Encuentre la matriz del operador en la proyección en el eje. Operadores de proyección. Considere algunos ejemplos de operadores lineales.

Operador lineal de matriz

Vamos a ser un operador lineal, con espacio y dimensión finita, y.

Pedamos bases arbitrariamente: y en en .

Entregaremos una tarea: para un vector arbitrario para calcular las coordenadas del vector. en la base.

Presentamos la matriz de vector de cadena que consiste en las imágenes de los vectores base, obtenemos:

Tenga en cuenta que este último en esta cadena de igualdad tiene lugar justo debido a la linealidad del operador.

Difundir el sistema de vectores por base:

,

donde la columna Matrix es una columna de las coordenadas vectoriales en la base.

Finalmente tendremos:

Entonces, Para calcular la columna de coordenadas de vectores en la base seleccionada del segundo espacio, es suficiente multiplicar la columna de las coordenadas vectoriales en la base seleccionada del primer espacio en el lado izquierdo de la matriz que consiste en las columnas de la coordenada Coordinación de la imagen del primer espacio en la base del segundo espacio.

La matriz se llama La matriz del operador lineal en el par especificado de bases.

La matriz del operador lineal surgirá para significar la misma letra que el propio operador, pero sin cursiva. A veces usaremos una designación de este tipo: , cayendo a menudo referencias a las bases (si no daña la precisión).

Para la transformación lineal (es decir, cuando ) Puedes hablar de ello matriz en esta base.

Como ejemplo, considere la matriz de diseño del operador de diseño del Ejemplo No. 1.7 (perteneciente a su transformación del espacio de los vectores geométricos). Como base, elige la base habitual.

En consecuencia, la matriz del operador de diseño en el plano en la base tiene la forma:

Tenga en cuenta que si consideramos el operador de diseño como un mapeo, entendido bajo el último espacio de todos los vectores geométricos que se encuentran en el plano, luego, tomando como base de la base, obtenemos una matriz de este tipo:

Teniendo en cuenta una matriz de tamaño arbitraria como operador lineal que muestra un espacio aritmético en un espacio aritmético, y elige una base canónica en cada uno de estos espacios, obtenemos que la matriz de este operador lineal en tal par de bases tiene la mayor matriz que Determina este operador: es decir, este caso, la matriz y el operador lineal son los mismos (de la misma manera que cuando se selecciona la base canónica en el espacio vectorial aritmético, se puede identificar el vector y la columna de su coordenada en esta base. ). Pero sería un error áspero identificar. vector como tal y operador lineal como semejantecon su presentación en una u otra base (como una columna o matriz). Y vector, y esencia del operador lineal. objetos geométricos, invariantes., definido independientemente de cualquier base.. Entonces, cuando, por ejemplo, dibujamos un vector geométrico como un segmento direccional, entonces se define completamente invariante, es decir. Somos cuando lo dibujamos, no hay forma de bases, sistemas de coordenadas, etc., y podemos operarlo puramente geométricamente. Otra cosa es que por convenienciaesta operación, para la conveniencia de la computación con vectores, construimos un determinado dispositivo algebraico, ingresando a los sistemas de coordenadas, bases y la técnica puramente algebraica asociada de computación sobre los vectores. En figura, un vector, como un objeto geométrico "desnudo", "vestidos" en varias vistas de coordenadas dependiendo de la elección de la base. Pero una persona puede poner en el vestido más diverso, de donde su esencia como persona no cambia, pero es cierto que no hay ningún vestido llega a una situación particular (no irá a la playa en un senderismo de concierto), y No todos los demas. Por lo tanto, ninguna base es adecuada para resolver esta tarea, así como una solución puramente geométrica puede ser demasiado complicada. Veremos en nuestro curso, en cuanto a la resolución de tales, parecería, una tarea puramente geométrica, como la clasificación de las superficies de segundo orden, se construye una teoría algebraica bastante complicada y hermosa.

Comprender las diferencias en el objeto geométrico de su presentación en una u otra base es la base de la percepción del álgebra lineal. Y el objeto geométrico no es el vector geométrico en absoluto. Entonces, si establecemos el vector aritmético. Luego se puede identificar con la columna de sus coordenadas de la base canónica. Para (ver el primer semestre):

Pero introducimos otra base en los vectores y (¡comprueba que es realmente una base!) Y, utilizando la matriz de transición, recuentamos nuestras coordenadas:

Tenemos una columna completamente diferente, pero representa el mismo vector aritmético en otra forma.

Decir sobre los vectores y operadores lineales. Lo que para el vector es su representación de coordenadas, los temas para el operador lineal es su matriz.

Así que (repite otra vez), es necesario distinguir claramente los objetos invariantes, geométricos, geométricos, que son el vector y el operador lineal, y su presentación en una u otra base (El habla, por supuesto, se trata de espacios lineales con finita dimensional).

Ahora nos convertiremos ahora en la tarea de convertir la matriz del operador lineal cuando se mueva de un par de bases a otra.

Permitir - un nuevo par de bases en isotic.

Luego (denotando la matriz del operador en el par de bases "acariciadas") obtenemos:

Pero en el otro lado,

,

desde dónde, debido a la singularidad de la descomposición del vector de la base.

,

Para la transformación lineal, la fórmula toma una vista más simple:

Matrices y obligados por este índice se llaman similar.

Es fácil ver que los determinantes de tales matrices coinciden.

Introduciremos el concepto. rango de operador lineal.

Por definición, este es el número igual a la dimensión de la imagen de este operador:

Permítanos probar la siguiente declaración importante:

Aprobación 1. 10. El rango del operador lineal coincide con el rango de su matriz, independientemente de la elección de las bases.

Evidencia. En primer lugar, observamos que la imagen de un operador lineal es una cáscara lineal del sistema, donde, la base en el espacio.

En realidad,

lo que sería los números, pero esto significa que es la cáscara lineal especificada.

La dimensión de la cáscara lineal, como sabemos (consulte el párrafo 1.2) coincide con el rango de los vectores correspondientes.

Previamente probamos (párrafo 1.3), que si el sistema de vectores se descompone en alguna base en la forma

luego, sujeto a la independencia de las columnas del sistema de la matriz linealmente independiente. Puede probar la aprobación más fuerte (esta prueba que omitimos): el rango del sistema es igual al margen de la matriz, Además, este resultado no depende de la elección de la base, ya que la multiplicación de la matriz en una matriz de transición no degenerada no cambia su rango.

En la medida en

,

Desde entonces, obviamente, las filas de tales matrices coinciden, este resultado no depende de la elección de una base particular.

La declaración está probada.

Para lineal conversión Algunos espacios lineales finitos-dimensionales podemos introducir y el concepto. determinante dado conversión Como determinante de su matriz de forma fija arbitrariamente, para la matriz de conversión lineal en varias bases son similares y, por lo tanto, tienen los mismos determinantes.

Usando el concepto de la matriz del operador lineal, probamos la siguiente relación importante: para cualquier conversión lineal - espacio lineal dimensional

Elija una base arbitraria en el espacio. Luego, el núcleo consiste en aquellos y solo esos vectores, las columnas de las coordenadas de la esencia de la solución de un sistema homogéneo.

a saber, el vector entonces y solo si la columna es la solución del sistema (1).

En otras palabras, el isomorfismo del kernel tiene lugar en el sistema de soluciones del sistema (1). En consecuencia, la dimensión de estos espacios coincide. Pero la dimensión del sistema de soluciones del sistema (1) es igual que ya sabemos, dónde, el rango de la matriz. Pero acabamos de demostrar que

1. Operadores de diseño e anillos de identificadores.

Deje que el espacio vector en V sea igual a la suma directa de los subespacios W y L:. Por definición de suma directa, esto significa que cada vector VV se imagina inequívocamente como v \u003d w + l, ww. Ll.

Definición 1. Si, para que V \u003d W + L, entonces la asignación que coincida con cada vector VV componente (Proyección) WW se llama el proyector de espacio v al espacio W. También se les llama Operador de diseño o operador de proyección.

Obviamente, si WW, entonces (W) \u003d w. Desde aquí se deduce que tiene la siguiente propiedad maravillosa 2 \u003d P.

Definición 2. El elemento E Ring K se llama Idempotente (es decir, una unidad similar), si E 2 \u003d E.

En el anillo de enteros, solo hay dos idempotentes: 1 y 0. Un negocio en el anillo de matrices. Por ejemplo, MATRICES - IDEMPOTENCIALES. Los matrices del operador de diseño también son idempotials. Los operadores correspondientes a ellos se llaman operadores ideantotentes.

Considere ahora la suma directa de N subespacio V:

Luego, similar al caso de la suma directa de dos subespacios, puede obtener los operadores de diseño N, ...,. Tienen una propiedad \u003d\u003d 0 con IJ.

Definición 3. IDMPNotes e i y e j (ij) se llama ortogonal si e i e j \u003d e j e i \u003d 0. En consecuencia, idempotentes ortogonales.

Del hecho de que iv \u003d v, y de la regla de la adición de operadores lineales sigue que

Esta descomposición se denomina descomposición de una unidad en la cantidad de idempotentes.

Definición 4. Indentpotente E se llama mínimo si no se puede enviar como una cantidad de idempotentes que no sean E y 0.

2. Descomposición canónica de la presentación.

Definición 5. La descomposición canónica de la representación t (g) es su descomposición del tipo t (g) \u003d n 1 t 1 (g) + n 2 t 2 (g) + ... + NT TT (G), en la que el Representaciones irreductibles equivalentes T i (g) combinadas juntas, con NI, la multiplicidad de ingresar a la representación irreductible t i (g) en la descomposición t (g).

Teorema 1. La descomposición canónica de la presentación se determina utilizando el operador de proyección del tipo

I \u003d 1, 2, ..., t, (31)

donde | g | - Ordenar el grupo G; M i son los grados de las representaciones t i (g), donde I \u003d 1, 2, ..., t; I (g), i \u003d 1, 2, ..., t - los personajes de las representaciones irreductibles t i (g). En este caso, M I está determinado por la fórmula.

3. Operadores de proyección asociados con matrices de representaciones irreductibles de los grupos.

Con la ayuda de fórmulas (31), solo puede obtener una descomposición canónica de la presentación. En general, es necesario utilizar las matrices de representaciones irreductibles que le permitan construir los operadores de diseño apropiados.

Teorema 2. Deje los elementos de la matriz de la representación irreductible t r (g) del grupo G. Operador del tipo

es un operador de diseño y se llama el operador de Wigner. En la expresión (33) m r - la dimensión de la representación t r (g).

4. Descomposición de la presentación en la cantidad directa de representaciones irreductibles utilizando el operador de Wigner

Denote por M Módulo asociado con la representación de T. Deje una representación irreductible de T 1, T 2, ..., tttttttttttt, de acuerdo con la descrita anteriormente (ver § 4), corresponde a los submodules irreducibles m 1, m 2, ... m t. Módulo de descomposición M

llamada la descomposición canónica del módulo M. denota nimi \u003d li, para que

Submódulos irreducibles de los módulos. Denoté

; i \u003d 1, 2, ..., t. (36)

Estos módulos necesitamos encontrar.

Supongamos que la tarea se resuelve. Por lo tanto, en cada uno de los modelos m i (s) (S (s) (S \u003d 1, 2, ..., NI) encontró una base orthonormal en la que el operador está representado por la matriz TI (G) de la representación irreductible de la T, obtenido como resultado de la acción (de acuerdo con la regla del § 3) operador en la base de acuerdo con la fórmula

J \u003d 1, 2, ..., m i. (37)

En esta expresión, se puede suponer que M I es la dimensión de la representación irreductible TI (I \u003d 1, 2, ..., T), y - los elementos de la base con el número G desde el submodule irreducible M i I . Ahora introduzca los elementos de la base L i en un fijo I de la siguiente manera:

A la derecha en la expresión (38) hay bases de los módulos M i (1), M I (2), ... ,. Si cambio de 1 a T, obtenemos la base deseada de todo el módulo M que consiste en M 1 N 1 + M 2 N 2 + ... + M T elementos.

Considera ahora el operador

actuando en el módulo M (J fijo). Según Theorem 2, el operador de diseño. Por lo tanto, este operador se va sin cambiar todos los elementos básicos (S \u003d 1, 2, ..., N i) ubicada en la J-M de la columna de expresión (38), y se convierte en cero todos los otros vectores de la base de datos. Denote por el espacio vectorial de M J, estirado a un sistema ortogonal de vectores en la J-M de la columna de expresión (38). Entonces podemos decir que es un operador de diseño en el espacio M ij. Se conoce al operador, ya que los elementos diagonales de las matrices de representaciones irreductibles de los grupos, así como el operador T (G).

Ahora puedes resolver nuestra tarea.

Elegimos el N i de vectores básicos arbitrarios en M: y hagamos un operador de diseño en ellos. Los vectores resultantes se encuentran en el espacio M IJ y son linealmente independientes. No son necesariamente ortogonales y normalizados. Termino el sistema de vectores resultantes de acuerdo con la regla del § 2. El sistema de vectores resultantes denotará e ij (s) de acuerdo con las designaciones tomadas bajo el supuesto de que la tarea se resuelve. Como ya se designó, aquí J está fijo, y S \u003d 1, 2, ..., n i. Denote por E if (S) (F \u003d 1, 2, ..., J-1, J + 1, ..., M I), los elementos restantes de la base de datos del módulo M i Dimension N i M i. Denote por el siguiente operador:

De las proporciones de ortogonalidad para las matrices de las representaciones irreductibles, se deduce que este operador hace posible obtener e IG S de acuerdo con la fórmula

I \u003d 1, 2, ..., t. (41)

Todo esto se puede expresar en forma del siguiente algoritmo.

Para encontrar la base de datos del módulo de los elementos convertidos por representaciones irreducibles de T i contenidas en la presentación de T asociada con el módulo M, es necesario:

Según la fórmula (32), encuentre la dimensión de los subespacios M ij correspondiente al componente J de la representación irreducible T i.

Encuentre usando el operador de diseño (39) todas las subespacias m ij.

En cada subespacio M ij, seleccione una base orthonormal arbitraria.

Usando Fórmula (41), encuentre todos los elementos de la base transmitida por los componentes restantes de la representación irreducible de T i.

Dirac y Ket-Vectores son maravillosos, ya que con la ayuda de ellos puedes registrar varios tipos de trabajos.

El producto del vector de la costra en el Ketter se llama un producto escalar o un trabajo interno. De hecho, es un producto de matriz estándar de acuerdo con la regla "Fila a columna". Su resultado es un número complejo.

El producto del ket-vector en otro ket-vector no da ningún número, pero otro ket-vector. También parece ser una columna de vectores, pero con la cantidad de componente igual al producto de los vectores originales. Tal trabajo se llama el producto tensor o el producto de la caballa.

Del mismo modo, para el trabajo de dos vectores de pantallas. Obtenemos una gran cadena vectorial.

Este último permanece con multiplicar el ket-vector en el vector SCON. Es decir, es necesario multiplicar la columna en la cadena. Dicho producto también se llama tensor o trabajo externo. El resultado es la matriz, es decir, el operador.

Considere un ejemplo de uso de tales operadores.

Tome algún operador de ermita arbitraria A. De acuerdo con los postulados, corresponde al valor observado. Los propios vectores del operador de Hermitian forman una base. El vector de estado más común se puede descomponer sobre esta base. Es decir, presentar la suma de vectores básicos con ciertos coeficientes complejos. Este hecho es conocido como el principio de superposición. Reescribo la expresión a través de la cantidad de signo.

Pero los coeficientes en la descomposición del vector de los básicos son amplitudes de probabilidad, es decir, el producto escalar del vector de estado con el vector de base correspondiente. Escribimos esta amplitud a la derecha del vector. La expresión en la suma de la cantidad se puede ver como la multiplicación del vector KET en el número complejo, la amplitud de la probabilidad. Por otro lado, se puede considerar como un producto de la matriz obtenida multiplicando el vector de ket en el vector SCON y el vector de Source Ket. Ket-vector se puede sacar de la cantidad de la cantidad por soporte. A la derecha y a la izquierda del signo de igualdad será el mismo vector psi. Esto significa que la cantidad total no hace nada con el vector y, en consecuencia, es igual a una sola matriz.

Esta fórmula en sí es muy útil cuando manipula las expresiones con las obras de desplazamiento y ketters. Después de todo, la unidad se puede insertar en cualquier lugar del trabajo.

Veamos qué matrices se incluyen en la cantidad y obtenida por el producto tensor del vector básico de KET con su emparejamiento de ermitaños. Una vez más, para mayor claridad, dibujaremos una analogía con vectores convencionales en el espacio tridimensional.

Elegimos vectores básicos únicos, EX y EZ, coincidiendo con los ejes de coordenadas. El producto tensor del vector ex en su emparejamiento se enviará a la siguiente matriz. Tomar un vector arbitrario v. ¿Qué pasará al multiplicar esta matriz en el vector? Esta matriz simplemente restablece todos los componentes del vector, además de x. El resultado fue un vector dirigido a lo largo del eje X, es decir, la proyección del vector original en el vector básico ex. Siguiendo nuestra matriz no es más que un operador de proyección.

Los dos operadores de proyección restantes para los vectores básicos EY y EZ están representados por matrices similares y realizan una función similar: cero todo excepto un componente del vector.

¿Qué sucede cuando los operadores de proyección se suman? Por ejemplo, PX y los operadores PY agregarán. Dicha matriz solo se restablecerá el componente Z del vector. El vector final siempre se tendrá en el plano x-y. Es decir, tenemos un operador de proyección en el plano X-Y.

Ahora está claro por qué la suma de todos los operadores de proyección para vectores básicos es igual a una sola matriz. En nuestro ejemplo, obtendremos la proyección del vector tridimensional en el propio espacio tridimensional. Matriz individual en esencia y hay un proyector del propio vector.

Resulta que la tarea del operador de proyección es equivalente a la tarea del subespacio del espacio fuente. En el caso, en consideración del espacio euclidiano tridimensional, puede ser una línea de una sola dimensión establecida por un vector o un plano bidimensional solicitó un par de vectores.

Al regresar a la mecánica cuántica con sus vectores estatales en el espacio de Hilbert, se puede decir que los operadores de proyección establecen el subespacio y proyectan el vector de estado en este subespacio de Hilbert.

Damos las principales propiedades de los operadores de proyección.

1. La aplicación consistente del mismo operador de proyección es equivalente a un operador de proyección. Normalmente, esta propiedad está escrita como P 2 \u003d P. De hecho, si el primer operador hizo el vector en el subespacio, entonces la segunda nada no hará nada. El vector ya estará en este subespacio.
2. Los operadores de proyecciones son los operadores herméticos, respectivamente, en la mecánica cuántica corresponden a los valores observados.
3. Los valores propios de los operadores de proyección de cualquier dimensión son solo un número uno y cero. Hay un vector en subespacio o no. Debido a dicha binaridad descrita por el operador de proyección, el valor observado se puede formular como una pregunta, la respuesta a la que será "sí" o "no". Por ejemplo, ¿hay un giro del primer electrón en el estado de Singlet Up el eje Z? Esta pregunta se puede poner de acuerdo con el operador del proyecto. La mecánica cuántica hace posible calcular las probabilidades de la respuesta de respuesta "Sí" y "No".

En el futuro, también hablaremos sobre operadores de proyección.