Konvex programozási feladatok. Konvex programozás

Számos gyakorlati gazdasági helyzeteket, a tanulmány tárgyát képező matematikai programozás, vagy nem lehet csökkenteni a lineáris feladatokat meg (még ha az ilyen linearizálást elő egy bizonyos szakaszában) próbál alaposabb megfontolást is vezet a linearitás.

A nemlineáris programozás leggyakoribb feladata a következőképpen alakítható ki:

meg kell határozni az x 1, x 2, ..., x n változók értékét, amelyek megfelelnek az M egyenletek vagy az űrlap egyenlőtlenségeinek

i \u003d 1, 2, ..., m.

és fizetni egy maximum (vagy legalábbis) funkciócél

f (x) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n).(2.2)

Tegyük fel, hogy az F és a g i nemlineáris meghatározott funkciók, B I ismert állandók. Általában úgy vélik, hogy minden vagy legalábbis bizonyos változóknak nem negatívnak kell lenniük.

A lineáris programozás bizonyos eseteiben feltételezzük, hogy az F és a G funkciók lineárisak, vagyis

A matematikai programozás bármely más feladata, amely nem tekinthető nemlineáris feladatnak.

A matematika megfelelő szakaszaiban a Maxima és a különböző típusú minimumok meghatározására szolgáló általános (klasszikus) módszereket fejlesztették ki. Azonban a problémák megoldásának ilyen általános megközelítése gyakorlatilag korlátozottan használható a numerikus eredmények megszerzéséhez, mivel a nemlineáris egyenletek nemlineáris rendszereinek megoldásához szükséges, és nem alkalmas a szélső szélsőség elérésére. Ezért a matematikai programozás, módszerek, amely alapul szolgálhat egy olyan algoritmus elsősorban vizsgálták, azaz a számítási eljárást egy numerikus megoldása speciális feladatok, amelyek speciális gazdasági alkalmazásokat. Megadjuk néhány ilyen feladatot.

Lineáris korlátozásokkal és nemlineáris funkciókkal ellátott feladatok. Azonban még ezeknek a feladatoknak is, a számítási módszereket csak olyan esetekben fejlesztették ki, ahol a cél funkció bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik. Különösen, például a funkciófunkció ábrázolható

ahol az F J (x j) függvényen át kell állítani néhány korlátozást. Ez az úgynevezett elválasztható funkció. Egy másik esetben a célfunkció lineáris és kvadratikus függvényeként rögzíthető:

Az ilyen típusú nemlineáris feladatokat kvadratikus programozási feladatoknak nevezik. Az optimális megoldás megtalálásához a D IJ értékei további korlátozást kell alkalmazniuk.

A nemlineáris korlátozásokkal rendelkező feladatok nehezebbek, mint a lineáris. Annak érdekében, hogy optimális megoldást kapjunk ezeken a feladatokban, nagy merev követelményeket kell bemutatni a G I és F funkciókhoz. Különösen a nemlineáris probléma optimális megoldása akkor érhető el, ha a nem lineáris egyenlőtlenségek által meghatározott G. korlátozások meghatározzák a változók térében lévő konvexet (lásd: 1., 3. §), és a funkciófunkció a Nemlineáris sima konvex vagy homorú funkció. A jövőben szigorú meghatározást kap a konvex és a konkáv funkciók. Itt csak azt kell jeleznie, hogy az F függvények működésének funkciója csak egy minimum létezését biztosítja, és az A konkavitás F tulajdonsága csak egy max. A korlátozások által meghatározott régióban. Ezen az algoritmusok a funkciófüggvény optimális értékének meghatározására szolgáló algoritmusok készülnek. Hiányában konvexitás vagy konkáv, a probléma megoldása matematikai programozás jelenlétén alapul a helyi mélypontra, illetve maximumok, hogy megtalálják a klasszikus módszerek az általános esetben.

Az osztályfeladat megfontolása általában a prezentációval kezdődik. a bizonytalan lagrange multiplikátorok módszere. Ehhez ezt / (x b ..., x ") és g (x b ... x ") - Folyamatos funkciók együtt saját parciális deriváltak, eltávolítjuk a feltételeket nemnegativitását változók és megfogalmazni a következő feladat a feltételes szélsőérték:

A döntése megtalálásához bemutatjuk lagrange multiplikátorok / = 1, t.és tedd fel az úgynevezett lagrange funkció:

megtaláljuk és egyenlővé teszik, hogy nulla magánszármazékai minden változóban

miután megkapta a rendszert p + T. Az ismeretlen xb-vel kapcsolatos egyenletek x n,

UI -,

Ha a funkció f (x h ..., x ") Pontosan van egy szélsősége, akkor van egy ilyen vektor (0\u003e \u003d (y, 0, ... y °) A (g (0), f (0)) pont a rendszer (2.23) megoldása. Következésképpen a rendszer megoldása (2.23), olyan pontot kapunk, amelyben a funkció (2.20) szélsőséges lehet. Továbbá a talált pontokat ugyanúgy vizsgálják, mint a feltétel nélküli szélsőség problémájának megoldása során.

Így a Lagrange multiplikátor módszer a következő lépéseket tartalmazza.

• 1. Töltse fel a Lagrange funkcióját.
• 2. Keresse meg magánszármazékokat XJ. és y, A Lagrange funkcióból, és egyenlővé tegye őket.
• 3. A rendszer megoldása (2.23), olyan pontokat találjon, amelyekben a célfunkciónak szélsősége lehet.
• 4. A szélsőségekre vonatkozó pályázók közül, hogy megtalálják a szélsőséget, és kiszámítsák a funkció értékeit f (x, ..., x ")ezekben a pontokon.

A fenti módszer alkalmazható a konvex programozási feladatokra, azaz Ahhoz, hogy a célfunkció konvex (vagy konkáv) és a korlátozások által meghatározott megengedett megoldások területe is konvex.

Meghatározás 1.Funkció f (X.,..., x n), Állítsa be a konvex készletet x Ha bármilyen pontnál hívott konvex X, x 2 nak,-nek Hideg Bármilyen számra x 0 x 1 egyenlőtlenség

2. meghatározás.Funkció/(*, h."), Konvex készleten állítsa be x úgynevezett homorú, ha bármilyen pontnál H. x, X 2 nak,-nek Hideg Bármilyen számra x 0 X.

3. meghatározás.A konvex programozás problémájának sok érvényes megoldása megfelel a szabályosság állapotának, ha legalább egy pont van XJ az elfogadható megoldások területe, amelyekre g ^ xj) \u003db H I. = 1, t.

1. tétel.A konvex programozás bármely helyi extrém problémája globális.

Meghatározás 4.A konvex programozási feladatok Lagrange funkciója egy funkció

ahol u, - lagrange multiplikátor.

5. meghatározás.Pont (X (0), T (0)) = (x, °, ..., x (', y, 0,..., u " ) hívott nyeregpont lagrange funkció, Ha egy

Két rövid tételt adunk, amelyek kiegészítőek.

Tétel 2.Optimális terv X (0)feladatok Np- ez

hol igen) egy nemlineáris, különbséggel ellátott függvény

hol van a gradiens funkció /

az A ponton "(0).

Bizonyíték.

Terjessze a célpontot Taylor sorozatában a pont szomszédságában X (())

hol Oh - Vektor kis lépések X (0);

Én a vektor normájának (hossza) kijelölése.

A kifejezésből (2.26) Ebből következik, hogy ha a vektor koordinátáinak bármilyen értéke x | 0)\u003e 0, akkor ez határozottan nulla derivatív lesz

, mivel máskülönben a koordináta x K. tud,

a változók többi részének rögzített értékeivel továbbra is minimalizálja a célfunkciót, csökkentve az x [0 értéket, ha a származék nagyobb, mint nulla, vagy növekszik xF. Ha egy derivatív kisebb

nulla. Ha x | 0) \u003d 0, akkor kell amennyiben

ellenkező esetben az érték csökkentése lenne f (x m), 4 0-ra növelve a DH * értékével, anélkül, hogy megváltoztatná a fennmaradó változók értékeit. Ezért mindenki számára nak nek Az egyenlőséget elvégzik:

A tétel bizonyítható.

Most meghatározzuk a szükséges és elegendő feltételeket a Lagrange funkció nyeregpontjának létezéséhez.

3. tétel.A ponthoz (10 * és 0)) a nem negatív koordinátáknál a megkülönböztető függvény nyereménypontja volt L (x, y),feltételeket kell teljesíteni:

Bizonyíték.

1) Szükségesség. Hagyja (x (0), y "(0)) - nyereménypont, azaz:

A (2.29) képlet megegyezik a kifejezéssel

A (2.29) és (2.30), a feltételek (2.27) és (2.28) teljesülnek. Az igény tehát bizonyult.

• 2) Megfelelőség. Feltételezzük, hogy a feltételek (2.27) és (2.28) teljesülnek. Terjedési funkció L (x, y) A Taylor sorozatában a pont szomszédságában

A bomlásból (2.31) és a feltételek mellett (2.27) és (2.28) következik, hogy

Az utolsó két kifejezés egyenértékű (2.29). A tétel bizonyítható.

A tételek által megadott tételek után a Kuna - Takker szinte nyilvánvaló tételét fogjuk megfogalmazni.

Theorem 4 (Kuna - Takcker).A probléma a konvex programozás (2.20) - (2.21), a beállított megengedett megoldások, amelyek az a tulajdonsága, rendszeresség, pont X (0) \u003d (xj 0 *, ..., x '0))), X, - 0 \u003e\u003e 0, / \u003d 1, p Az optimális terv akkor, és csak akkor, ha van ilyen vektor t \u003d (1 (0), ..., yi 0), y / 0)\u003e 0, / \u003d 1, t, Milyen pont (t (0), H 0\u003e) a Lagrange funkció nyeregpontja.

Ha a probléma a konvex programozás (2,20) - (2,21), a célfüggvény és korlátozások vannak folytonosan differenciálható, akkor a KUN-tétel - tűzőgép lehet egészíteni analitikai kifejezéseket, amelyek meghatározzák a szükséges és elégséges feltételeit a pont (x (0 ), az i (l),) a Lagrange funkció nyeregpontja volt, azaz A konvex programozás megoldása volt. Ezek kifejezések (2.27) és (2.28). Megfelelnek a kvadratikus programozás feladatainak. A végső megfogalmazáshoz több definíciót és egy tételet adunk.

Meghatározás 6.Egy négyzetes forma az X változóhoz képest [, ..., ..., x " E változók számszerű funkcióját nevezik:

7. meghatározás.Négyzetes forma F. úgynevezett pozitív / negatívan definiált, ha F (x)\u003e 0/ F (x) 0, a vektort alkotó változók összes értékéhez X.

Meghatározás 8.Négyzetes forma F. úgynevezett pozitív / negatív szintes, ha F (x ")\u003e O / yes ") x, és továbbá olyan változókészülék van - a vektor összetevője X " mit F (x ") \u003d 0.

5. tétel.A kvadratikus forma konvex / konkáv funkció, ha pozitív / negatívan szemedes.

Meghatározás9. A funkció értékének minimalizálása / maximalizálása

korlátozásokkal

ahol - pozitívan / negatívan félig meghatározott négyszögletes forma, hívott a négyzetes programozás feladata (ZKP).

Ehhez a feladathoz a Lagrange funkció rendelkezik az űrlapon:

Ha a Lagrange funkciónak nyeregpontja van, akkor a feltételek (2.27) vannak (2.28). A további változók bevitele, amelyek az egyenlőségben szereplő egyenlőtlenségeket (ezt a technikát használják, és az LP feladatainak megoldásakor) az űrlapon írjuk ezeket a feltételeket:

Az SCP döntésének megkereséséhez szükséges a lineáris algebrai egyenletek (2.32) rendszerének nem negatív oldatának meghatározása. Ez a megoldás megtalálható a mesterséges bázis módszere, a mesterséges célfunkció minimális értékének megtalálásához F \u003d ^ pj, Lombkorona-mesterséges változók. Módszer, kakiz-

ismeretes, hogy a végső lépések száma megtalálja az optimális tervet, vagy megállapítja a feladat alulékonyságát.

Tehát az SCP megoldás megtalálásának folyamata a következő lépéseket tartalmazza.

• 1. Töltse fel a Lagrange funkcióját.
• 2. Mint kifejezések (2.27), (2.28) rögzítik a szükséges és elegendő feltételeket a Lagrange funkció nyeregpontjának létezéséhez.
• 3. A mesterséges alapmód használata, állítsa be a Lagrange funkció nyeregpontjának hiányát, vagy koordinálja a koordinátáit.
• 4. Jegyezze fel a kezdeti feladat optimális megoldását, és keresse meg a célfunkció értékét.

Fontolja meg az elemi numerikus példa (1) Az I. L. Aculich "matematikai programozás példákban és célkitűzésekben." A termelési terv szerint a vállalkozásnak 180 terméket kell termelnie. Két technológiában készíthetők. Termelésben H. Termékek 1. módja a költségek összege xF. + 4, dörzsölje., És a gyártásban x 2 Termékek 2. módja egyenlő x +. 8x 2 dörzsölje. Határozza meg, hogy hány terméket kell végrehajtani a megrendelés költségeinek minimalizálására.

Döntés. A minimalizálása a következő funkciót követi:

körülmények között:

A Lagrange funkció ebben az esetben így fog kinézni:

Számítsa ki a funkció magánszármazékait X, x 2, u és egyenlővé tegyük őket:

Az első és a második egyenletben w. A jobb oldalon és a bal részek egyenlésével, nyilvánvaló vágások után kapunk:

Az egyenlet megoldása a rendszer harmadik egyenletével együtt, megtaláljuk ezt Ez a pont egy extremum kérelmezője.

A második magánszármazékok használatával nem nehéz megmutatni, hogy a talált pont feltételes minimális funkció /

A figyelembe vettek hasonló feladatok, sokan jelöli a gazdasági gyakorlatot. Igaz, a valódi feladatok általában nagy számú változó és korlátozás, ami lehetetlenné teszi őket a számítógép használata nélkül. A szabványosított szoftverek használatának hatékonyságát azonban az anyag kutatójának ismerete határozza meg a számítógép által végzett transzformációkkal. Segíti őt helyesen navigálni a különböző módszerek megoldására a módszerek, számítástechnikai eljárások és szoftverkomplexumok optimalizálási problémáinak megoldására.

Hogy biztosítsa a témát, vegye figyelembe az étkezést numerikus példa (No. 2). Keresse meg a maximális funkciót

körülmények között:

Döntés. Funkció / homorú, mert ez a lineáris függvény összege f \u003d 2x 2 + 4x kamely homorú és kvadratikus formában tekinthető / 2 = -H -2x1, amely negatívan definiált. A korlátozások csak lineáris korlátozásokat tartalmaznak. Ezért használhatja a Kuna Téma - Takcker és az SCC megoldási sémát.

1. Legyen egy Lagrange funkció:

2. Megírjuk a szükséges és elegendő feltételeket a funkció nyeregpontjának létezéséhez L.

3. B B V2 nem negatív változókat vezetünk be a lineáris egyenlőtlenségi rendszerhez. w, w 2, Az egyenlőségben az egyenlőtlenségek. Az egyenletek rendszerét kapjuk:

Ugyanakkor a feltételek teljesülnek:

Meg kell találni az alapvető megoldás az egyenletrendszert (2,33), hogy meghatározzuk a koordinátákat a nyereg pont a Lagrange-függvény. Ebből a célból a mesterséges bázis módszerét használjuk. Minimalizálja a mesterséges célfunkciót

hol Zi, Zi. - Mesterséges változók, feltételek mellett:

Itt a nyilvánvaló alapvető megengedett megoldás a következő:

Célfunkció F.expressz a nem kapcsolódási változókon keresztül:

Az érvek befejezését, megjegyezzük, hogy a XJ (0) \u003d 1, \u003d 1 és más változók nulla értékre vonatkozik, és más változók nulla értékekkel. Így t (0) \u003d (1, 1) a forrásprobléma optimális terve,

Előadás 11.Konvex programozás

Meghatározás 1. Z. adats Convex programozás Ez nemlineáris programozási feladatnak nevezik, ahol minden funkció konvex.

Így a probléma a konvex programozás a probléma a feltételes minimalizálási, ahol a célfüggvény a konvex és a megengedett terület egy konvex halmaz által alkotott rendszer konvex egyenlőtlenségek. Ezért a 6 gőzoszlopban előzőekben előállított állítások a konvex programozás problémájára érvényesek. Ebben a bekezdésben ezeket az általános eredményeket konkretizáljuk, és azokat a formában kényelmesebbé tesszük, és megoldjuk a konvex programozás következő problémáját:

(1)

, (2)

. (3)

Szükségünk lesz néhány segédszerkezetre a térben.
Vektorok
. Vektor az elsőtől
Összetevőpont Rámutatunk . Így,
.

Probléma (1) - (3) Meghatároztunk egy készletet

hol
.

Lemma . A konvex programozás (1) - (3) problémájához sok alapvető.

Bizonyíték. Válassza ki az önkényes vektorokat
A készletből és szám
. Aztán vannak pontok és nak,-nek mint például. Szorozzuk meg ezeket az egyenlőtlenségeket és
Ennek megfelelően add hozzá őket. Az összes funkcióval kapcsolatos konvexitás miatt

Az előállított egyenlőtlenségekből és a készlet dudorából .

1. tétel. (Coon-Tacker tétel alakja egy nyeregpont Lagrange funkciója konvex programozási feladatok ) Tegyük fel, hogy a konvex programozás (1) - (3) problémájában a rendszer (2) megfelel a palafunkcióhoz viszonyítva Megoldás volt a probléma (1) - (3), szükség van, és elegendő ahhoz, hogy nem negatív vektorban létezzen oly módon, hogy
- A Lagrange funkció szaddalpontja.

Bizonyíték. Mivel e feltétel megfelelőségét már bizonyították a nemlineáris programozás tetszőleges problémájára (lásd a Bevezetés 2.6 tétel), továbbra is bizonyítani kell, hogy csak szükség van rá.

Szükségesség. Legyen - A probléma megoldása (1) - (3). Tedd
. Nyilvánvaló, hogy
, mint
,
és
.

Győződjön meg arról, hogy
. Tegyük fel, hogy csúnya. Ez azt jelenti, hogy van egy pont
oly módon, hogy
. Ennélfogva, - Egy ilyen megengedett pont, a célfunkció értéke, amelyben kisebb, mint a minimum. Ellentmondunk azzal a ténnyel, hogy - A konvex programozás problémájának megoldása.

Így,
. A LEMMA SET szerint konvex. Következésképpen a 8.2 tétel összes követelményét elvégzik. Ezért van értelmetlen

vektor
pontban Beállít :

Győződjön meg róla, hogy a vektor összes koordinátája Növénylen. Tegyük fel, hogy csúnya. Tegyük fel, hogy vannak koordináták
. Javítás a vektorban Minden alkatrész kivételével -OH. Ezután tekintse meg, hogy a munka
nagy jelentést tehet (korlátlan koordináta miatt) ), ellentmondást kapunk egyenlőtlenséggel (4).

Könnyen látni, hogy bármelyikével
Vektorok
Kapcsolja be sokan . Ezután (4) van:

Mutasd meg ezt
. Legyen rossz. Azután
. Ennélfogva,
. A pala állapot alatt van egy vektor
oly módon, hogy
. ebből kifolyólag
. Az ellentmondást és azt jelenti, hogy
.

Jelöli
. Mutassuk meg ezt az épített vektort Ez egy kívánt lagrange multiplikátor vektor. Nyilvánvaló, hogy
és (5) kap

Ezért a réteg
kövesse

. (7)

Másrészt, mivel
(Amennyiben
) I.
, Egyenlőtlenséget kapok

. Innen és (7) következik, hogy a ponton
A kiegészítő vonakodás feltétele:

. (8)

(6) és (8) van

vagy ugyanaz a dolog

Ezután hagyja
. Azután
. Innen és (8) az egyenlőtlenséget kapjuk

Egyenlőtlenségek (9), (10) és azt jelenti, hogy
- A probléma Lagrange funkciójának nyeregpontja

logo programozás. Mi volt szükség.

Mielőtt megismerkedné a Kuna-Takker Theorem másik lehetőségével, bemutatjuk a következő tételeket, amely a tartóvektorok kúpjainak feltételei szempontjából feltételes minimum kritériuma.

Tétel 2. Legyen - konvex és differenciálható
Funkció, készlet
konvex. Ezután a pontért
feltételes minimális funkció volt A forgatáson
, szükséges és elég ahhoz, hogy magában foglalja

. (11)

A bizonyítéknak közvetlenül a 6.5 tételből és a kúp meghatározásából kell állnia
Támogatja a vektorokat a ponton Beállít
.

Temető 3. (Coon-tartály tétel differenciál alakú konvex programozási feladat ) Hagyja, hogy a konvex programozás feladata (1), (2), ahol minden funkció
A folyamatosan differenciálható, a rendszer (2) megfelel a mintaállapotnak. Ezután a vektorhoz
megoldás volt a probléma (1), (2), szükség van, és elegendő ahhoz, hogy nem negatív vektorban létezzen Ez a feltételek teljesülnek

, (12)

.

Bizonyíték. Megmutatjuk, hogy a feltételek (12) és (13) egyenértékűek a befogadással (11). Hagyja a pontot
Ez az, hogy
. Azután
és
.

Hadd most
. Ezután a 2. és 10.5. Tételektől következik, hogy az ilyen tényezők létezése szükséges és elegendő feltétele a szélsőségnek.
,
amelyekre
. Tedd
mindenkinek
és az utolsó egyenlőségi feltételből (12) és (13). Mi volt szükség.

A bekezdés következtetése során bemutatjuk a két Koon-Tacker tétel megfogalmazását

pon programozás lineáris korlátozásokkal.

Tétel 4. Tegyük fel, hogy a konvex programozás (1) - (3) problémájában a határérték (2) formája van

, B - vektor dimenzió
. Ezután a nem negatív vektor érdekében megoldás volt a problémára, szükség van és elég ahhoz, hogy

volt egy nem negatív vektor oly módon, hogy
- A feladat lagrange funkciójának nyeregpontja.

Ne feledje, hogy ebben az esetben a Lagrange funkciót megtekintették.

Temető 5. Hagyja a konvex programozás problémáját (1), (2) célfunkciót folyamatosan differenciálható, restrikciós rendszer (2) rendelkezik az űrlapon
ahol a - mátrix dimenzió
, B - vektor dimenzió
. Ezután a vektorhoz
a probléma megoldása volt, szükség van és elég szükség van egy nem negatív vektorban ez a feltételek teljesülnek
,
.

Megjegyezzük, hogy a tételek 4. és 5. nincs szükség a végrehajtás a Slater állapotban, így nem adott esetben tételek 1. és 3. igényelnek független bizonyíték.

A konvex készleten megadott funkciót konvexnek hívják, ha bármilyen ponton és bármilyen egyenlőtlenség esetén történik. Lineáris kombináció a domború konvex konvex többfunkciós kombinációjával, a konvex funkció a készleten. Hagyja, hogy a konvex készleten meghatározott funkciók konvexek legyenek.

Ossza meg a közösségi hálózatokon dolgozni

Ha ez a munka nem jön fel az oldal alján, van egy hasonló munkák listája. A keresési gombot is használhatja.

1. előadási szám.

Konvex programozás

A matematikai programozási feladatok széleskörű minimalizálása a konvex készleten meghatározott sok változó konvex funkcióinak minimalizálásához kapcsolódik. Az ilyen feladatokat konvex programozási feladatoknak nevezzük (ZVP).

A matematikai programozás feladata

(12.1)

ezt úgy hívják, hogy konvex programozási feladat, ha minden funkció konvex funkciók.

Legyenek a konvex analízis elemeire - a matematikai terület, amelyben a konvex készletek és a konvex funkciók tulajdonságait tanulmányozzák, és amely alapvető szerepet játszik az elméletben és a szélsőséges feladatok megoldásának módszereiben.

A konvex elemzés elemei

Néhány definíciót mutatunk be, és megvizsgáljuk a konvex készletek konkrét példáit. Továbbra is foglalkozunk a véges-dimenziós euklideszi térkészletekben meghatározott jellemzőkkelE N.

Meghatározás 12.1. Sok típus

(12.2)

Úgy nevezik, hogy szegmens összekötő pontok, és jelöljük.

Nyilvánvalóan, mikorX. Egybeesik a szegmens egyik végével (), mikor - egy másik (), és mikor - a szegmens belső pontjával.

Meghatározás 12.2. Sok hívottkonvex Ha bármilyen két ponttal van, és az összekötő szegmenshez tartozik.

A készlet duzzadása azt jelenti, hogy a tartozásból és a készletből következik, hogy mindenkihez tartozik.

Nyilvánvaló, hogy a domborúak vágják, félig egyszerűbb, egyenes, kör, háromszög, fél sík és az egész sík.

Minden hely, nyilvánvalóan konvex készletet képez. Egy üres készlet és egy pont, amely egy pontból áll, kényelmes, hogy konvex.

Tétel 12.1. Villás túra.Hagyja, hogy a méret mátrix és a vektor készlet. Az egyenlőtlenséget mindenki számára végezzük, és csak akkor, ha van egy vektor.

D o k a és t e l á s.Megfelelőség. Hagyja az arányokat és. Akkor minden vektor lesz

Szükségesség. Legyen mindenkinek helyesen. Tekintsünk egy kúpot. Ha a tétel bizonyítható. Tegyük fel, hogy. A készlet, a 12.2 definícióval, konvex és zárt, ezért a szétválasztható tétel alapján van egy vektor, hogy

(12.3)

mindenkinek.

Mivel mindezt, majd (12.3) kapjuk mindent. Így. Másrészről. Vagyis, és mivel mindenki számára megtörténik

. (12.4)

De ezért (12,3) következik

. (12.5)

(12.4) és (12,5) bevétele, ellentmondás a tétel körülményeihez.

Megjegyzés. A Pharkash tétel geometriai értelmezését mutatjuk be. Legyen

és. A kúp minden olyan vektorok kombinációja, amelyek mindegyik vektorral nem könnyű sarkokat alkotnak. A 12.1. Ábrán a kúp függőleges vonalak árnyékolódik, és a kúp vízszintes. A tétel geometriai jelentése a következő. Bármely vektorhoz, az a szöget, és nem volt egyszínű, szükséges, és elég ahhoz, hogy a kúphoz tartozik.

12.1. Ábra.

Meghatározás 12.3. A konvex készleten megadott funkciót hívjákkonvex Ha az egyenlőtlenséget bármely ponton és bármely ponton végzik

(12.6)

A funkciót hívjákszigorúan konvex Ha az összes egyenlőtlenség (12,6) szigorúan történik. A funkciót hívjákerősen konvex Ha van ilyen szám (erős dudorok állandója) mindenki számára és egyenlőtlenség esetén

(12.7)

Minden erősen konvex funkció szigorúan konvex és még több konvex funkció, de nem fordítva.

A konvex funkció egyik példája egy kvadratikus funkció, amely pozitívan meghatározott mátrixot tartalmaz.

Tétel 12.2. Lineáris kombináció a domború konvex konvex többfunkciós kombinációjával, a konvex funkció a készleten.

D o k a és t e l á s. Hagyja, hogy a konvex készleten meghatározott funkciók konvexek legyenek. Megmutatjuk, hogy a funkció

, (12.8)

ahol konvex.

Tetszőleges pontokért és bármely számból

Ebben a kapcsolatok láncában az első egyenlőtlenség érvényes, mivel a funkciók konvexek. A kapott eredmény azt mutatja, hogy a (12,8) általános képletű függvény konvex a készleten.

Tétel 12.3. Ha konvex konvex többszörösen, akkor bármely ponton és bármilyen számban, úgy, hogy a Yenen egyenlőtlensége történik

. (12.9)

D o k a és t e l s t o (indukcióval). Az egyenlőtlenség (12,9) nyilvánvalóan. Valójában, ha, akkor, én. (12.9) egyenlőségként történik. Tegyük fel, hogy (12,9), azaz azaz A pontok konvex kombinációjához. Megmutatjuk, hogy ez akkor igaz, és a készlet pontjai konvex kombinációja, azaz

Ugyanakkor, ha (12,9), az egyenlőség nyilvánvaló. Ha. Ezután a konvexitás és az induktív feltételezés következik

Azt mondják, hogy a készlet megfelelrendszeres állapotHa van egy pont, hogy minden, azaz

(12.10)

Könnyű megmutatni, hogy a feltétel (12.10) egyenértékű egy másik feltétellela slatera szabályszerűségének feltétele.

Tétel 12.4. Ha a rendszert a szabályossági állapotra végzik(12.10), majd a készlet rendszeresen a Salayerben, nevezetesen van olyan pont, amelyben minden korlátozást szigorúan végzik

. (12.11)

D o k a és t e l á s. Hagyja, hogy a szabályosság feltétele legyen (12.10). Válasszon ki egy pontot, amely a pontok konvex kombinációja, és így pedig tartozik. Akkor bármilyen

azok. . Ebben a kapcsolatok láncában az első egyenlőtlenség igaz a Jensen egyenlőtlensége miatt, a második pedig az összeg legalább egy tagja, nevezetesen szigorúan kevesebb. Ezek az egyenlőtlenségek azt mutatják, hogy a szlenter szabályszerűségének feltétele a vizsgált állapotban van.

Adjunk anélkül, hogy bizonyítanánk a konvex funkciók következő fontos tulajdonát.

A domború készleten definiált konvex funkció folyamatos a készlet mindegyik belső pontján, és bármely belső ponton belüli származékkal rendelkezik.

A konvex depressziós funkciók fontos tulajdonsága, amelyet gyakran használunk, létrehozza a következő tételeket.

Tétel 12.5. A konvex készlet megkülönböztetésének függvénye konvex, ha és csak akkor, ha az egyenlőtlenséget bármelyikhez és a

. (12.12)

D o k a és t e l á s.Szükségesség . Legyen konvex. Akkor bármelyik és () és mindegyike az egyenlőtlenség igaz

vagy

tól től

Az utolsó egyenlőtlenség korlátozásához fordulva

Kielégülés . Tegyük fel, hogy az állapot már elégedett (12.12) a készlet bármely két pontjához. Ezután egy ponthoz tartozó, tisztességes egyenlőtlenségek

Az első egyenlőtlenség szorzolása, a második - bekapcsolás és az egyenlőtlenségek összecsukása, mi van

vagy figyelembe véve, hogy mi van

azok, hogy a konvex funkció a készleten.

Tekintsük a konvex funkciókat a konvex készleten, amely jelentős szerepet játszik a konvex beállított pont megtalálásának problémájának megoldása során, amelyben a Convex funkció eléri a minimális értéket :.

Tétel 12.6. A konvex készleten lévő helyi minimális funkció bármely pontja globális minimális pont.

D o k a és t e l á s. Legyen - a helyi minimális funkció pontja. Ezután a helyi minimum pontjának meghatározásával ebben a pontnak van egy szomszédsága, hogy az egyenlőtlenséget végezzük

. (12.13)

Tegyük fel, hogy ez nem a globális minimális funkció pontja, azaz van egy pont. Fontolja meg a nézet pontját.

azok. . De ez ellentétes azzal a feltétellel, hogy - a helyi minimum pontja, mivel a kielégítő kis ponttal a környéken található, ahol van (12.13).

Következésképpen a globális minimális pont be van kapcsolva.

Tétel 12.7. A konvex funkció Minima pontjainak készlete a konvex készleten egy konvex készlet.

D o k a és t e l á s. Legyen a konvex funkció minima pontjainak a konvex szetten, azaz

Válasszon két pontot, és. Mivel mindkettő - a konvex készlet, akkor bármilyen

és a funkcióval kapcsolatos konvexitásának köszönhetően

Azaz. Ezenkívül, mivel - a funkció minimális értéke, akkor. És azaz azaz . Következésképpen a konvex készlet.

Tétel 12.8. A konvex készlet szigorú konvex funkciója eléri a minimum legalább egy pontját.

D o k a és t e l á s. Tegyük fel - szigorúan konvex funkciót a konvex készleten, azaz Bárkinek és minden szigorú egyenlőtlenségnek

Legyen \u003d.

Tegyük fel, hogy van egy pont, hogy

Ezután bármely ponthoz tartozik a készlethez, és a funkció szigorú konvexitásának köszönhetően lesz

azok. . Ez ellentétes azzal a feltétellel, amely minimális pont. Következésképpen a lényeg az egyetlen.

Tesztpapírok

1. Adja meg a konvex programozás feladatait.

2. Adja meg a konvex készlet meghatározását.

3. A targonca tételének megfogalmazása.

4. Adjon geometriai értelmezést a Pharkash tételnek.

5. Adja meg a konvex, szigorú konvex és erősen konvex funkciót a konvex készleten.

6. Adjon példákat konvex funkciókra.

7. A készlet szabályos állapota.

8. Word A szabályosság állapota a pala, készletek.

9. Adja meg a funkció szükséges és elegendő konvexitását., Differenciáliskonvex készleten .

10. Számítsa ki a konvex funkciók főbb szélsőséges tulajdonságait konvex készleten.

Page 131.

Hagyja, hogy megkapja az űrlap egyenlőtlenségeinek rendszerét

(4.3) és funkció

Z \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), (4.4)

ezenkívül minden funkció konvex néhány konvex szettet, és a Z függvény konvex a SET M, vagy homorú.

A konvex programozás problémája az, hogy ilyen megoldást találjunk a határrendszerre (4.3), amelyben a Z célfunkció eléri a minimális értéket, vagy a z konkáv funkció eléri a maximális értéket. (A változók nem negativitásának problémái a (4.3) pontban szerepelnek).

A 3 0 tulajdonságai miatt a lineáris programozás bármilyen problémája egy konvex programozási feladat különleges esete. Az általános esetben a konvex programozási feladatok nemlineáris programozási feladatok. A konvex programozási feladatok kiválasztását egy speciális osztályba a konvex funkciók extrém tulajdonságai magyarázzák: Bármely helyi minimális konvex funkció (helyi maximális konkáv funkció) mind globális; Ezenkívül a 2 0 tulajdonságok miatt a zárt korlátozott készleten meghatározott konvex (konkáv) függvény eléri ezt a globális maximális és globális minimumot. Innen következik, hogy ha a Z célfunkció szigorúan konvex (szigorúan konkáv), és ha a határérték megoldásainak területe nem üres, és korlátozott, akkor a konvex programozás problémája mindig egyetlen megoldás.

F funkció f (x) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n) hívott szeparabelnoHa a funkciók összege, amelyek mindegyike csak egy változótól függ, azaz Ha egy

(Lehetséges, hogy f i (x i) \u003d 0 néhány i).

Tegyük fel, hogy a határérték (4.3) és a célfunkció (4.4) a konvex programozási feladatban (4.3) és a Z funkció funkciót adja meg, és az összes korlátozás elválasztható. Ezután a feladat:

Keressen minimális konvex (maximális konkáv) funkciókat

korlátozásokkal

A részleges lineáris közelítési módszer elképzelése az, hogy mindegyik F I, és mindegyiket egyenes vágásokból álló törött vonalak helyettesítik. Ebben az esetben a konvex programozás kezdeti feladata egy új, hozzávetőleges feladat váltja fel, amely lineáris programozási feladat. Ezt a feladatot általában a Simplex módszer megoldja, és megoldása a konvex programozás kezdeti problémájának közelítő megoldása.

12. ábra: A konvex programozás megoldása részleges lineáris közelítéssel

A hozzávetőleges feladat megteremtése érdekében vegye figyelembe a szegmensen megadott H (X) egyik változó funkciójának metszi lineáris közelítését. Megszakítjuk ezt a szegmenst az R részeire x 0-ra

Az (X K, H k) és (x k + 1; h k + 1) közötti törött vonal egyenlete van (közvetlen egyenlet két pont mentén). Ha az esélyegyenlőség mindegyike az, hogy kijelölje, akkor kapunk:

Ne feledje, hogy minden egyes jelentése kielégítő feltételek (4.7). A kijelölés átírhatja (4.7) az űrlapon:

[Az egyenleteket (4.8) parametrikus szegmenseknek nevezik.

Ha h (x) \u003d 0, akkor az ezen egyenletek második része a 0 \u003d 0 identitásra vonatkozik, és az első az űrlapot (4.1) - az abszcissza tengelyen fekvő szegmens egyenlete].

Így minden Loloral egyenlet esetében írhatok formában:

ezenkívül csak két érték mindig különbözik a nullától (ha X a partíció BENER K-HO szakasza) vagy az egyik (ha X egybeesik a szegmens végével).

Visszatérve a problémára, konvex programozás elkülöníthető funkciók, tudomásul vesszük, hogy először (attól függően, hogy a határérték-rendszer) meg kell határoznia az intervallum változik minden változó x j. Ezután minden intervallum az X JK részeire oszlik, és a képletek (4.9) használata (4.9.) A F J és a. Ezután lehetséges, hogy a kezdeti feladat (4.6) hozzávetőleges feladatot rögzíthet:

Keresse meg a maximális funkciót

korlátozásokkal (4.10)

Mivel a hozzávetőleges probléma (4.10) egy lineáris programozási feladat, amelyet általában a szimplex módszerrel oldunk meg, a meghatározási feltételek más korlátozásoktól elkülönítve vannak.

A szokásos lineáris programozási problémától kapott feladat (4.10) különbsége az, hogy minden egyes X J esetében nem több, mint két szomszédos, nem nulla, hanem azt jelenti, hogy kettő ugyanazokkal a J és a nem feltörekvő k mint a fő változók. Megjegyezzük továbbá, hogy az f j (x j) és (ha van ilyen) változók nem engedélyeire vonatkozó feltételek tekintetében nem szükséges részesítő lineáris közelítés végrehajtása.

Ez a fejezet csak a menedzserek által használt optimalizálási módszereket fedezte, hogy hatékony megoldásokat hajtson végre a vállalkozásokban. Azonban az ismertetett technikák lehetővé teszik, hogy megértsük az alapvető elve a matematikai apparátust a gazdaságban, amely lehetővé teszi, hogy válasszon a különböző alternatív lehetőségek optimális ebben a konkrét esetben, illetve helyzetek.