Két változó komplex függvényének differenciálja. Elméleti anyag. Problémák az exponenciális függvényekkel és logaritmusokkal

A komplex függvény deriváltjának képletét bizonyítjuk. Részletesen megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor egy összetett függvény egy vagy két változótól függ. Általánosítást hajtunk végre tetszőleges számú változó esetén.

Tartalom

Lásd még: Példák a képlet használatára egy komplex függvény deriváltjára

Alap képletek

Itt bemutatjuk a következő képletek levezetését egy komplex függvény deriváltjára.
Ha akkor
.
Ha akkor
.
Ha akkor
.

Egy változó komplex függvényének származéka

Jelölje az x változó függvényét komplex függvényként a következő formában:
,
ahol vannak bizonyos funkciók. A függvény differenciálható az x változó bizonyos értékei esetén. A függvény a változó értékén differenciálható.
Ekkor a komplex (összetett) függvény differenciálható az x pontban, és származékát a következő képlet határozza meg:
(1) .

Az (1) képlet a következőképpen is írható:
;
.

Bizonyíték

Bemutatjuk a következő jelölést.
;
.
Van egy változófüggvény, és van egy változófüggvény és. De kihagyjuk ezen függvények érveit, nehogy összezavarjuk a számításokat.

Mivel a függvények és differenciálhatók az x, illetve ezeken a pontokon, ezeknek a függvényeknek a származékai vannak, amelyek a következő határok:
;
.

Vegye figyelembe a következő funkciót:
.
Az u változó rögzített értékének függvénye. Nyilvánvaló, hogy
.
Azután
.

Mivel a függvény egy ponton differenciálható függvény, ezen a ponton folyamatos. Ezért
.
Azután
.

Most megtaláljuk a származékot.

.

A képlet bevált.

Következmény

Ha egy x változó függvénye összetett függvény komplex függvényeként ábrázolható
,
akkor deriváltját a képlet határozza meg
.
Itt van néhány megkülönböztethető funkció.

Ennek a képletnek a bizonyítására egymás után kiszámítjuk a deriváltot egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint.
Tekintsünk egy összetett függvényt
.
Származéka
.
Vegye figyelembe az eredeti funkciót
.
Származéka
.

Két változó komplex függvényének származtatása

Most hagyjuk, hogy egy komplex függvény több változótól függjön. Először fontolja meg komplex függvény két változóban.

Legyen egy x változótól függő függvény két változó összetett függvényeként ábrázolva a következő formában:
,
ahol
és vannak változó függvények az x változó valamely értékéhez;
- két változó függvénye, amelyek ezen a ponton differenciálhatók. Ekkor a komplex függvény a pont valamely szomszédságában van definiálva, és származéka van, amelyet a következő képlet határoz meg:
(2) .

Bizonyíték

Mivel a függvények és egy ponton differenciálhatóak, ennek a pontnak néhány szomszédságában vannak definiálva, egy ponton folyamatosak, és származékaik egy ponton léteznek, amelyek a következő határok:
;
.
Itt
;
.
Ezen funkciók folytonossága miatt a következőket tehetjük:
;
.

Mivel a függvény egy ponton differenciálható, akkor ennek a pontnak valamelyik szomszédságában van definiálva, ezen a ponton folyamatos, és növelése a következő formában írható fel:
(3) .
Itt

- a függvény növekedése, ha az argumentumait az értékek növelik, és;
;

- a függvény parciális deriváltjai a változók vonatkozásában és.
A és, fix értékeihez, valamint a változók függvényei és. Hajlamosak a nullára, és:
;
.
Azóta és akkor
;
.

Funkciónövelés:

. :
.
Póttag (3):



.

A képlet bevált.

Több változó komplex függvényének származéka

A fenti következtetés könnyen általánosítható arra az esetre, amikor egy komplex függvény változóinak száma kettőnél nagyobb.

Például, ha f az három változó függvénye, azután
,
ahol
, és vannak változó függvények az x változó valamely értékéhez;
- differenciálható függvény, három változó, a ,, pontban.
Ezután a függvény differenciálhatóságának meghatározásából a következőket kapjuk:
(4)
.
Mivel a folytonosság miatt
; ; ,
azután
;
;
.

Ha elosztjuk (4) a határértékkel, és a következőket hajtjuk végre:
.

Végül fontolja meg a leggyakoribb eset.
Egy x változó függvénye ábrázolható n változó komplex függvényeként a következő formában:
,
ahol
az x változó valamely értékéhez differenciálható függvények vannak;
pontban n változó differenciálható függvénye
, , ... , .
Azután
.

Lásd még:

A részleges deriváltokat olyan feladatokban használják, amelyek több változóból állnak. A megtalálás szabályai pontosan ugyanazok, mint egy változó függvényeire, azzal az egyetlen különbséggel, hogy az egyik változót a differenciálás időpontjában állandónak (állandó számnak) kell tekinteni.

Képlet

A $ z (x, y) $ két változó függvényének részleges deriváltjai a következő formában íródnak: $ z "_x, z" _y $, és a következő képletekkel találhatók meg:

Az elsőrendű részleges származékok

$$ z "_x = \ frac (\ részleges z) (\ részleges x) $$

$$ z "_y = \ frac (\ részleges z) (\ részleges y) $$

Másodrendű részleges származékok

$$ z "" _ (xx) = \ frac (\ részleges ^ 2 z) (\ részleges x \ részleges x) $$

$$ z "" _ (yy) = \ frac (\ részleges ^ 2 z) (\ részleges y \ részleges y) $$

Vegyes származék

$$ z "" _ (xy) = \ frac (\ részleges ^ 2 z) (\ rész x \ részleges y) $$

$$ z "" _ (yx) = \ frac (\ részleges ^ 2 z) (\ részleges y \ részleges x) $$

Egy komplex függvény részleges deriváltja

a) Legyen $ z (t) = f (x (t), y (t)) $, akkor egy komplex függvény deriváltját a következő képlet határozza meg:

$$ \ frac (dz) (dt) = \ frac (\ részleges z) (\ részleges x) \ cdot \ frac (dx) (dt) + \ frac (\ részleges z) (\ részleges y) \ cdot \ frac (dy) (dt) $$

b) Legyen $ z (u, v) = z (x (u, v), y (u, v)) $, akkor a függvény parciális deriváltját a következő képlet határozza meg:

$$ \ frac (\ részleges z) (\ részleges u) = \ frac (\ részleges z) (\ részleges x) \ cdot \ frac (\ részleges x) (\ részleges u) + \ frac (\ részleges z) ( \ részleges y) \ cdot \ frac (\ részleges y) (\ részleges u) $$

$$ \ frac (\ részleges z) (\ részleges v) = \ frac (\ részleges z) (\ részleges x) \ cdot \ frac (\ részleges x) (\ részleges v) + \ frac (\ részleges z) ( \ részleges y) \ cdot \ frac (\ részleges y) (\ részleges v) $$

Egy implicit módon meghatározott függvény részleges származékai

a) Legyen $ F (x, y (x)) = 0 $, majd $$ \ frac (dy) (dx) = - \ frac (f "_x) (f" _y) $$

b) Legyen $ F (x, y, z) = 0 $, majd $$ z "_x = - \ frac (F" _x) (F "_z); z" _y = - \ frac (F "_y) ( F "_z) $$

Példák megoldásokra

1. példa

Elsőrendű részleges származékok keresése $ z (x, y) = x ^ 2 - y ^ 2 + 4xy + 10 $

Megoldás

Ha meg akarjuk találni a részleges deriváltot a $ x $ vonatkozásában, feltételezzük, hogy $ y $ állandó (szám): $$ z "_x = (x ^ 2 -y ^ 2 + 4xy + 10)" _ x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x + 4y $$ Ahhoz, hogy megtalálja a függvény részleges deriváltját a $ y $ vonatkozásában, határozza meg $ y $ konstansként: $$ z "_y = (x ^ 2 -y ^ 2 + 4xy + 10)" _ y = -2y + 4x $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Mi biztosítjuk részletes megoldás... Képes lesz megismerni a számítás menetét, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy időben szerezzen hitelt a tanártól!

Válasz

$$ z "_x = 2x + 4y; z" _y = -2y + 4x $$

2. példa

Keresse meg a $ z = e ^ (xy) $ másodrendű függvény parciális deriváltjait

Megoldás

Először meg kell találnia az első származékokat, majd ezek ismeretében megtalálhatja a másodrendű származékokat. $ Y $ -ot konstansnak állítjuk be: $$ z "_x = (e ^ (xy))" _ x = e ^ (xy) \ cdot (xy) "_ x = ye ^ (xy) $$ Most állítsuk be a $ x $ értéket állandónak: $$ z "_y = (e ^ (xy))" _ y = e ^ (xy) \ cdot (xy) "_ y = xe ^ (xy) $$ Az első származékok ismeretében hasonlóan megtaláljuk a másodikat. $ Y $ konstans beállítása: $$ z "" _ (xx) = (z "_x)" _ x = (ti ^ (xy)) "_ x = (y)" _ xe ^ (xy) + y (e ^ (xy)) " _ x = 0 + ti ^ (xy) \ cdot (xy) "_ x = y ^ 2e ^ (xy) $$ $ X $ értéket állítottunk be állandónak: $$ z "" _ (yy) = (z "_y)" _ y = (xe ^ (xy)) "_ y = (x)" _ ye ^ (xy) + x (e ^ (xy)) " _ y = 0 + x ^ 2e ^ (xy) = x ^ 2e ^ (xy) $$ Most még meg kell találni a vegyes származékot. $ Z "_x $ -ot $ y $ -val lehet megkülönböztetni, és $ z" _y $ -ot $ x $ -val lehet megkülönböztetni, mivel a $ z tétel "" _ (xy) = z "" _ (yx) $ $$ z "" _ (xy) = (z "_x)" _ y = (ye ^ (xy)) "_ y = (y)" _ ye ^ (xy) + y (e ^ (xy)) " _ y = ti ^ (xy) \ cdot (xy) "_ y = yxe ^ (xy) $$

Válasz

$$ z "_x = ye ^ (xy); z" _y = xe ^ (xy); z "" _ (xy) = yxe ^ (xy) $$

4. példa

Legyen $ 3x ^ 3z-2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ egy $ F (x, y, z) = 0 $ implicit függvényt. Keresse meg az első sor részleges deriváltjait.

Megoldás

A függvényt a következő formátumban írjuk fel: $ F (x, y, z) = 3x ^ 3z-2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $, és keressük meg a származékokat: $$ z "_x (y, z - const) = (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z -5)" _ x = 3 x ^ 2 z - 4 $$ $$ z "_y (x, y - const) = (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z -5)" _ y = 3z ^ 2 $$

Válasz

$$ z "_x = 3x ^ 2 z - 4; z" _y = 3z ^ 2; $$

Legyen definiálva a z - f (x, y) függvény valamely D tartományban az x0y síkon. Vegyünk egy belső pontot (x, y) a D tartományból, és adjunk x -nek olyan Ax növekményt, hogy a pont (x + Ax, y) 6 D (9. ábra). A mennyiséget a z függvény x -hez viszonyított részleges növekményének nevezzük. Állítsuk össze a relációt Egy adott (x, y) ponthoz ez a kapcsolat a Definíció függvénye. Ha Ax - * 0 esetén az ^ aránynak véges határa van, akkor ezt a korlátot a z = f (x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x független változó tekintetében az (x, y) pontban, és jfc szimbólummal jelölve (vagy / i (x, jj), vagy z "x (x, Tehát definíció szerint, vagy, ami ugyanaz, Hasonlóképpen, Ha és n független változó függvénye, akkor észrevesszük, hogy Arz az y változó állandó értékével, az Atz pedig az x változó állandó értékével számítjuk ki, a részderivatívok definíciói a következőképpen fogalmazhatók meg: Parciális derivátumok A két változó függvényének részderiváltjainak geometriai jelentése több változó függvénye Szükséges feltételek a függvény differenciálhatóságához Elegendő feltételek több változó függvényeinek differenciálhatóságához Teljes differenciális Részleges differenciálok Részleges derivált komplex függvényének származékai a z = / (x, y függvény x vonatkozásában ) ennek a függvénynek a szokásos deriváltja az x vonatkozásában, abból a feltételezésből számítva, hogy y állandó; a parciális derivált az y függvényben a z - / (x függvényből , y) az y vonatkozásában deriváltjának nevezzük, azzal a feltételezéssel számolva, hogy x állandó. Ebből következik, hogy a részderivatívák kiszámításának szabályai egybeesnek az egy változó függvényére bizonyított szabályokkal. Példa. Keresse meg a függvény parciális deriváltjait 4 Van helyettesítésünk *. A z = f (x, y) függvény létezése a részderivatívák adott pontján minden érv tekintetében nem zárja ki a függvény ezen a ponton való folytonosságát. Tehát a függvény nem folyamatos a 0 (0,0) pontban. Azonban ezen a ponton a jelzett függvénynek részleges deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Ez abból a tényből következik, hogy f (x, 0) = 0 és / (0, y) = 0, tehát két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése. Legyen megadva az S felület háromdimenziós térben azzal az egyenlettel, ahol f (x, y) egy függvény, amely bizonyos D tartományban folytonos, és részleges deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Tisztázzuk ezen származékok geometriai jelentését a Mo (xo, yo) 6 D pontban, amely megfelel az f (x0) yo)) pontnak a z = f (x) y) felületen. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot az M0 pontban, feltételezzük, hogy z csak az x argumentum függvénye, míg az y argumentum megtartja az y = yo konstans értéket, vagyis a fi (x) függvényt geometriailag ábrázolja a görbe L, amely mentén az S felületet metszi az y sík kb. Egy változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján f \ (xo) = tan a, ahol a az a szög, amelyet az L egyenes érintője képez a JV0 pontban az Ox tengelyével (10. ábra) . De így a parciális derivált ($ |) egyenlő az Ox szög és az N0 pont közötti érintő érintőjével a z = f (x, y) felület metszetében kapott görbéhez a sík y Hasonlóképpen megkapjuk, hogy a 6. §. Több változó függvényének differenciálhatósága Legyen definiálva a z = f (x, y) függvény valamely D tartományban az xOy síkon. Vesszünk egy (x, y) € D pontot, és az x és y kiválasztott értékeihez megadjuk az Ax és Du tetszőleges lépéseit, de úgy, hogy a pont. Meghatározás. A z = f (x, y) függvényt differenciálható * pontnak (x, y) 2E € -nak nevezzük, ha ennek a függvénynek az Δx, Δy növekménynek megfelelő teljes növekedése ábrázolható olyan formában, ahol A és B nem függ Δx -től és Δy -től (de általában x -től és y -tól függ), és egy (Dx, Du) és /? (Dx, Du) hajlamosak nullára, mint Dx és Du nullára. ... Ha a z = f (x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény növekményének A Dx 4-BDy, Dx és Dy vonatkozásában lineáris részét teljes differenciálnak nevezzük ennek a függvénynek az (x, y) pontjában, és a dz szimbólummal van jelölve: Bizonyos értelemben példa. Legyen r = x2 + y2. Bárhol (z, y) és bármely Dx és Dy esetében itt van. hogy a és / 3 hajlamosak a nullára, mint Dx és Du a nullára. Definíció szerint, ezt a funkciót az xOy sík bármely pontján differenciálható. Meg kell jegyezni, hogy érvelésünkben az esetet formálisan nem zárták ki, ha a Dx, Dy növekmények külön -külön vagy akár mindkettő egyszerre nulla. Az (1) képlet tömörebben írható, ha bevezetjük a kifejezést (a pontok közötti távolság (használva írhatunk.) Du 0, vagy röviden, ha p 0. Az (1) képlet, kifejezve a a z = f (xt y) függvény differenciálhatósága az (x, y) pontban, így most a következő formában írható fel, a fenti 6.1. példában egy differenciálható függvény 4. tétel. Ha egy függvény z = f (x, y) bizonyos ponton differenciálható, akkor ezen a ponton folyamatos. Az i függvény növekedése ezen a ponton "" e, amely megfelel az argumentumok J és Dy növekményeinek, f (x, y) folytonos b tétel. Ha egy r = f (x, y) függvény differenciálható egy adott ponton, akkor ezen a ponton vannak $ gu parciális deriváltak. Legyen a z = f (x, y) függvény differenciálható az (x, y) ponton. Ekkor a függvény ^ Δz növekménye, amely megfelel az argumentumok Δx, Ay növekményeinek, az (1) alakban ábrázolható. Ha figyelembe vesszük (1) Dx Φ 0, Dy = 0, akkor azt kapjuk, hogy mivel az utolsó egyenlőség jobb oldalán az A értéke nem függ, Ez azt jelenti, hogy az (x, y) pontban van az r = f (x, y) függvény részleges deriváltja x -hez képest, és ugyanezen okfejtéssel láthatjuk (x, van egy zy függvény parciális deriváltja is, és a tételből következik, hogy hangsúlyozzuk, hogy Az 5. tétel csak az (x, y) pontban állítja a részderivatívák létezését, de ezen a ponton semmit sem mond a folytonosságukról, valamint az (x, y) szomszédságában tanúsított viselkedésükről 6.2. több változó függvényeinek differenciálhatósága Mint ismeretes, az egyik változó y = f (x) függvényének differenciálhatóságához szükséges és elegendő feltétel az x0 pontban az, hogy létezik egy véges f "(x) derivált x0. Abban az esetben, ha a függvény több változótól függ, a helyzet sokkal bonyolultabb: nincsenek szükséges és elegendő differenciálhatósági feltételek két független x, y változó z = f (x, y) függvényéhez; van l Keresse meg a szükséges feltételeket külön (lásd. fent) és külön - elegendő. Ezeket az elégséges feltételeket több változó függvényeinek differenciálhatóságához a következő tétel fejezi ki. Tétel c. Ha egy függvénynek vannak részleges f £ és f "v deriváltjai valamely szomszédságban vékony (xo, yo), és ha ezek a deriváltak folytonosak az (xo, yo) pontban, akkor a z = f (x, y) függvény differenciálható a pontban (x- Példa: Tekintsük a függvényt Részleges deriváltak Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Szükséges feltételek a függvény differenciálhatóságához Elég feltételek többek függvényeinek differenciálhatóságához változók Összes differenciál Részleges differenciálok Egy komplex függvény származékai Mindenhol definiált. Az adott függvényt a 0 (0,0) pontban találjuk, és ennek növekedése élesedik Az f (x, y) = függvény differenciálhatóságához 0 (0,0) pont, szükség van arra, hogy az e (Dx, Dy) függvény 0 és Dy legyen. Az A0 értéket vesszük fel. Ekkor az (1) képletből kapunk Ezért az f (x, y) = függvény nem differenciálható a 0 (0,0) pontban, bár ezen a ponton van fa és f "r. az eredményt azzal magyarázzák, hogy az f "z és f" t származékok a 7. § pontjában szakaszosak. Teljes differenciálmű. Részleges differenciálok Ha a z - f (z> y) függvény differenciálható, akkor a dz differenciálja egyenlő. Legyen i - 1n (x + y2). Akkor Hasonlóképpen, ha u =) n független változó differenciálható függvénye, akkor a kifejezést z = f (x, y) függvény lean differenciáljának nevezzük az x változó tekintetében; a kifejezést a z = f (x, y) y függvény parciális differenciáljának nevezzük. A (3), (4) és (5) képletekből az következik, hogy egy függvény teljes differenciálja a részdifferenciáinak összege: Vegye figyelembe, hogy a z = f (x, y) függvény teljes Az növekménye általában nem egyenlő a részleges növekmények összegével. Ha egy (x, y) pontban a z = f (x, y) függvény differenciálható, és a dz Φ 0 differenciál ezen a ponton, akkor teljes növekedése csak az utolsó tagok összegével tér el a lineáris részétől Ay - »0 végtelen kicsi, magasabb rendű, mint a lineáris rész feltételei. Ezért dz Ф 0 -nál a differenciálható függvény növekményének lineáris részét a függvény növekményének fő részének nevezzük, és hozzávetőleges képletet használunk, amely annál pontosabb lesz, minél kisebb az abszolút értékben az érvek közül az. §nyolc. Egy komplex függvény deriváltjai (a megfelelő pontok (x, y) nem maradnak a D tartományon kívül. Ha az értékeket helyettesítjük a z = f (x, y) függvénybe, akkor egy t változó összetett függvényét kapjuk, és a megfelelő értékeknél az f (x, y) függvény differenciálható, akkor a komplex függvénynek a t pontban deriváltja van és M Adunk t egy Δt növekményt, majd x és y megkapja az Ax és Δy egyes lépéseit. Ennek eredményeként (J) 2 + (Δy) 2 Φ 0 esetén a z függvény egy bizonyos Δt növekményt is kap, amely a z = / (x, y) függvény differenciáltsága miatt az (x , y) ábrázolható olyan formában, ahol a) hajlamosak a nullára, mivel Ax és Du hajlamosak a nullára. Hosszabbítsuk ki az a és / 3 értékeket Ax = Ay = 0 értékre az a beállításával. Ezután a (J = Du = 0 esetén folyamatos lesz. Tekintsük, hogy egy adott összefüggés állandó, hipotézis szerint a származékok létezésének vannak korlátai ^ és a ζ pontban az x = y (t) és y = függvények ezen a ponton lévő folytonosságát követi, tehát 0-nál J és Dy is nullára hajlik, ami viszont az egyenlőség jobb oldalát vonja maga után ( 2) a 0 -nál a korlát egyenlő a So -val, létezik a 0 -nál és a (2) bal oldalának határa, azaz létezik egyenlő átlépés az egyenlőség (2) határához, mint At - »0, Megkapjuk a kívánt képletet Abban az esetben, ha z tehát x komplex függvénye, akkor az (5) képletben van egy részleges derivált funadi y) az x vonatkozásában, amikor kiszámítjuk, hogy az f (x , y), az y argumentumot konstansnak tekintjük, és ott van a z függvény teljes deriváltja a vonatkozásában x független változó, amelynek kiszámításakor az y kifejezést az f (x, y) kifejezésben már nem tekintjük konstansnak, hanem az x függvényének tekintjük: y = tp (x) t, és ezért z függőségét x -en teljesen figyelembe vesszük. Példa. Keresse meg és jg, ha 2. Nézzük most több változó komplex függvényének differenciálását. Hagyjuk viszont, hogy hol, hogy Tegyük fel, hogy a () pontban folyamatos parciális derivált u, 3 van? És a megfelelő (x, y) pontban, ahol az f (x, y) függvény differenciálható. mutassuk meg, hogy ilyen körülmények között a z = z (() y) komplex függvénynek a t7) pontban vannak deriváltjai és u, és ezekre a deriváltakra találunk kifejezéseket. Ne feledje, hogy ez az eset nem különbözik jelentősen a már vizsgált esettől. Valóban, ha z different -hez képest differenciálódik, akkor a második független rj változót konstansnak tekintjük, aminek eredményeként x és y egy x '= c), y = c) változó függvényeivé válik, és a derivátum kérdését pontosan ugyanúgy oldjuk meg, mint a derivált kérdését a (3) képlet származtatásakor. , megtaláljuk Példa: Keresse meg a z = x2 y - xy függvény parciális deriváltjait, ha x - y = Ha egy komplex függvényt képletekkel adunk meg úgy, hogy a megfelelő feltételek mellett rendelkezzünk Az adott esetben, amikor I = ahol Részleges deriváltak Geometriai két változó függvényének parciális deriváltjainak jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Szükséges feltételek a függvény differenciálhatóságához Elegendő feltételek több változó függvényeinek differenciálhatóságához Teljes differencia. Egy komplex függvény származékai Itt m a teljes parciális függvény származéka és az x független változó tekintetében, figyelembe véve mindkettőnek az x -től való teljes függőségét, beleértve z = z (x, y) és azok szempontjából, a ^ részleges derivált függvény, u = f (z, y, z) x vonatkozásában a k számításakor

Legyen z = ƒ (x; y) két x és y változó függvénye, amelyek mindegyike a független t változó függvénye: x = x (t), y = y (t). Ebben az esetben a z = f (x (t); y (t)) függvény egy független t változó összetett függvénye; x és y változók köztes változók.

44.4. Tétel. Ha z = ƒ (x; y) az M (x; y) pontban differenciálható függvény, D és x = x (t) és y = y (t) a t független változó differenciálható függvényei, akkor a derivált A komplex függvény z (t) = f (x (t); y (t)) képletével számítjuk ki

Adjuk meg a t független változót a Δt növekménynek. Ekkor az x = = x (t) és y = y (t) függvények Δх és Δу lépést kapnak. Ezek viszont a z függvény Az növekményét okozzák.

Mivel hipotézis szerint a z - (x; y) függvény differenciálható az M (x; y) pontban, teljes növekedése a következő formában ábrázolható:

ahol a → 0, β → 0, mint Δх → 0, Δу → 0 (lásd a 44.3. pontot). Osszuk el az Δz kifejezést Δt -vel, és lépjünk át a határértékre, mint Δt → 0. Ekkor Δх → 0 és Δу → 0 az x = x (t) és y = y (t) függvények folytonossága miatt (a tétel hipotézise szerint differenciálhatók). Kapunk:

Különleges eset: z = ƒ (x; y), ahol y = y (x), azaz z = ƒ (x; y (x)) egy független x változó összetett függvénye. Ez az eset az előzőre redukálódik, és a t változó szerepét x játssza. A (44.8) képlet szerint:

A (44.9) képletet a teljes derivált képletének nevezzük.

Általános eset: z = ƒ (x; y), ahol x = x (u; v), y = y (u; v). Ekkor z = f (x (u; v); y (u; v)) az u és v független változók összetett függvénye. Parciális származékai a (44.8) képlet segítségével az alábbiak szerint találhatók. A v rögzítése helyettesítjük a megfelelő parciális deriváltokkal

Hasonlóképpen kapjuk:

Így egy komplex függvény deriváltja (z) minden független változó (u és v) vonatkozásában megegyezik e függvény parciális deriváltjainak szorzatainak összegével (z) közbenső változói (x és y) tekintetében ) származékaik által a megfelelő független változó (u és v) tekintetében.

44.5. Keresse meg, hogy z = ln (x 2 + y 2), x = u v, y = u / v.

Megoldás: Keresse meg a dz / du (dz / dv - önállóan) képletet a (44.10) képlet segítségével:

Egyszerűsítse a kapott egyenlőség jobb oldalát:

40. Részváltozók részleges deriváltjai és teljes differenciálja.

Adjuk meg a z = ƒ (x; y) függvényt. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik megtartja értékét. Adjuk meg az x független változót Δx növekménnyel, és y értékét változatlanul. Ekkor z növekedést fog kapni, amelyet x részleges növekményének nevezünk x -ben, és ∆ x z -vel jelöljük. Így,

Δ x z = ƒ (x + Δx; y) -ƒ (x; y).

Hasonlóképpen megkapjuk z részleges növekedését y -ra vonatkozóan:

Δ y z = ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

A z függvény teljes Δz növekedését az egyenlőség határozza meg

Δz = ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Ha van határ

akkor a z = ƒ (x; y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az M (x; y) pontban az x változó vonatkozásában, és az egyik szimbólum jelöli:

Az M 0 (x 0; y 0) pont x -re vonatkozó részleges deriváltjait általában szimbólumokkal jelölik

A z = ƒ (x; y) parciális deriváltját az y változó vonatkozásában hasonló módon határozzuk meg és jelöljük:

Így a több (kettő, három vagy több) változó függvényének parciális deriváltját ezen változók egyikének függvényének deriváltjaként határozzuk meg, feltéve, hogy a fennmaradó független változók értékei állandóak. Ezért a ƒ (x; y) függvény parciális deriváltjait az egyik változó függvényének deriváltjainak kiszámításának képletei és szabályai találják meg (ebben az esetben x vagy y tekintendő állandónak).

44.1. Példa Keresse meg a z = 2y + e x2-y +1 függvény parciális deriváltjait. Megoldás:

Két változó függvényének részderiváltjainak geometriai jelentése

A z = ƒ (x; y) függvény grafikonja valamilyen felület (lásd a 12.1. Alszakaszt). A z = ƒ (x; y 0) függvény grafikonja e felület metszésvonala az y = y o síkkal. A derivált geometriai jelentése alapján egy változó függvényére (lásd a 20.2. Szakaszt) arra a következtetésre jutunk, hogy ƒ "x (xo; yo) = tan a, ahol a az Ox tengely és a z görbe z = ƒ (x; y 0) a Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) pontban (lásd 208. ábra).

Hasonlóképpen, f "y (x 0; y 0) = tanβ.

A Z = f (x, y) függvényt differenciálhatónak nevezzük a P (x, y) pontban, ha ΔZ teljes növekedése Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy + ω (Δx, Δy), ahol Δx és Δy - a megfelelő x és y argumentumok bármely lépése a P, A és B pont bizonyos szomszédságában konstans (nem függ Δx, Δy -tól),

ω (Δx, Δy) - végtelen kicsi, magasabb rendű, mint a távolság:

Ha egy függvény egy ponton differenciálható, akkor a teljes növekedése ezen a ponton két részből áll:

1. Az A ∙ Δx + B ∙ Δy függvény növekményének fő része - lineáris a Δx, Δy függvényében

2. És nemlineáris ω (Δx, Δy) - végtelen kicsi, magasabb rendű, mint a növekmény fő része.

A függvény növekedésének fő része Δx vonatkozásában lineáris, Δy -t ennek a függvénynek a teljes differenciáljának nevezzük, és a következőképpen jelöljük:Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy, Δx = dx és Δy = dy vagy két változó függvényének teljes differenciája:

Kijelző differenciálmű. Egy változó numerikus függvényének differenciálja és származéka. Származéktáblázat. Differenciálhatóság. ) Egy argumentumfüggvény, amely végtelenül kicsi, mint → 0, azaz

Most tisztázzuk az összefüggést egy ponton a differenciálhatóság és a derivált létezése között.

Tétel. A funkció érdekében f(x) ezen a ponton differenciálható volt NS , szükséges és elegendő, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen.

Származéktáblázat.