Fonction complexe différentielle de deux variables. Matériau théorique. Tâches avec fonctions indicatives et logarithmes

La preuve de la formule de la fonction complexe dérivée est donnée. Les cas sont considérés en détail lorsque la fonction complexe dépend de une et de deux variables. Une généralisation est faite en cas de nombre arbitraire de variables.

Contenu

Voir également: Exemples de l'application de la formule de la fonction complexe dérivée

Formules de base

Ici, nous apportons la conclusion des formules suivantes pour une fonction complexe dérivée.
Si donc
.
Si donc
.
Si donc
.

Fonction complexe dérivée d'une variable

Laissez la fonction de la variable X peut être représentée comme une fonction complexe comme suit:
,
Où et il y a quelques fonctions. La fonction est différente à une certaine valeur de la variable x. La fonction est différente lorsque la valeur variable est valorisée.
Ensuite, la fonction complexe (composite) est différente au point X et son dérivé est déterminé par la formule:
(1) .

La formule (1) peut également être écrite comme suit:
;
.

Preuve

Nous introduisons la notation suivante.
;
.
Il existe une fonction de variables et, il existe une fonction de variables et. Mais nous allons réduire les arguments de ces fonctions afin de ne pas embrayer les calculs.

Depuis les fonctions et les différentiels aux points X et, en conséquence, à ces points, il y a des dérivés de ces fonctions, qui sont les limites suivantes:
;
.

Considérez la fonction suivante:
.
Avec une valeur fixe de la variable U, est une fonction de. Il est évident que
.
Puis
.

Étant donné que la fonction est différenciée par la fonction au point, elle est continue à ce stade. donc
.
Puis
.

Maintenant, nous trouvons un dérivé.

.

La formule est prouvée.

Corollaire

Si la fonction de la variable X peut être représentée comme une fonction complexe d'une fonction complexe
,
alors son dérivé est déterminé par la formule
.
Ici, et il y a des fonctions différentes.

Pour prouver cette formule, nous calculons systématiquement le dérivé en fonction de la règle de différenciation d'une fonction complexe.
Considérer une fonction complexe
.
Son dérivé
.
Considérons la fonction source
.
Son dérivé
.

Fonction complexe dérivée de deux variables

Laissez maintenant la fonction complexe dépend de plusieurs variables. Premier considération cas de fonction complexe de deux variables.

Laissez la fonction en fonction de la variable X peut être représentée sous forme de fonction complexe de deux variables sous la forme suivante:
,
Où
et il y a des fonctions différentielles avec une certaine valeur de la variable x;
- fonction de deux variables, différenciées au point ,. Ensuite, la fonction complexe est déterminée dans certains quartiers du point et présente un dérivé, qui est déterminé par la formule:
(2) .

Preuve

Comme les fonctions et les différencies au point, ils sont définis dans certains environnements de ce point, sont continus au point et existent leurs dérivés au point, qui sont les limites suivantes:
;
.
Ici
;
.
En vertu de la continuité de ces fonctions au point que nous avons:
;
.

Étant donné que la fonction est différente au point, elle est définie dans certains quartiers de ce point, continu à ce stade et son incrément peut être écrit sous la forme suivante:
(3) .
Ici

- l'incrément de la fonction dans l'incrément de ses arguments par magnitude et;
;

- Dérivés privés pour les variables et.
À des valeurs fixes et, et il existe des fonctions à partir de variables et. Ils s'efforcent de zéro avec et:
;
.
Depuis et ensuite
;
.

Fonction de protection:

. :
.
Substitut (3):



.

La formule est prouvée.

Fonction complexe dérivée de plusieurs variables

La sortie ci-dessus est facilement généralisée dans le cas où le nombre de variables de la fonction complexe est supérieur à deux.

Par exemple, si f est fonction de trois variablesT.
,
Où
et il existe des fonctions différentes à une certaine valeur de la variable x;
- Fonction différentielle, de trois variables, au point ,,,.
Ensuite, de la détermination de la différentiabilité de la fonction, nous avons:
(4)
.
Depuis, en raison de la continuité,
; ; ,
cette
;
;
.

Division (4) sur et compléter la limite, nous obtenons:
.

Et enfin, considérez le cas le plus commun.
Laissez la fonction de la variable X peut être représentée comme une fonction complexe de N variables dans le formulaire suivant:
,
Où
Il existe des fonctions différentes avec une certaine valeur de la variable X;
- fonction différentielle de n variables au point
, , ... , .
Puis
.

Voir également:

Les dérivés privés sont appliqués dans des tâches avec des fonctions de plusieurs variables. Les règles de l'emplacement sont exactement les mêmes que pour les fonctions d'une variable, avec la différence que dans le fait que l'une des variables doit être prise en compte au moment de la différenciation par constante (constante).

Formule

Dérivés privés pour la fonction de deux variables $ z (x, y) $ est écrit dans le formulaire suivant $ Z "_x, z" _y $ et sont situés selon les formules:

Dérivés privés de premier ordre

$$ z "_x \u003d \\ frac (\\ partiel z) (\\ partielle x) $$

$$ z "_y \u003d \\ frac (\\ partielle z) (\\ partielle y) $$

Dérivés privés de second ordre

$$ z "" _ (xx) \u003d \\ frac (\\ partielle ^ 2 z) (\\ partielle x \\ partielle x) $$

$$ z "" _ (YY) \u003d \\ frac (\\ partielle ^ 2 z) (\\ partielle y \\ partielle y) $$

Dérivé mixte

$$ Z "" _ (xy) \u003d \\ frac (\\ partielle ^ 2 z) (\\ partielle x \\ partielle y) $$

$$ z "" _ (YX) \u003d \\ frac (\\ partielle ^ 2 z) (\\ partielle y \\ partielle x) $$

Dérivé partiel de la fonction complexe

a) Soit $ z (t) \u003d f (x (t), y (t)) $, puis le dérivé de la fonction complexe est déterminé par la formule:

$$ \\ frac (dz) (dt) \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partielle x) \\ CDOT \\ frac (dx) (dt) + \\ frac (\\ partiel z) (\\ partielle y) \\ CDOT \\ frac (Dy) (dt) $$

b) Soit $ z (u, v) \u003d z (x (u, v), y (u, v)) $, puis les dérivés partiels sont dans la formule:

$$ \\ frac (\\ partielle z) (\\ partielle u) \u003d \\ frac (\\ partielle z) (\\ partielle x) \\ CDOT \\ frac (\\ partielle x) (\\ partielle u) + \\ frac (\\ partielle z) ( \\ Partiel y) \\ CDOT \\ frac (\\ partielle y) (\\ partiel u) $$

$$ \\ frac (\\ partielle z) (\\ partielle v) \u003d \\ frac (\\ partielle z) (\\ partielle x) \\ CDOT \\ frac (\\ partielle x) (\\ partielle v) + \\ frac (\\ partielle z) ( \\ Partielle y) \\ CDOT \\ frac (\\ partielle y) (\\ partielle v) $$

Dérivés privés Fonction implicitement spécifiée

a) Soit $ f (x, y (x)) \u003d 0 $, puis $$ \\ frac (dy) (dx) \u003d - \\ frac (f "_x) (f" _y) $$

b) Soit $ f (x, y, z) \u003d 0 $, puis $$ z "_x \u003d - \\ frac (f" _x) (f "_z); z" _y \u003d - \\ frac (f "_y) ( F "_Z) $$

Exemples de solutions

Exemple 1.

Trouver des dérivés privés de la première commande $ z (x, y) \u003d x ^ 2 - y ^ 2 + 4xy + 10 $

Décision

Pour trouver un dérivé privé de $ x $, nous envisagerons une valeur constante de Y $ (numéro): $$ z "_x \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ x \u003d 2x - 0 + 4Y + 0 \u003d 2x + 4Y $$ Pour trouver une fonction dérivée privée sur $ y $, nous définissons $ y $ constante constante: $$ z "_Y \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ y \u003d -2y + 4x $$ S'il est impossible de résoudre votre tâche, alors envoyez-le-nous. Nous allons fournir une décision détaillée. Vous pouvez vous familiariser avec le cours du calcul et apprendre des informations. Cela aidera en temps opportun à l'enseignant!

Répondre

$$ z "_x \u003d 2x + 4y; z" _y \u003d -2y + 4x $$

Exemple 2.

Trouver des dérivés privés de deuxième ordre $ z \u003d e ^ (xy) $

Décision

Au début, vous devez trouver les premiers dérivés, puis les connaître peut être trouvé un dérivé de second ordre. Nous supposons $ y $ constante: $$ z "_x \u003d (e ^ (xy))" _ x \u003d e ^ (xy) \\ CDOT (xy) "_ x \u003d ye ^ (xy) $$ Nous mettons maintenant une valeur constante $ x $ x: $$ z "_y \u003d (e ^ (xy))" _ y \u003d e ^ (xy) \\ CDOT (xy) "_ y \u003d xe ^ (xy) $$ Connaître les premiers dérivés sont similaires à ceux qui sont deuxième. Installez $ y $ constante: $$ z "" _ (xx) \u003d (z "_x)" _ x \u003d (Ye ^ (xy)) "_ x \u003d (y)" _ x e ^ (xy) + y (e ^ (xy)) "_ x \u003d 0 + ye ^ (xy) \\ CDOT (xy)" _ x \u003d y ^ 2e ^ (xy) $$ Nous demandons $ x $ constante: $$ z "" _ (yy) \u003d (z "_y)" _ y \u003d (xe ^ (xy)) "_ y \u003d (x)" _ Ye ^ (xy) + x (E ^ (xy)) " _ y \u003d 0 + x ^ 2e ^ (xy) \u003d x ^ 2e ^ (xy) $$ Maintenant, il reste à trouver un dérivé mixte. Il est possible de indiffer à indiffer 2 $ z "_x $ pour $ y $, et il est possible $ z" _y $ _ _y $ to x $ $, car selon le $ Z "" "_ (xy) \u003d z" "_ (YX) $ $$ z "" _ (xy) \u003d (z "_x)" _ y \u003d (Ye ^ (xy)) "_ y \u003d (y)" _ Ye ^ (xy) + y (e ^ (xy)) " _ y \u003d ye ^ (xy) \\ CDOT (xy) "_ y \u003d yxe ^ (xy) $$

Répondre

$$ z "_x \u003d ye ^ (xy); z" _y \u003d xe ^ (xy); z "" _ (xy) \u003d yxe ^ (xy) $$

Exemple 4.

Soit 3x ^ 3z - 2Z ^ 2 + 3YZ ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ Définit la fonction implicite $ f (x, y, z) \u003d 0 $. Trouvez des dérivés privés de premier ordre.

Décision

Nous écrivons la fonction au format: $ F (x, y, z) \u003d 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ et trouver des dérivés: $$ z "_x (y, z - const) \u003d (x ^ 3 z - 2Z ^ 2 + 3YZ ^ 2-4x + z-5)" _ x \u003d 3 x ^ 2 z - 4 $$ $$ z "_Y (x, y - const) \u003d (x ^ 3 z - 2Z ^ 2 + 3YZ ^ 2-4x + z-5)" _ y \u003d 3z ^ 2 $$

Répondre

$$ z "_x \u003d 3x ^ 2 z - 4; z" _Y \u003d 3Z ^ 2; $$.

Supposons que la fonction Z - / (x, y) soit définie dans une région D sur le plan XOW. Prenez le point interne (x, y) de la région d et donnez x incrément ah tel que le point (x + ah, y) 6 d (figure 9). La magnitude est appelée incrémente privée de la fonction Z le long de x. Nous allons former une relation pour ce point (x, y) ce ratio est fonction de la définition. Si au ratio AH - * 0 ^ a une limite finie, cette limite est appelée dérivée privée de la fonction Z \u003d / (x, y) sur une variable indépendante x au point (x, y) et est indiqué par le Symbole JFC (ou / i (x, jj) ou z "x (x, par définition ou, c'est-à-dire le plus similaire à celui-ci, s'il s'agit des variables indépendantes, en notant que ARZ est calculé Avec la valeur constante de la variable Y, une ATV - avec la valeur constante de la variable X, les définitions de dérivés privés peuvent être formulées comme suit: dérivés privés de la signification géométrique des dérivés partiels des fonctions de deux variables La différentiabilité de la fonction de plusieurs variables les conditions nécessaires de différentiatible de la fonction de fonctionnalités suffisantes pour des fonctions différentielles de plusieurs variables différentielles complètes. Différences privées dérivées de fonction complexe de la dérivée partielle de la fonction x / (x, z \u003d / (x,). Dérivé de cette fonction par X, calculé sous l'hypothèse que Y est la constante; dérivé privé de la fonction Z - / (x , Y) s'appelle son dérivé selon Y, calculé sous l'hypothèse que X est constant. Il s'ensuit que les règles de calcul des dérivés privés coïncident avec les règles prouvées pour la fonction d'une variable. Exemple. Trouver des dérivés privés 4 Nous avons des remplacements *. De l'existence de la fonction R \u003d / (x, Y) à ce stade des dérivés privés sur tous les arguments ne supprimera pas la continuité de la fonction à ce stade. Ainsi, la fonction n'est pas continue au point 0 (0,0). Cependant, à ce stade, la fonction spécifiée a des dérivés privés le long de x et de y. Cela découle du fait que / (x, 0) \u003d 0 et / (0, y) \u003d 0 et donc la signification géométrique des dérivés particuliers des fonctions de deux variables permettait dans la surface de l'espace tridimensionnel S est défini Par l'équation où F (x, y) est une fonction, continue dans une zone D et ayant des dérivés privés sur x et par y. Nous découvrons la signification géométrique de ces dérivés au point de mo (ho, uo) 6 d, qui sur la surface Z \u003d F (x) Y) correspond au point F (x0) yo)). Lorsque la dérivée partielle du M0 est trouvée, nous supposons que z n'est que la fonction de l'argument x, tandis que l'argument y conserve la valeur constante de Y \u003d euh, c'est-à-dire que la fonction fi (x) est géométriquement représentée par la courbe l le long de laquelle la surface s intersecte l'avion y \u003d u o En vertu de la signification géométrique de la dérivée de la fonction d'une variable f \\ (xo) \u003d Tg A, où a est un angle formé par le tangent l au point JV0 avec l'axe OH (figure 10). Mais d'une manière telle, un dérivé privé ($ |) est égal à thenatannésulag et entre l'axe de OH et tangent au point N0 à la courbe obtenue dans la section de la surface Z \u003d / (x, y) du plan De la même manière, nous obtenons ce §6. Différentialité de la fonction de plusieurs variables. Laissez la fonction Z \u003d / (x, y) sont définies dans une région D dans le plan XOW. Prenez le point (x, y) € D et les valeurs sélectionnées de X et nous donnons des incréments d'AH et de DU, mais de telle sorte que le point. Définition. La fonction r \u003d / (x, y) est appelée un point différent * point (W, Y) € 2E, si l'augmentation complète de cette fonction, correspondant aux incréments de DH, des arguments respectivement, peuvent être représentés sous la forme où l et B ne dépendent pas de DH et de D (mais dépend généralement de x et y), et A (DH, DU) et /? (DH, DU) ont tendance à zéro lorsque la prière pour zéro dh et faire. . Si la fonction Z \u003d / (x, y) est différente au point (x, y), puis partie A DH 4- dans l'incrément d'une fonction, linéaire par rapport à DC et DF, est appelé le différentiel complet de cette fonction Au point (x, y) et est indiqué par le symbole dz: de cette façon, un exemple. Soit r \u003d x2 + u2. À chaque point (g, y) et pour tout DC et avons-nous ici. Tech que A et / 3 ont tendance à zéro avec le désir de zéro dh et de faire. Selon la définition, cette fonctionnalité Différentiellement à tout point du plan XOW. Dans le même temps, nous notons que dans nos arguments, l'affaire n'était pas formellement exclue lorsque l'incrément de DX, du porno ou même les deux sont immédiatement égaux à zéro. La formule (1) peut être écrite plus compacte si vous entrez l'expression (la distance entre les points (en les utilisant, nous pouvons écrire la désignation de l'expression qui se tient dans les coquilles, à travers E, nous aurons où cela dépend de J, DU et a tend à zéro si J 0 et du 0, ou plus court, si P. 0. Formule (1), exprimant la condition de différentage de la fonction Z \u003d F (XT Y) au point (F, Y), peut maintenant être écrit dans La forme de l'exemple 6.1. Prérequis Théorème de fonction Différentialité ™ 4. Si la fonction R \u003d / (W, Y) est différente à un moment donné, il est continu à ce stade. 4 Si à un point (F, Y) Luzya r \u003d / (f, y) différencie, puis complète l'incrément de la fonction que je suis dans ce point "" E, qui répond aux incréments de J et d'arguments soufflants, peuvent être fournis sous la forme (valeurs de L, dans pour ce point sont constants ;,, d'où il s'ensuit que ce dernier signifie que, au point (F, Y) fonction, g / (puits, y) est continu. Théorème! b. Si la fonction R \u003d / (F, Y) est différenable à ce stade, Mo d'aliments Mo à ce stade de dérivés privés $ § § et. Laissez la fonction z \u003d / (x, y) différencier le point (x, y). C'est le cas d'une incitation ^ DG de cette fonction qui répond aux incréments de DX, l'UA d'arguments peut être représentée comme (1). Prendre l'égalité (1) DH F 0, do \u003d 0, nous obtenons d'où comme dans la partie droite de la dernière valeur d'égalité et ne dépend pas de cela signifie qu'au point (x, y), il y a un dérivé privé de la fonction r \u003d / (x, y) par x, avec des arguments similaires convaincus (x, il existe un dérivé privé de la fonction ZO et, du théorème, il souligne que le théorème 5 approuve l'existence de dérivés privés uniquement à le point (x, y), mais rien ne parle de la continuité d'eux à ce stade, ainsi que sur leur comportement dans le voisinage du point (x, y). 6.2. Conditions suffisantes Fonctions différentielles ™ de plusieurs variables que vous savoir, une condition nécessaire et suffisante pour la différenciabilité de la fonction Y \u003d / (x) d'une variable au point HO est un dérivé fini de marche / "(x) au point X0. Dans le cas où la fonction dépend de plusieurs variables , il est beaucoup plus compliqué: les conditions nécessaires et suffisantes de différentiatible ne sont pas déjà destinées à des fonctions Z \u003d / (x, y) de deux variables indépendantes x, y; il y a L. Vous êtes nécessaire individuellement (voir Ci-dessus) et séparément - suffisant. Ces conditions de différentage suffisantes des fonctions de plusieurs variables sont exprimées par le théorème suivant. Théorème dans. Si la fonction contient des dérivés privés / £ et f "v" V "V dans certains brunissements de minces (ho, euh) et si ces dérivés sont continus au point même (ho, euh), la fonction z \u003d f (x, y) est Différable au point (exemple. Considérez la fonction de la signification géométrique des dérivés privés des dérivés partiels de la différentialité des deux variables de la fonction de plusieurs variables les conditions nécessaires de la différenciabilité de la fonction de fonctionnalités différentes de différentes variables. Différentiels privés Les dérivés de la fonction différentielle est défini dans tout ensemble. Basé sur la définition des dérivés privés, nous avons pour NosasELM * Différentiel ™ Cette fonction au point 0 (0,0) trouvera et augmente cette affûtage pour différencier l'actif de la fonction / ( x, y) \u003d affûtage 0 (0,0), il est nécessaire que la fonction E (DH, DU) soit le suivant 6vsconeo 0 et du 0. Mettez le D0. Puis, de la formule (1), nous aurons donc fonctions / (x, y) \u003d pas différenable au point 0 (0,0), bien qu'il ait à ce stade que nous produisons fa et f "R reçues Le résultat s'explique par le fait que les dérivés f "Z et F" T Point de rupture §7. Différentiel complet. Différences privées Si la fonction R-F (Z\u003e Y) est différente, son faible différentiel DZ est égal à la notice A \u003d B \u003d UCH, écrivez la formule (1) dans le formulaire suivant pour diffuser le concept de fonction différentielle. à des variables indépendantes, mettre les écarts de variables indépendants égaux à leurs incréments: après cela, la formule de la fonction différentielle complète de l'exemple de fonction SPEP. Que je sois 1l (x + u2). Puis de la même manière, si u \u003d) est une fonction différentiable N de variables indépendantes, l'expression est appelée fonction différentielle maigre Z \u003d F (x, y) dans la variable x; L'expression s'appelle la fonction différentielle privée Z \u003d / (w, y) alternant. Des formules (3), (4) et (5), il s'ensuit que la fonction différentielle complète est la somme de ses différentiels privés: nous notons que l'incrément complet des fonctions AZ Z \u003d / (W, Y), généralement pas égal à la quantité d'incréments privés. Si au point (i, y) de la fonction fonctionnelle \u003d / (z, y) différenciable et différencial DZ F sur ce point, son incrément complet diffère de sa partie linéaire uniquement dans la quantité des derniers termes de l'AAH 4 - /? Du, qui quand déjà 0 et ay - "O est infiniment petit supérieur à un ordre élevé que la partie sensible au caractère. Par conséquent, avec DZ F 0, la partie linéaire de l'incrément de la fonction différentiable est appelée la partie principale de l'incrément de la fonction et utilise la formule approximative qui sera d'autant plus précise que la plus petite de la valeur absolue sera la incrément d'arguments. §huit. Dérivés de la fonction complexe 1. Laissez la fonction définir dans une région D sur le plan XOW, chacune des variables, et est à son tour la fonction de l'argument T: nous supposons que lorsque le T est modifié dans l'intervalle (points correspondants ( f, y) ne sortez pas au-delà du domaine D. Si vous remplacez les valeurs à la fonction Z \u003d / (F, Y), nous obtenons la fonction complexe d'une variable t. et avec les valeurs correspondantes de La fonction / (x, y) différenable, puis la fonction complexe, au point T a un dérivé et m que nous donnons t incrément à DT. Puis x et y recevront des incréments d'AH et de la duré. à la suite de cela, Le (J) 2 + (dB) 2 F 0 La fonction Z recevra également une certaine incrément de DG, ce qui en vertu de la différentiabilité de la fonction Z \u003d / (, Y) au point (x, y) peut être représenté. sous la forme où a) a tendance à zéro lorsque la sirrie à zéro ah et du. Livré A et / 3 à Ah \u003d Agu \u003d 0, Mettre et ensuite A (sera continu lorsque J \u003d 0 \u003d 0. Considérez la relation que nous avons dans chaque terme ^ dans la partie droite (2) Les deux facteurs ont des limites valables, Des dérivés privés et ^ Pour cela, ils sont constants, dans la condition, il existe des limites de l'existence de dérivés ^ et au point £ suit la continuité à ce stade de fonctions x \u003d y (t) et y \u003d donc, à 0 Ils s'efforcent de zéro et de J et J et JO, ce qui entraîne à son tour un effort pour zéro A (DH, DU) et P (Ah, AY). Ainsi, le côté droit de l'égalité (2) à 0 a une limite qui signifie que Il existe à 0 et la limite de la partie gauche (2), c'est-à-dire. Il existe un passage égal à l'égalité (2) à la limite à - "0, nous obtenons la formule requise dans le cas particulier, quand, donc , Z est une fonction complexe de puits, nous entrons dans la formule (5) il y a un puits de dérivé privé \u003d / (f, y) bien, avec la soumission dont l'expression / (f, y) l'argument y est pris pour le permanent. Mais il y a un dérivé complet de la fonction z Une variable indépendante dans, lors du calcul de laquelle y dans l'expression / (g, y) n'est plus prise pour la constante et est considérée comme une fonction de w: y \u003d tp (x) t et donc la dépendance z est prise. en compte complètement. Exemple. Trouver et JG Si 2. Pensez maintenant à la différenciation de la fonction complexe de plusieurs variables. Supposons que, à son tour, pour que nous supposions qu'au point ((), il existe des dérivés privés continus, 3? "Et au point correspondant (F, Y), où la fonction / (f, y) est différente. Nous montrons que Dans ces conditions. Le complexe Funshiya Z \u003d Z (() Y) au point T7) a des dérivés et des expressions pour ces dérivés. Notez que ce cas de l'été déjà étudié n'est pas significativement différent. En effet, avec la différenciation de Z, la deuxième, la variable indépendante RJ est prise pour la constante, à la suite de laquelle il devient des fonctions d'une variable w "\u003d c), y \u003d c) et la question de la dérivée c est Résolu de la même manière que la question de la dérivée dans le dérivé de formule (3). Utilisation de formule (3) et remplaçant officiellement les dérivés de celui-ci § et ^ sur dérivés et, en conséquence, nous obtenons un exemple de trouver un exemple. Trouver les dérivés privés ^ et ^ Fonctions R \u003d Z2 Y - Hustli X - Y \u003d Si la fonction complexe "est définie par des formules, de sorte que lors de l'exécution des conditions appropriées, nous avons dans un cas particulier quand et \u003d où des dérivés privés signification géométrique Parmi les dérivés partiels de deux variables, la différenciabilité de la fonction de plusieurs variables Les conditions nécessaires de la différenciabilité de la fonction Conditions suffisantes Les fonctions différentielles de plusieurs variables ont une différence complète. Différences de différentiel privé de fonction complexe Nous avons une fonction complète. Fonction dérivée de plut et sur une variable indépendante x, en tenant compte de la dépendance totale et de X, InXCINE et V \u003d Z (x, y), un ^ -in-the-on-ondged.

Soit Z \u003d ƒ (x; y) être la fonction de deux variables x et y, chacune d'une fonction d'une variable indépendante T: x \u003d x (t), y \u003d y (t). Dans ce cas, la fonction Z \u003d F (x (t); y (t)) est une fonction complexe d'une variable indépendante T; Variables X et Y - Variables intermédiaires.

Théorème 44.4. Si z \u003d ƒ (x; y) est différenable au point M (x; y) fonction D et x \u003d x (t) et y \u003d y (t) - fonctions différentielles d'une variable indépendante T, le dérivé de la fonction complexe Z (t) \u003d f (x (t); y (t)) est calculé par la formule

Nous donnons une augmentation de la variable indépendante ΔT. Ensuite, les fonctions x \u003d x (t) et y \u003d y (t) recevront l'incrément Δх et Δu, respectivement. Ils proviendront à son tour l'incrément de la fonction AZ z.

Depuis, par condition, la fonction Z - ƒ (x; y) est différente au point M (x; y), puis son incrément complet peut être représenté comme étant

où a → 0, β → 0 à Δх → 0, Δu → 0 (voir clause 44.3). Nous avons divisé l'expression ΔZ sur ΔT et passons à la limite à ΔT → 0. Ensuite, Δх → 0 et ΔU → 0 en raison de la continuité des fonctions x \u003d x (t) et y \u003d y (t) (par la condition du théorème, elles sont différentielles). On a:

Cas privé: Z \u003d ƒ (x; y), où y \u003d y (x), c'est-à-dire que. z \u003d ƒ (x; y (x)) est une fonction complexe d'une variable indépendante x. Cette affaire est réduite à la précédente et le rôle de la variable T joue x. Selon la formule (44,8), nous avons:

La formule (44.9) est appelée la formule dérivée complète.

Cas général: Z \u003d ƒ (x; y), où x \u003d x (u; v), y \u003d y (u; v). Puis z \u003d f (x (u; v); y (u; v)) - la fonction complexe des variables indépendantes U et V. Ses dérivés privés peuvent être trouvés à l'aide de formules (44,8) comme suit. Fixer V, remplacer par les dérivés privés appropriés

De même, nous obtenons:

Ainsi, le dérivé de la fonction complexe (Z) pour chaque variable indépendante (U et V) est égal à la quantité d'œuvres de dérivés particuliers de cette fonction (Z) par ses variables intermédiaires (x et y) sur leurs dérivés selon la variable indépendante correspondante (U et V).

Exemple 44.5. Trouver si z \u003d ln (x 2 + en 2), x \u003d u v, y \u003d u / v.

Solution: Trouver DZ / DU (DZ / DV - Indépendamment) en utilisant la formule (44.10):

Nous simplifions le côté droit de l'égalité obtenue:

40. Dérivés privés et fonction différentielle complète de plusieurs variables.

Laissez la fonction z \u003d ƒ (x; y) être donnée. Étant donné que X et Y sont des variables indépendantes, l'une d'entre elles peut changer, et l'autre pour économiser sa valeur. Nous donnons une variable indépendante x incrément Δх, en gardant la valeur inchangée. Ensuite, Z recevra un incrément, qui s'appelle l'incrément privé de Z et est désigné par δ x z. Donc,

Δ x z \u003d ƒ (x + ΔH; y) -ƒ (x; y).

De même, nous obtenons une incrément privé à Z par:

Δ in z \u003d ƒ (x; y + Δu) -ƒ (x; y).

L'incrément complet ΔZ fonction Z est déterminé par l'égalité

ΔZ \u003d ƒ (x + ΔH; Y + ΔU) - ƒ (x; y).

S'il y a une limite

il s'appelle le dérivé privé de la fonction Z \u003d ƒ (x; y) au point M (x; y) dans la variable X et est indiqué par l'un des caractères:

Les dérivés privés en X au point M 0 (x 0; y 0) sont généralement désignés par des symboles

Le dérivé individuel de z \u003d ƒ (x; y) sur la variable y est identique et dénote.

Ainsi, la dérivée particulière de la fonction de plusieurs (deux, trois et plus) variables est définie comme un dérivé de l'une de ces variables, à condition que les valeurs des variables indépendantes restantes soient constantes. Par conséquent, les dérivés privés de fonctions ƒ (x; y) sont trouvés selon les formules et les règles de calcul des dérivés des fonctions d'une variable (en même temps, respectivement, X ou Y est considérée comme une valeur permanente).

Exemple 44.1. Trouver des dérivés privés z \u003d 2u + e x2-y +1. Décision:

Signification géométrique des dérivés privés de deux variables

Le graphique de la fonction Z \u003d ƒ (x; y) est une surface (voir clause 12.1). Le graphique de la fonction Z \u003d ƒ (x; y 0) est la ligne d'intersection de cette surface avec le plan Y \u003d Y environ. Basé sur la signification géométrique de la dérivée pour la fonction d'une variable (voir clause 20.2), nous concluons que ƒ "x (xo; yo) \u003d tg a, où a est un angle entre l'axe de oh et la tangente, porté sur la courbe Z \u003d ƒ (x; y 0) au point de mo (ho; uo; ƒ (ho; euh)) (voir fig. 208).

De même, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

La fonction Z \u003d F (x, y) est appelée différenciable au point P (x, y) si son incrément total ΔZ peut être représenté comme Δz \u003d A ∙ Δx + B ∙ Δy + Ω (Δx, Δy), où Δx et ΔY - Tout incréments des arguments correspondants X et Y dans certains quartiers du point P, A et B - constante (indépendante de Δx, Δy),

Ω (Δx, Δy) est infiniment petit supérieur à la distance:

Si la fonction est différente au point, son incrément complet à ce stade est composé de deux parties:

1. La partie principale de l'incrément de la fonction A ∙ ΔX + B ∙ Δy est linéaire par rapport à Δx, ΔY

2. et non linéaire Ω (Δx, Δy) est un ordre plus petit à infiniment supérieur à la partie principale de l'incrément.

La partie principale de la fonction d'incrément est linéaire par rapport à ΔX, ΔY s'appelle le différentiel complet de cette fonction et est indiqué: ΔZ \u003d A ∙ ΔX + B ∙ ΔY, Δx \u003d dx et Δy \u003d D ou une fonction différentielle complète de deux variables:

Affichage différentiel. Différentiel et dérivé de la fonction numérique d'une variable. Dérivés de table. Différentialité. ) - La fonction de l'argument, qui est infiniment petite à → 0, c'est-à-dire

Nous découvrons maintenant la relation entre la différentiabilité au point et l'existence de la dérivée au même point.

Théorème. Pour fonctionner f.(x.) a été différencié à ce stade h. Cela est nécessaire et suffisant pour avoir un dérivé fini à ce stade.

Dérivés de table.