схема для демонстрации интермодуляционных искажений

Токи, суммируясь, создают в R= 1 Ом напряжение V(1), численно равное току в R. Таким образом, входное напряжение V(1) можно воспринимать как напряжение в нелинейном смесителе. Поскольку синусоидальные волны имеют различные частоты, их сумма представляет собой сложное периодическое колебание с частотой, отличной от частоты исходных составляющих (частотой биений). Входной файл:

Проведите моделирование и получите в Probe V(1). Выберите Plot, X-Axis Settings…, User Defined, и установите диапазон от 0 до 10 мс, чтобы достичь установившегося входного напряжения. Этот график показан на рис. 7.9. Чтобы подтвердить, что он является фактически суммой гармонических составляющих с частотами 1 и 1,5 кГц, выберем Trace, Fourier, переходя из временной в частотную область. Изменим теперь границы по оси X , установив частотный диапазон от 4 до 12 кГц. Убедитесь, что параметры осей соответствуют нужным частотам и ожидаемым амплитудам. Фактически при f =1 кГц напряжение равно 0,991 В, а при f =1,5 кГц оно составляет 0,979 В. Не забывайте, что при этом синтезе присутствует некоторая ошибка накопления. На рис. 7.10 показана соответствующая амплитудно-частотная характеристика.

Рис. 7.9. Выходное напряжение при интермодуляционных искажениях

Рис. 7.10. Спектральный состав входного напряжения

Выберите затем Trace, End Fourier, чтобы возвратиться во временную область, удалите график V(1) и получите график напряжения на выходе смесителя V(2). Напомним, что смеситель представляет собой ИНУН с полиномиальной связью, заданной функцией f (х ). Временная зависимость представляет собой график, подобный графику V(1), но при более внимательном рассмотрении можно обнаружить, что формы напряжений значительно отличаются. Кое-какие подсказки можно получить из гармонического состава этого сложного колебания, так что необходимо будет опять перейти в частотную область, выбрав диапазон по оси X от 0 до 5 кГц. Мы рекомендуем распечатать частотный спектр для дальнейшего изучения. Теоретический анализ компонентов частотной модуляции позволяет предсказывать и проверять результаты анализа на PSpice. Обратите внимание, что имеется постоянная составляющая в 2 В наряду со значительными составляющими в интервале от 0,5 до 4,5 кГц (смотри рис. 7.11 для частотного спектра).

Рис. 7.11. Спектральный состав выходного напряжения

Сложение гармоник

Простейшим для теоретического анализа является случай гармонического воздействия на цепь, состоящую из линейных компонентов, таких как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, и, как вы знаете, при этом реакция представляет собой гармоническое колебание с той же частотой входного сигнала. Различные падения напряжения в схеме также представляют собой гармонические колебания с той же частотой, отличающиеся только по амплитуде и фазе. Используем простую схему, чтобы проиллюстрировать некоторые из этих свойств. На рис. 7.12 показаны три источника напряжения, питающие схему, содержащую резисторы R= 1 Ом и R 1 =R 2 =0,001 Ом. Последние два резистора требуются, чтобы сделать источники напряжения неидеальными. Используя эту схему, мы можем показать сложение синусоидальных волн в Probe. Входной файл:

Addition of Sine Waves of the Same Frequency

*Порядок следования параметров в сложном выражении для гармонических

*составляющих: смещение, амплитуда, частота, задержка, затухание, фаза

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); фаза=45 градусов

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); фаза=90 градусов

Рис. 7.12. Схема для сложения гармонических сигналов одной частоты

Выполните моделирование и в Probe получите графики v(1), v(2), и v=v(1)+v(2). Возникающие в результате графики показывают напряжение v 2 с максимумом, отстающим приблизительно на 45° от максимума v 1 , и суммарное напряжение v 1 +v 2 с максимумом, расположенным между их максимальными значениями. Убедитесь, что максимум v 1 =1 В достигается в момент 251 мкс (90°), максимум v 2 =1 В - в момент 131 мкс (47,16°) и максимум v 1 +v 2 =1,8381 В - в момент 171 мкс (61,56°). Удалите эти графики и получите временные зависимости для других комбинаций напряжений, например, для v(1), v(3) и v(1)+v(3). Основываясь на вашем умении складывать векторы напряжений, попытайтесь предсказать значение амплитуды для суммы напряжений до того, как получите графики в Probe, показанные на рис. 7.13.

Рис. 7.13. Результат сложения гармонических сигналов одной частоты

Сложение основной и второй гармоник

Во входном файле, соответствующем схеме на рис. 7.12, можно легко варьировать параметры и состав источников питания. Удалим v 3 и удвоим частоту напряжения v 2 , чтобы она стала частотой второй гармоники для v 1 . Конечно, результирующее колебание сразу станет несинусоидальным. Фактически форма его будет зависеть от соотношения фазовых углов v 1 и v 2 . Пусть в рассматриваемом примере обе гармоники достигают максимума одновременно. Входной файл для такого случая:

Adding Sine Waves; Fundamental and 2nd Harmonic Peaking Together

Проведите моделирование и получите в Probe графики v(1), v(2), и v=v(1)+v(2). Поскольку v 1 и v 2 достигают максимума одновременно, максимум результирующего колебания равен 2 В, но когда основная гармоника достигает отрицательного максимума, вторая гармоника возвращается к положительному максимуму, и их сумма обращается в нуль. Ясно, что суммарное колебание (v 1 +v 2) несинусоидально. Эти графики приведены на рис. 7.14.

Рис. 7.14. Результат сложения первой и второй гармоник

Амплитудная модуляция

Интересный график колебания, модулируемого по амплитуде, может быть получен в PSpice при использовании функции перемножения гармонических колебаний с существенно различными частотами. На рис. 7.15 показана схема, моделирующая такое устройство. Первым гармоническим источником является v 1 с частотой 1 кГц. Второй источник v 2 имеет частоту 20 кГц. Перемножение осуществляется в зависимом источнике е, представляющем собой ИНУН (VCVS). Резисторы необходимы, чтобы избежать появления плавающих потенциалов. Входной файл:

e 3 0 poly (2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Рис. 7.15. Умножитель для модуляции синусоидального колебания

Пять последних записей в команде ввода полиномиального источника: 0 0 0 0 1. Вспомним, что это - значения коэффициентов в членах k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 и k 4 v 1 v 2 . Все значения равны 0 за исключением k 4 , который равен 1.

Проведите моделирование и получите в Probe графики v(1) и v(3). На общем графике намеренно не построена гармоническая составляющая с частотой 20 кГц, чтобы не усложнять понимание процессов. Результирующее колебание v(3) имеет классический вид амплитудно-модулированного колебания. В этом примере обе входные гармоники v 1 и v 2 имеют амплитуду 1 В. Графики приведены на рис. 7.16.

Рис. 7.16. Результат исследования амплитудно-модулированных сигналов

Не выходя из Probe, добавьте график другого входного напряжения v(2) так, чтобы отобразить все напряжения: v(1), v(2) и v(3). Теперь этот график содержит, наряду с двумя другими волнами, и несущую, давая законченное изображение. Получите распечатку для дальнейшего изучения, затем удалите график v(2) и выберите Trace, Fourier. Установите по оси X границы диапазона от 0 до 30 кГц. В частотной области теперь отображаются составляющие с частотами 1,19 и 21 кГц. Последние компоненты представляют собой верхнюю и нижнюю побочные частоты, возникшие при такой модуляции. Определите амплитуду каждой из этих волн. Вспомните тригонометрическое тождество,

(sin a )(sin b ) = 0.5,

которое объясняет амплитуды 0,5 В для частот боковой полосы. Обратитесь к рис. 7.17, на котором изображен частотный спектр. (Маркеры были удалены для получения более ясной картинки.) Проведите анализ с различными относительными амплитудами для напряжения модуляции v 1 , чтобы видеть, какое влияние это оказывает на глубину модуляции т . Например, когда v 1 имеет амплитуду 0,8, что является глубиной модуляции и что напоминает результирующее колебание?

Рис. 7.17. Частотный спектр амплитудно-модулированного колебания

Обзор новых команд PSpice, применяемых в данной главе

.FOUR<частота>*<выходные переменные>

Например, запись

показывает, что выполняется разложение в ряд Фурье. Разложение может быть выполнено только после получения временной зависимости для установившегося режима, полученной при анализе переходного процесса. Такая команда должна присутствовать во входном файле:

TRAN <шаг><момент окончания>

Задачи

Гармонический анализ дает постоянную составляющую основную гармонику, и все гармоники до девятой включительно. Показаны их амплитуды и фазы с фактическими и относительными значениями. В предшествующем примере были проанализированы V(1) и V(2) и их компоненты. Обычно для осуществления гармонического анализа используют команду .PROBE: однако вместо нее могут использоваться также команды .PRINT или .PLOT.

7.1. На рис. 7.18 полином для Е имеет форму

f (x ) = х + х ².

Рис. 7.18

При использовании v i,пик =1 В, f =1 кГц и V= 1 В сравните v 0 с v i . Предскажите приблизительный гармонический состав выходного напряжения; затем выполните анализ на PSpice, который покажет гармонический состав как входного, так и выходного напряжений. В команде.FOUR используйте напряжения V(2, 1) и V(3). Исследуйте выходной файл и определите гармонический состав V(3).

7.2. В задаче 7.1, используйте Trace, Fourier, чтобы получить гармонический состав V(3). Отображая V(2,1) и V(3), установите по оси X границы от 0 до 5 кГц.

7.3. Выполните анализ для задачи 7.1 при

f (x ) = 2 + 0,1x ².

Предскажите приблизительный гармонический состав выходного напряжения; затем получите графики V(2,1) и V(3), чтобы проверить точность ваших предсказаний.

7.4. На рис. 7.4 показан полиномиальный источник Е. Он был задан как

f (х ) = 1 + х + х ².

Замените полином на

f (х ) = х + х ²,

и выполните синтез и разложение, изменяя i 1 и i 2 так, чтобы ток I(r) повторял по форме напряжение V(2).

7.5. В разделе «Искажение по второй гармонике в усилителях» настоящей главы замените полином на следующий:

f (х ) = 0,05 + х + 0,1х ²,

и проведите анализ на PSpice так, как предложено в тексте. Получите график V(1) и (V)2–0,05, чтобы сравнить переменные составляющие входного и выходного напряжений. Предскажите значения постоянной составляющей выходного напряжения, амплитуды и фазы второй гармоники и общего гармонического искажения. Проверьте ваши предсказания, пользуясь результатами Probe и выходного файла.

7.6. В разделе «Интермодуляционные искажения» мы объединили две синусоидальные волны различных частот. Выполните анализ при частотах f 1 =2 кГц и f 2 = 2,5 кГц, оставив выражение для f (х ) без изменения. Измените команду.TRAN соответственно задаче. Выполняйте операции в том же порядке, что и в текстовом примере, чтобы проверить ваши предсказания о гармоническом составе выходного напряжения.

7.7. В разделе «Сложение гармоник» на рис. 7.12 показаны параллельные ветви с тремя источниками напряжения. Сложение гармоник было скорее математическим, чем физическим. Измените схему так, чтобы все источники напряжения были включены последовательно, затем выполните анализ снова. Получили ли вы те же результаты?

7.8. Выполните анализ, чтобы сложить следующие гармонические напряжения одной частоты f =1 кГц:

v 1 = 0,5∠0°В, v 2 =1∠45°В и v 23 =1,5∠90° В.

При этом:

а) Найдите максимальное значение (v 1 +v 2), а также момент времени и фазовый угол, при котором достигается максимум.

б) Повторите пункт а) для (v 1 +v 3).

При использовании режима курсора и нескольких графиков на одном экране используйте клавишу [Ctrl ] и стрелки ← и →, чтобы выбрать, по какому из графиков должен двигаться курсор.

7.9. Чтобы иллюстрировать эффект сложения гармоник с близкими частотами, выполните анализ, как в задаче 7.8, для следующего набора параметров: v 1 =1∠0° В, f 1 =1 кГц, v 1 =1∠0° В, f 2 =1,2 кГц, v 1 =1∠0° В и f 3 =1,4 кГц:

а) Получите графики v 1 , v 2 и (v 1 +v 2). Найдите максимальное значение (v 1 +v 2).

б) Получите графики v 1 , v 3 и (v 1 +v 3). Найдите максимальное значение (v 1 +v 3).

7.10. Решите задачу из раздела, касающегося амплитудной модуляции, положив v 1 =1 В при 1 кГц, и изменив v 1 так, чтобы глубина модуляции равнялась 0,5. Выполните анализ на PSpice, чтобы показать полученные результаты.

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полез¬ного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара.

Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и напряжений в сложной цепи:

1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры которых зависят от мгновенных значений тока и напряжения , (например, выпрямительные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени ;

3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу конструктивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных главах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электрических цепей при воздействии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

Из курса математики известно, что любая периодическая функция времени f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

Здесь А0 – постоянная составляющая, Ak*sin(kωt+ αk) k-я гармоническая составляющая или сокращенно k-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими.

Амплитуды отдельных гармоник Ак не зависят от способа разложения функции f(t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник αk зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих:

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

Если k-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме:

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или может быть выражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам, известным из курса математики:

На практике исследуемая несинусоидальная функция f(t) обычно задается в виде графической диаграммы (графически) (рис. 46.1) или в виде таблицы координат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выполнить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математическим выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, получила название аппроксимации функции.

В настоящее время гармонический анализ несинусоидальных функций времени f(t) выполняется, как правило, на ЭВМ. В простейшем случае для математического представления функции применяется кусочно-линейная аппроксимация. Для этого вся функция в интервале одного полного периода разбивается на M=20-30 участков так, чтобы отдельные участки были по возможности ближе к прямым линиям (рис. 1). На отдельных участках функция аппроксимируется уравнением прямой fm(t)=am+bm*t, где коэффициенты аппроксимации (am, bm) определяются для каждого участка через координаты его конечных точек, например, для 1-го участка получим:

Период функции Т разбивается на большое число шагов интегрирования N, шаг интегрирования Δt=h=T/N, текущее время ti=hi, где i - порядковый номер шага интегрирования. Определенные интегралы в формулах гармонического анализа заменяются соответствующими суммами, их подсчет выполняется на ЭВМ по методу трапеций или прямоугольников, например:

Для определения амплитуд высших гармоник с достаточной точностью (δ≤1%) число шагов интегрирования должно составлять не менее 100k, где k - номер гармоники.

В технике для выделения отдельных гармоник из несинусоидальных напряжений и токов применяют специальные приборы, называемые гармоническими анализаторами.

Преобразования Фурье и Хартли трансформируют функции времени в функции частоты, содержащие информацию об амплитуде и фазе. Ниже приведены графики непрерывной функции g (t ) и дискретной g (τ), где t и τ — моменты времени.

Обе функции начинаются в нуле, скачком достигают положительного значения и экспоненциально затухают. По определению преобразование Фурье для непрерывной функции есть интеграл по всей вещественной оси, F (f ), а для дискретной функции — сумма по конечному набору отсчётов, F (ν):

где f , ν — значения частоты, n — число выборочных значений функции, а i =√ –1 — мнимая единица. Интегральное представление больше подходит для теоретических исследований, а представление в виде конечной суммы — для расчётов на компьютере. Интегральное и дискретное преобразования Хартли определяются аналогичным образом:

Хотя единственная разница в обозначениях между определениями Фурье и Хартли заключается в присутствии множителя перед синусом, тот факт, что у преобразования Фурье есть и действительная, и мнимая часть, делает представления этих двух преобразований совершенно различными. Дискретные преобразования Фурье и Хартли имеют по существу ту же форму, что и их непрерывные аналоги.

Хотя графики выглядят по-разному, из преобразований Фурье и Хартли можно вывести, как показано ниже, ту же информацию об амплитуде и фазе.

Амплитуда Фурье определяется квадратным корнем из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Амплитуда Хартли определяется квадратным корнем из суммы квадратов H (–ν) и H (ν). Фаза Фурье определяется арктангенсом мнимой части, делённой на действительную часть, а фаза Хартли определяется суммой 45° и арктангенса от H (–ν), делённого на H (ν).