En muchos casos, la tarea de obtener (calcular) el espectro de la señal es la siguiente. Se tiene un ADC, que con una frecuencia de muestreo Fd convierte una señal continua que llega a su entrada durante el tiempo T, en lecturas digitales - N piezas. A continuación, la matriz de lecturas se introduce en un determinado programa que da N / 2 de algunos valores numéricos (el programador que sacado de internet escribió un programa, afirma que hace la transformada de Fourier).

Para verificar si el programa funciona correctamente, formaremos una matriz de lecturas como la suma de dos sinusoides sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la deslizaremos en el programa. El programa dibujó lo siguiente:

fig.1 Gráfico de la función temporal de la señal

fig.2 Gráfico de espectro de señal

En el gráfico de espectro hay dos palos (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz, con una amplitud de 1 V, todo como en la fórmula de la señal original. ¡Todo está bien, programador bien hecho! El programa está funcionando correctamente.

Esto significa que si aplicamos una señal real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar que consta de dos armónicos.

Total, nuestro real señal medida, duración 5 seg, digitalizado por el ADC, es decir representado discreto cuenta, tiene discreto no periódico espectro.

Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores hay en esta frase?

Ahora que las autoridades han decidido, decidimos que 5 segundos es demasiado tiempo, midamos la señal en 0,5 segundos.



fig.3 Gráfico de la función sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) para un período de medición de 0,5 s

fig.4 Espectro de funciones

¡Algo no está bien! El armónico de 10 Hz se dibuja normalmente, pero en lugar de un palo de 5 Hz, aparecieron varios armónicos incomprensibles. Buscamos en Internet, qué y cómo...

En, dicen que se deben agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normal.

fig.5 Ceros terminados hasta 5 segundos

fig.6 Obtuvimos el espectro

Todavía no es lo que era a los 5 segundos. Tienes que lidiar con la teoría. Vamos a Wikipedia- fuente de conocimiento.

2. Una función continua y su representación por una serie de Fourier

Matemáticamente, nuestra señal con una duración de T segundos es una determinada función f(x) dada en el intervalo (0, T) (X en este caso es el tiempo). Tal función siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (seno o coseno) de la forma:

K - número de función trigonométrica (número de componente armónico, número armónico)
T - segmento donde se define la función (duración de la señal)
Ak - amplitud del k-ésimo componente armónico,
?k - fase inicial del k-ésimo componente armónico

¿Qué significa "representar una función como la suma de una serie"? Esto quiere decir que sumando los valores de las componentes armónicas de la serie de Fourier en cada punto, obtendremos el valor de nuestra función en ese punto.

(Más estrictamente, la desviación estándar de la serie de la función f(x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia de la raíz cuadrática media, la serie de Fourier de la función, en general, no se requiere que converja puntualmente a ella. Consulte https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Esta serie también se puede escribir como:

(2),
donde , k-ésima amplitud del complejo.

La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:

Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie de Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar los exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, utilizar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero nos conviene usar la fórmula (1), donde la serie de Fourier se representa como una suma de ondas cosenoidales con las correspondientes amplitudes y fases. En cualquier caso, es incorrecto decir que el resultado de la transformada de Fourier de la señal real serán las amplitudes complejas de los armónicos. Como dice correctamente la wiki, "La transformada de Fourier (?) es una operación que asigna una función de una variable real a otra función, también de una variable real".

Total:
La base matemática del análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier nos permite representar una función continua f(x) (señal) definida sobre el segmento (0, T) como la suma de un número infinito (una serie infinita) de funciones trigonométricas (seno y/o coseno) con ciertas amplitudes y fases, también consideradas en el segmento (0, T). Tal serie se llama serie de Fourier.

Señalamos algunos puntos más, cuya comprensión es necesaria para la correcta aplicación de la transformada de Fourier al análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (la suma de las sinusoides) en todo el eje X, podemos ver que fuera del segmento (0, T), la función representada por la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.

Por ejemplo, en el gráfico de la Fig. 7, la función original está definida en el segmento (-T \ 2, + T \ 2), y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.

Esto se debe a que las sinusoides mismas son funciones periódicas, respectivamente, y su suma será una función periódica.

fig.7 Representación de una función original no periódica por una serie de Fourier

De este modo:

Nuestra función original es continua, no periódica, definida en algún intervalo de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta como una serie infinita de componentes armónicos, la serie de Fourier.
De hecho, una cierta función periódica está definida por la serie de Fourier, que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero esta periodicidad no es esencial para nosotros.

Los periodos de las componentes armónicas son múltiplos del segmento (0, T) sobre el que se define la función original f(x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T en el que se define la función f(x). El periodo del segundo armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T/2. Y así sucesivamente (ver Fig. 8).

fig.8 Períodos (frecuencias) de los componentes armónicos de la serie de Fourier (¿aquí T = 2?)

En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos son múltiplos de 1/T. Es decir, las frecuencias de los componentes armónicos Fk son iguales a Fk= k\T, donde k varía de 0 a?, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (a frecuencia cero - componente constante).

Sea nuestra función original una señal registrada durante T=1 seg. Entonces el periodo del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1=T=1 seg y la frecuencia del armónico es de 1 Hz. El periodo del segundo armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2=T/2=0.5 seg) y la frecuencia es de 2 Hz. Para el tercer armónico T3=T/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Y así.

El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.

Así, una señal con una duración de 1 segundo se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución 2 veces a 0,5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición 2 veces, hasta 2 segundos. Una señal con una duración de 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resolución de frecuencia.

Existe una manera de aumentar artificialmente la duración de la señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resolución de frecuencia real.

3. Señales discretas y transformada de Fourier discreta

Con el desarrollo de la tecnología digital, las formas de almacenar los datos de medición (señales) también han cambiado. Si antes la señal podía grabarse en una grabadora y almacenarse en cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (conteos).

El esquema habitual para medir y digitalizar una señal es el siguiente.

fig.9 Esquema del canal de medición

La señal del transductor de medición llega al ADC durante un período de tiempo T. Las muestras de señal (muestra) obtenidas durante el tiempo T se transfieren a la computadora y se almacenan en la memoria.

fig.10 Señal digitalizada - N lecturas recibidas en el tiempo T

¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de señales? Un dispositivo que convierte una señal analógica de entrada en un código discreto (señal digital) se denomina convertidor de analógico a digital (ADC, English Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Uno de los principales parámetros del ADC es la frecuencia de muestreo máxima (o frecuencia de muestreo, frecuencia de muestreo en inglés): la frecuencia de toma de muestras de una señal continua en el tiempo durante su muestreo. Medido en hercios. ((Wiki))

De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, entonces puede restaurarse completa y únicamente a partir de sus muestras discretas tomadas a intervalos de tiempo, es decir con frecuencia Fd? 2*Fmax, donde Fd - frecuencia de muestreo; Fmax - frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la tasa de muestreo de la señal (ADC sample rate) debe ser al menos 2 veces la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.

¿Y qué pasará si tomamos lecturas con una frecuencia más baja que la requerida por el teorema de Kotelnikov?

En este caso, se produce el efecto de "aliasing" (también conocido como efecto estroboscópico, efecto muaré), en el que una señal de alta frecuencia después de la digitalización se convierte en una señal de baja frecuencia que en realidad no existe. En la fig. 5 ondas sinusoidales rojas de alta frecuencia son la señal real. La onda sinusoidal azul de baja frecuencia es una señal ficticia que resulta del hecho de que durante el tiempo de muestreo más de la mitad del período de la señal de alta frecuencia tiene tiempo de pasar.

Arroz. 11. La aparición de una señal falsa de baja frecuencia cuando la tasa de muestreo no es lo suficientemente alta

Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-aliasing especial frente al ADC - LPF (filtro de paso bajo), que pasa las frecuencias por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y elimina las frecuencias más altas.

Para calcular el espectro de una señal a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT). Observamos una vez más que el espectro de una señal discreta está "por definición" limitado por la frecuencia Fmax, que es menos de la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una señal discreta se puede representar por la suma de un número finito de armónicos, en contraste con la suma infinita de la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, la frecuencia armónica máxima debe ser tal que represente al menos dos muestras, por lo que el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de la señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, entonces el número de armónicos en el espectro será igual a N/2.

Considere ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparando con la serie de Fourier

Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT es discreto y el número de armónicos está limitado a N/2, la mitad del número de muestras.

Las fórmulas DFT están escritas en variables enteras adimensionales k, s, donde k son los números de muestras de señal, s son los números de componentes espectrales.
El valor de s muestra el número de oscilaciones completas del armónico en el período T (la duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de los armónicos numéricamente, es decir, "en la computadora"

Volviendo a los resultados obtenidos al principio. Como se mencionó anteriormente, al expandir una función no periódica (nuestra señal) en una serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con un período T. (Fig. 12).

fig.12 Función periódica f(x) con período Т0, con período de medición Т>T0

Como puede verse en la Fig. 12, la función f(x) es periódica con período Т0. Sin embargo, debido a que la duración de la muestra de medida T no coincide con el periodo de la función T0, la función obtenida como serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función será contienen un gran número de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medida T coincidiera con el periodo de la función T0, entonces sólo el primer armónico (una sinusoide con un periodo igual a la duración de la muestra) estaría presente en el espectro obtenido tras la transformada de Fourier, ya que la función f (x) es una sinusoide.

En otras palabras, el programa DFT "no sabe" que nuestra señal es una "parte de una onda sinusoidal", pero está tratando de representar una función periódica como una serie, que tiene un espacio debido a la inconsistencia de las partes individuales de la onda sinusoidal.

Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que en total deberían representar la forma de la función, incluida esta discontinuidad.

Así, para obtener el espectro "correcto" de la señal, que es la suma de varias sinusoides con diferentes periodos, es necesario que en el periodo de medida de la señal quepa un número entero de periodos de cada sinusoide. En la práctica, esta condición puede cumplirse durante una duración suficientemente larga de la medición de la señal.

Fig.13 Ejemplo de la función y espectro de la señal del error cinemático de la caja de cambios

Con una duración más corta, la imagen se verá "peor":

Fig.14 Un ejemplo de la función y el espectro de la señal de vibración del rotor

En la práctica, puede ser difícil entender dónde están los "componentes reales" y dónde están los "artefactos" causados ​​por la no multiplicidad de los períodos de los componentes y la duración de la muestra de la señal o los "saltos y rupturas" de la forma de onda Por supuesto, las palabras "componentes reales" y "artefactos" no están entre comillas en vano. La presencia de muchos armónicos en el gráfico de espectro no significa que nuestra señal en realidad "conste" de ellos. Es como pensar que el número 7 "consiste" en los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4; esto es correcto.

Así es nuestra señal… o mejor dicho, ni siquiera “nuestra señal”, sino que una función periódica compilada repitiendo nuestra señal (muestreo) se puede representar como una suma de armónicos (sinusoides) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la práctica (véanse las figuras anteriores), es posible relacionar los armónicos obtenidos en el espectro con procesos reales que son de naturaleza cíclica y contribuyen significativamente a la forma de la señal.

algunos resultados

1. La señal real medida, de duración T seg, digitalizada por el ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico, representado por un conjunto de armónicos (N/2 piezas ).

2. La señal está representada por un conjunto de valores reales y su espectro está representado por un conjunto de valores reales. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que a los matemáticos les resulte más conveniente representar el espectro de forma compleja utilizando frecuencias negativas no significa que “sea correcto” y que “siempre se deba hacer así”.

3. La señal medida en el intervalo de tiempo T se determina solo en el intervalo de tiempo T. Lo que sucedió antes de que comenzáramos a medir la señal y lo que sucederá después de eso, esto es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso, no es interesante. La DFT de una señal de tiempo limitado da su espectro "real", en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y frecuencia de sus componentes.

Materiales usados ​​y otros materiales útiles.

La transformada de Fourier es el medio más utilizado para convertir una función arbitraria del tiempo en un conjunto de sus componentes de frecuencia en el plano de números complejos. Esta transformación se puede aplicar a funciones aperiódicas para determinar sus espectros, en cuyo caso el operador complejo s se puede reemplazar por /co:

Para determinar las frecuencias más interesantes se puede utilizar la integración numérica en el plano complejo.

Para familiarizarse con los conceptos básicos del comportamiento de estas integrales, consideramos varios ejemplos. en la fig. 14.6 (izquierda) muestra el pulso de área unitaria en el dominio del tiempo y su composición espectral; en el centro, un pulso de la misma área, pero de mayor amplitud, ya la derecha, la amplitud del pulso es infinita, pero su área sigue siendo igual a la unidad. La imagen de la derecha es especialmente interesante porque el espectro de pulsos de ancho cero contiene todas las frecuencias con amplitudes iguales.

Arroz. 14.6. Espectros de pulsos del mismo ancho, a lo largo del mismo piaosrdi

En 1822 el matemático francés J. B. J. Fourier (J. B. J. Fourier) demostró en su trabajo sobre la conductividad térmica que cualquier función periódica se puede descomponer en componentes iniciales, incluida la frecuencia de repetición y un conjunto de armónicos de esta frecuencia, y cada uno de los armónicos tiene su propia amplitud y fase con respecto a la tasa de repetición. Las fórmulas básicas utilizadas en la transformada de Fourier son:

donde A() es la componente de corriente continua, y A p y B p son armónicos de la frecuencia fundamental de orden y, respectivamente, en fase y antifase con ella. La función f(*) es pues la suma de estos armónicos y Lo-

En los casos en que f(x) es simétrica con respecto a mc/2, es decir, e. f(x) en la región de n a 2n = -f(x) en la región de 0 a n, y no hay componente DC, las fórmulas de la transformada de Fourier se simplifican a:

donde n = 1, 3.5, 7…

Todos los armónicos son sinusoides, solo algunos de ellos están en fase y algunos están desfasados ​​con la frecuencia fundamental. La mayoría de las formas de onda que se encuentran en la electrónica de potencia se pueden descomponer en armónicos de esta manera.

Si se aplica la transformada de Fourier a pulsos rectangulares con una duración de 120°, entonces los armónicos serán un conjunto de orden k = bi ± 1, donde n es uno de los números enteros. La amplitud de cada armónico h con respecto al primero está relacionada con su número por la relación h = l//e. En este caso, el primer armónico tendrá una amplitud 1,1 veces mayor que la amplitud de una señal rectangular.

La transformada de Fourier da el valor de amplitud de cada armónico, pero como todos son sinusoidales, el valor rms se obtiene simplemente dividiendo la amplitud correspondiente por la raíz de 2. El valor rms de una señal compleja es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores rms de cada armónico, incluido el primero.

Cuando se trata de funciones de impulsos repetitivos, es útil considerar el ciclo de trabajo. Si los pulsos repetidos en la Fig. 14.7 tiene un valor rms X en el tiempo A, entonces el valor rms en el tiempo B será X(A/B) 1 2 . Por lo tanto, el valor RMS de los pulsos repetitivos es proporcional a la raíz cuadrada del valor del ciclo de trabajo. Aplicando este principio a un pulso rectangular de amplitud unitaria de 120° (ciclo de trabajo 2/3) se obtiene el valor RMS (2/3) 1/2 = 0,8165.

Arroz. 14.7. Determinación de la raíz cuadrática media (RMS) para repetidos

impulsos

Es interesante comprobar este resultado sumando los armónicos correspondientes al mencionado tren de ondas cuadradas. En mesa. 14.2 muestra los resultados de esta suma. Como puedes ver, todo coincide.

Tabla 14.2. Los resultados de la sumatoria de armónicos correspondientes a

señal periódica con ciclo de trabajo 2/3 y amplitud unitaria

número armónico

Amplitud armónica

valores eficaces totales

Con fines de comparación, cualquier conjunto de armónicos se puede agrupar y determinar el nivel general correspondiente de distorsión armónica. En este caso, el valor cuadrático medio de la señal está determinado por la fórmula

donde h\ es la amplitud del primer armónico (fundamental) y h„ es la amplitud de los armónicos de orden n > 1.

Los componentes responsables de la distorsión se pueden escribir por separado como

donde n > 1. Entonces

donde Fondo es el primer armónico y la distorsión armónica total (THD) es igual a D/Fondo.

Aunque el análisis de onda cuadrada es interesante, rara vez se usa en el mundo real. Los efectos de conmutación y otros procesos hacen que los pulsos rectangulares se parezcan más a los trapezoidales o, en el caso de los convertidores, con un flanco ascendente descrito por la expresión 1 cos(0) y un flanco descendente descrito por cos(0), donde 0< 0

en una escala logarítmica, la pendiente de las secciones correspondientes de este gráfico es -2 y -1.Para sistemas con valores típicos de reactancia, el cambio de pendiente ocurre aproximadamente en frecuencias del armónico 11 al 35 de la frecuencia de la red, y con una aumento en la reactancia o corriente en el sistema, la frecuencia de cambio de pendiente disminuye. El resultado práctico de todo esto es que los armónicos más altos son menos importantes de lo que uno podría pensar.

Aunque aumentar la reactancia ayuda a reducir los armónicos de orden superior, esto no suele ser factible. Es más preferible reducir los componentes armónicos en la corriente consumida aumentando el número de pulsos durante la rectificación o conversión de voltaje, lograda por cambio de fase. Con respecto a los transformadores, este tema se tocó en el Cap. 7. Si el convertidor o rectificador de tiristores se alimenta de los devanados del transformador conectados en estrella y triángulo, y las salidas del convertidor o rectificador están conectadas en serie o en paralelo, se obtiene una rectificación de 12 pulsos. Los números armónicos del conjunto ahora son k = \2n ± 1 en lugar de k = 6u + 1, donde n es uno de los números enteros. En lugar de armónicos de 5º y 7º orden, ahora aparecen armónicos de 11º y 13º orden, cuya amplitud es mucho menor. Es bastante posible usar incluso más ondas y, por ejemplo, los sistemas de 48 pulsos se usan en grandes fuentes de alimentación para instalaciones electroquímicas. Dado que los grandes rectificadores y convertidores utilizan conjuntos de diodos o tiristores conectados en paralelo, el costo adicional de los devanados de cambio de fase en un transformador determina principalmente su precio. en la fig. 14.8 muestra las ventajas de un circuito de 12 pulsos sobre uno de 6 pulsos. Los armónicos de orden 11 y 13 en un circuito de 12 pulsos tienen un valor de amplitud típico de aproximadamente el 10% del primer armónico. En circuitos con gran número de ondulaciones, los armónicos son del orden k = pn + 1, donde p es el número de ondulaciones.

Como interés, observamos que los pares de conjuntos armónicos que simplemente se desplazan entre sí 30° no se cancelan entre sí en un esquema de 6 pulsos. Estas corrientes armónicas fluyen de regreso a través del transformador; por lo tanto, se requiere un cambio de fase adicional para obtener la posibilidad de su aniquilación mutua.

No todos los armónicos están en fase con el primero. Por ejemplo, en un conjunto armónico trifásico correspondiente a un tren de ondas cuadradas de 120°, las fases de los armónicos cambian según la secuencia -5, +7, -11, +13, etc. Cuando se desequilibra en un circuito trifásico, pueden presentarse componentes monofásicos, lo que conlleva una triplicación de armónicos con desfase cero.

Arroz. 14.8. Espectros de transductores de 6 y 12 pulsaciones

Los transformadores de aislamiento a menudo se consideran una panacea para los problemas de armónicos. Estos transformadores agregan algo de reactancia al sistema y, por lo tanto, ayudan a reducir los armónicos más altos; sin embargo, aparte de la supresión de corrientes de secuencia cero y el aislamiento electrostático, son de poca utilidad.

Comencemos con un circuito simple para cubrir los conceptos básicos que luego usaremos para circuitos más complejos. En la fig. 7.1 muestra el voltaje de entrada V BX.p = 1 V, esta es una onda sinusoidal con una frecuencia F\u003d 1 kHz y un valor máximo de 1 V (rms V en=√2). Para proporcionar un voltaje de salida que sea una función no lineal del voltaje de entrada, se utiliza como amplificador una fuente de voltaje E controlada por voltaje (VUN). En este ejemplo, la dependencia del voltaje de salida con respecto a la entrada se muestra mediante la función

F(X) = 1 + X + X².

Arroz. 7.1. Esquema con una relación no lineal entre los voltajes de entrada y salida

Esta relación funcional se muestra en el comando E usando coeficientes polinómicos. Vista general del polinomio:

F(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Para llegar a nuestra dependencia de ejemplo, usamos los últimos tres números del comando de entrada E. Queremos hacer un análisis de armónicos para ver qué armónicos están presentes en el voltaje de salida, pero primero intentemos determinar qué debemos esperar.

Antes de proceder a la expansión de las dependencias temporales en una serie de Fourier, es necesario realizar un análisis para procesos transitorios (programa de análisis transitorio en PSpice).

Por lo tanto, se deben usar los comandos .TRAN y .FOUR. Por lo general, se realiza un análisis transitorio para un período completo de la frecuencia fundamental. En este ejemplo F=1kHz; Como consecuencia, T=1/F= 1 ms. El análisis armónico refleja los componentes de frecuencia hasta el noveno armónico. Para la mayoría de los propósitos, esto debería ser más que suficiente. Si se muestran armónicos más altos, no importarán mucho debido a la acumulación de errores de redondeo en los resultados.

Para dar una descripción más detallada del voltaje de entrada VBX, utiliza el formulario pecado para describir la fuente. Parámetros sin( a, b,Con,…) significar: a- componente constante, b- valor máximo, Con- frecuencia, d- demora, mi- coeficiente de atenuación y F- fase.

Cuando se incluye en el archivo de entrada, el comando .FOUR produce un análisis armónico que produce una expansión de Fourier de los resultados del análisis transitorio. Los parámetros para este comando incluyen la frecuencia fundamental y las variables para las cuales se obtendrá la expansión. En este ejemplo, estas variables serán funciones periódicas de los voltajes de entrada V(1) y salida V(2). Fichero de entrada:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentos para desplazamiento, máximo y frecuencia

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 valores para k0, k1, k2

Realice el análisis, luego obtenga las gráficas V(1) y (V)2. Asegúrese de que V(1) sea una copia exacta del voltaje de entrada V VX. El voltaje de salida debe mostrar un componente de CC y una onda compleja con un máximo de 3 V. A partir de un estudio teórico de la serie de Fourier, se puede concluir que este gráfico se asemeja a una onda periódica que consta de la fundamental y la segunda armónica. Es recomendable imprimir una copia de este gráfico para un estudio futuro. En la fig. 7.2 muestra estos gráficos.

Arroz. 7.2. Gráficos de tensión v 1 y v 2 para el circuito de la fig. 7.1

Considere también el archivo de salida para este circuito (Figura 7.3), que muestra los siguientes valores para los voltajes de los nodos: V(1)=0 V y V(2)=1 V. Esto significa que aunque la señal de entrada no tiene offset, la salida de tensión tiene un offset V(2)=1V.

En la fig. 7.3 en la tabla de componentes de la serie de Fourier para V(1), no todos los componentes tienen valores reales. Así, el valor del componente constante teóricamente debería ser igual a cero, pero el análisis da un valor muy pequeño de 3.5E-10, que no es exactamente igual a cero debido a la acumulación de errores de redondeo.

Análisis de Fourier; Descomposición de Polinomio

Vin 1 0 sin(0 1 1000); los argumentos son compensación, pico y frecuencia

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; los últimos 3 1 son para k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

ARMÓNICA FRECUENCIA FOURIER NORMALIZADA FASE NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (GRADOS) FASE (GRADOS)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL = 4.999939E+01 POR CIENTO

Arroz. 7.3. El archivo de salida con los resultados del análisis del circuito en la fig. 7.1

El primer armónico es el armónico fundamental en F=1kHz. Se muestra la amplitud del primer armónico de la serie de Fourier y su fase 2,4Å-7 (también casi cero). Si asumimos que este componente se expresa mediante la fórmula

segundo norte pecado( nx),

entonces esto significa que b 1 =1, norte=1, donde el índice 1 corresponde a la frecuencia fundamental. Se pueden ignorar otros armónicos, ya que sus amplitudes son muchos órdenes de magnitud más pequeñas que el armónico fundamental. Es el armónico fundamental que se refleja en el gráfico V(1) en Probe, obtenido a partir de los datos de la Fig. 7.3.

Otra tabla de componentes de Fourier en la fig. 7.3 se refiere a V(2). Al observar los distintos armónicos, tenga en cuenta que hay un componente de CC de 1,5 V. ¿Por qué 1,5 V? Componente k 0 = 1 V da solo una parte de este valor, los 0,5 V restantes están asociados con el segundo armónico. La teoría muestra que con distorsión armónica en el segundo armónico en el voltaje de salida, además del segundo armónico en sí mismo con amplitud b 2, aparece una componente constante asociada a distorsiones en el segundo armónico con el valor b 0 =b 2. La amplitud de la frecuencia fundamental en la expansión es b 1 \u003d 1 V, amplitud del segundo armónico b 2 =0,5 V, su ángulo de fase es -90°. Los armónicos más altos son mucho más pequeños y se pueden ignorar.

Como ejercicio de síntesis armónica, puede dibujar los armónicos individuales y sumarlos para predecir el resultado que obtendrá en Probe for V(2). Recuerde tener en cuenta la componente continua y las correspondientes amplitudes y fases para la fundamental y la segunda armónica. Una vez que haya dibujado la forma de onda resultante, sin duda le complacerá saber que PSpice puede hacer el tedioso trabajo por usted.

Adición de armónicos y descomposición en componentes armónicos

Vamos a crear un nuevo archivo de entrada correspondiente a la Fig. 7.4, en el que al diagrama de la Fig. 7.1, se añaden dos fuentes de corriente independientes más.

Usamos dos fuentes solo para que pueda obtener los armónicos fundamentales y segundos en el mismo gráfico con el voltaje de salida. Las fuentes adicionales alimentan una resistencia de 1 ohm conectada en paralelo. Tal cambio en el esquema original no es necesario en absoluto, simplemente resultó ser conveniente con un conjunto dado de parámetros. El nuevo archivo de entrada es una extensión del archivo anterior y se ve así:

Análisis de Fourier; Descomposición de Polinomio

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentos - compensación, amplitud y frecuencia

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 registros para k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0.5 0.5 2000 0 0 -90)

Arroz. 7.4. Esquema para analizar la suma de armónicos y expansión en una serie de Fourier

Antes de realizar el análisis, echemos un vistazo más de cerca a las descripciones de i 1 y i 2. Para la síntesis armónica se utilizan los resultados de la expansión en serie de Fourier del problema anterior. Asegúrese de comprender el significado de todos los parámetros; luego ejecute el análisis en Probe para obtener gráficos I(i1), I(i2) e I(r). Aunque son corrientes, son numéricamente iguales a los voltajes, ya que pasan por una resistencia de 1 ohm. En la fig. 7.5 presenta los resultados. Ahora puedes establecer que la primera gráfica es la armónica fundamental, la segunda es la segunda armónica, y la tercera es el resultado de sumarlas en una resistencia r. Por supuesto, puede obtener una gráfica de V(3) en lugar de I(r). Al mismo tiempo, el eje Y se etiquetarán en unidades de voltaje, no de corriente. Verifique que la suma de las dos primeras curvas da la tercera curva en diferentes puntos en el tiempo. Para hacer el gráfico más compacto, usamos un desplazamiento de 1V para el fundamental y 0.5V para el segundo armónico. De hecho, el armónico fundamental tiene desplazamiento cero.

Arroz. 7.5. Los armónicos fundamental y segundo y el resultado de su suma

Distorsión de segundo armónico en amplificadores

Cuando el área de operación del amplificador va más allá de la parte lineal de la característica, esto genera cierta distorsión. La primera aproximación a la curva de salida real se logra al incluir el segundo armónico en el modelo, mostrando que la función de transición que conecta yo c y yo b(corriente de colector y base) es una especie de parábola. Por lo general, la distorsión es mucho menor que la supuesta en nuestro primer ejemplo introductorio, que se muestra en la Fig. 7.1. Un polinomio más exacto viene dado por la fórmula

F(X) = 0,1 + X + 0,2X².

Es suficiente simplemente transformar el archivo de entrada original para reflejar esta situación. Comando de entrada para fuente dependiente mi tomará la forma:

E20 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; últimos tres valores para k0, k1, k2

y todo el archivo de entrada será:

Ejecute el análisis y obtenga gráficos V(1) y V(2) en Probe. Verás que ambas ondas parecen ondas sinusoidales reales. Para una comparación más precisa, elimine la gráfica V(2) y obtenga una gráfica V(2)–0.1 en su lugar. Esto acercará ambas curvas. Al comparar ondas, recuerde que V(1) es solo una onda sinusoidal y V(2) es una combinación de armónicos fundamentales y segundos. En este ejemplo, el segundo armónico tiene una amplitud mucho menor que en el anterior. Puede imprimir los resultados del estudio que se muestra en la fig. 7.6.

Arroz. 7.6. Los armónicos fundamental y segundo y el resultado de su suma

Después de salir del programa Probe, considere el archivo de salida para este caso. El voltaje de entrada V(1) es exactamente el mismo que en el ejemplo anterior, pero por supuesto que V(2) es diferente. Tenga en cuenta que el componente de CC del voltaje de salida es de 0,2 V y el segundo armónico en F=2 kHz tiene una amplitud de 0,1 V y un ángulo de fase de -90°. Otros armónicos son mucho más pequeños y pueden despreciarse. Finalmente, determine la distorsión armónica total, que es muy cercana al 10%, como se esperaba. La distorsión del segundo armónico se define como b 1 /b 2 donde b 1 y b 2 - coeficientes en los armónicos segundo y fundamental, respectivamente. Estos datos se muestran en la fig. 7.7.

Análisis de Fourier; Segunda distorsión armónica, amplificador de potencia

TENSIÓN DE NODO TENSIÓN DE NODO TENSIÓN DE NODO TENSIÓN DE NODO

COMPONENTES DE FOURIER DE LA RESPUESTA TRANSITORIA V(1)

ARMÓNICA FRECUENCIA FOURIER NORMALIZADA FASE NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (GRADOS) FASE (GRADOS)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL = 2.208405E-06 POR CIENTO

COMPONENTES DE FOURIER DE LA RESPUESTA TRANSITORIA V(2)

ARMÓNICA FRECUENCIA FOURIER NORMALIZADA FASE NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (GRADOS) FASE (GRADOS)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL = 9.999880E+00 POR CIENTO

Arroz. 7.7. Los resultados del análisis de la distorsión del segundo armónico en amplificadores.

Distorsión de intermodulación

Usamos un circuito simple (fig. 7.8) para mostrar cómo se combinan dos ondas sinusoidales en un dispositivo no lineal que usa frecuencias bastante cercanas entre sí, a saber F 1 = 1kHz y F 2 = 1,5kHz. La mezcla no lineal tiene lugar en la fuente dependiente del tipo e VCVS (INUN). El polinomio que describe la relación tiene más términos que en el ejemplo anterior:

F(X) = 1 + X + X² + X³.

Arroz. 7.8. Circuito para demostrar la distorsión de intermodulación

Las corrientes, en suma, crean en R= 1 Ω voltaje V(1), numéricamente igual a la corriente en r Por lo tanto, el voltaje de entrada V(1) puede considerarse como el voltaje en un mezclador no lineal. Dado que las ondas sinusoidales tienen diferentes frecuencias, su suma es una oscilación periódica compleja con una frecuencia diferente de la frecuencia de los componentes originales (frecuencia de pulsación). Fichero de entrada:

Ejecute la simulación y acceda a la sonda V(1). Seleccione Gráfico, Configuración del eje X..., Definido por el usuario y configure el rango de 0 a 10 ms para lograr un voltaje de entrada constante. Este gráfico se muestra en la Fig. 7.9. Para confirmar que en realidad es la suma de los armónicos de 1 y 1,5 kHz, seleccionamos Trace, Fourier, pasando del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Cambiemos los bordes a lo largo del eje. X ajustando el rango de frecuencia de 4 a 12 kHz. Asegúrese de que los parámetros del eje correspondan a las frecuencias deseadas y las amplitudes esperadas. De hecho, cuando F\u003d 1 kHz, el voltaje es 0.991 V, y en F= 1,5 kHz es 0,979 V. Tenga en cuenta que hay algún error de acumulación con esta síntesis. En la fig. 7.10 muestra la respuesta de frecuencia correspondiente.

Arroz. 7.9. Tensión de salida con distorsión de intermodulación

Arroz. 7.10. Composición espectral de la tensión de entrada

Luego seleccione Trace, End Fourier para volver al dominio del tiempo, elimine el gráfico V(1) y obtenga el voltaje de salida del mezclador V(2). Recuerde que el mezclador es un INUN con una conexión polinomial dada por la función F(X). La dependencia del tiempo es un gráfico similar al gráfico V(1), pero una mirada más cercana revela que las formas de tensión son significativamente diferentes. Se pueden obtener algunas pistas del contenido armónico de esta forma de onda compleja, por lo que será necesario volver al dominio de la frecuencia seleccionando un rango a lo largo del eje X de 0 a 5 kHz. Recomendamos imprimir el espectro de frecuencias para su posterior estudio. El análisis teórico de los componentes de modulación de frecuencia le permite predecir y verificar los resultados del análisis en PSpice. Tenga en cuenta que hay un componente de 2 V CC junto con componentes significativos en el rango de 0,5 a 4,5 kHz (consulte la Figura 7.11 para ver el espectro de frecuencia).

Arroz. 7.11. Composición espectral de la tensión de salida

Adición de armónicos

El caso más simple para el análisis teórico es el caso de un efecto armónico en un circuito que consta de componentes lineales como resistencias, condensadores e inductores y, como sabe, la respuesta es una oscilación armónica a la misma frecuencia de la señal de entrada. Diferentes caídas de voltaje en el circuito también son oscilaciones armónicas con la misma frecuencia, que difieren solo en amplitud y fase. Usemos un diagrama simple para ilustrar algunas de estas propiedades. En la fig. 7.12 muestra tres fuentes de tensión que alimentan un circuito que contiene resistencias R= 1 ohmio y R 1 =R 2 \u003d 0,001 ohmios. Las dos últimas resistencias son necesarias para que las fuentes de voltaje no sean ideales. Usando este diagrama, podemos mostrar la adición de ondas sinusoidales en Probe. Fichero de entrada:

Adición de ondas sinusoidales de la misma frecuencia

*El orden de los parámetros en una expresión compleja para armónicos

*componentes: compensación, amplitud, frecuencia, retardo, atenuación, fase

v2 2 0 sen(0 1 1kHz 0 0 45); fase=45 grados

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); fase=90 grados

Arroz. 7.12. Esquema para agregar señales armónicas de una frecuencia.

Ejecute la simulación y los gráficos de sonda v(1), v(2) y v=v(1)+v(2). Los gráficos resultantes muestran el voltaje v 2 con un retraso máximo de aproximadamente 45° desde el máximo v 1, y el voltaje total v 1 +v 2 con un máximo situado entre sus valores máximos. Asegúrese de que el máximo v 1 = 1 V alcanzado a 251 µs (90°), máximo v 2 \u003d 1 V - en el momento de 131 μs (47,16 °) y máximo v 1 +v 2 \u003d 1.8381 V - en el momento de 171 μs (61.56 °). Elimine estos gráficos y obtenga dependencias temporales para otras combinaciones de voltajes, por ejemplo, para v(1), v(3) y v(1)+v(3). En función de su capacidad para agregar vectores de tensión, intente predecir el valor de amplitud para la suma de las tensiones antes de obtener los gráficos de la sonda que se muestran en la Figura 2. 7.13.

Arroz. 7.13. El resultado de la suma de señales armónicas de la misma frecuencia.

Adición de armónicos fundamentales y segundos

En el archivo de entrada correspondiente al esquema de la Fig. 7.12, puede variar fácilmente los parámetros y la composición de las fuentes de alimentación. vamos a borrar v 3 y duplicar la frecuencia de voltaje v 2 para convertirse en la segunda frecuencia armónica para v una . Por supuesto, la oscilación resultante se volverá inmediatamente no sinusoidal. De hecho, su forma dependerá de la relación de los ángulos de fase v 1 y v 2. Deje que ambos armónicos alcancen su máximo simultáneamente en el ejemplo considerado. Archivo de entrada para este caso:

Adición de ondas sinusoidales; Pico fundamental y de segundo armónico juntos

Ejecute la simulación y trace v(1), v(2) y v=v(1)+v(2) en Probe. Porque el v 1 y v 2 pico al mismo tiempo, el máximo de la oscilación resultante es de 2 V, pero cuando el armónico fundamental alcanza un máximo negativo, el segundo armónico vuelve a un máximo positivo, y su suma llega a cero. Es claro que la fluctuación total ( v 1 +v 2) no sinusoidal. Estos gráficos se muestran en la fig. 7.14.

Arroz. 7.14. El resultado de sumar el primer y segundo armónico

Amplitud modulada

Se puede obtener un gráfico interesante de una forma de onda modulada en amplitud en PSpice usando la función de multiplicación de ondas armónicas con frecuencias significativamente diferentes. En la fig. 7.15 muestra un circuito que simula tal dispositivo. La fuente del primer armónico es v 1 con una frecuencia de 1 kHz. segundo origen v 2 tiene una frecuencia de 20 kHz. La multiplicación se realiza en la fuente dependiente e, que es el INUN (VCVS). Se necesitan resistencias para evitar potenciales flotantes. Fichero de entrada:

e 3 0 poli(2) 1.0 2.0 0 0 0 0 1

Arroz. 7.15. Multiplicador para modulación de onda sinusoidal

Las últimas cinco entradas en el comando de entrada de fuente polinomial son: 0 0 0 0 1. Recuerde que estos son los valores de los coeficientes en los términos k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 y k 4 v 1 v 2. Todos los valores son 0 excepto k 4 , que es igual a 1.

Ejecute la simulación y obtenga gráficas de v(1) y v(3) en Probe. El componente armónico con una frecuencia de 20 kHz no se construye deliberadamente sobre el gráfico general, para no complicar la comprensión de los procesos. La oscilación resultante v(3) tiene la forma clásica de una oscilación modulada en amplitud. En este ejemplo, ambos armónicos de entrada v 1 y v 2 tienen una amplitud de 1 V. Los gráficos se muestran en la fig. 7.16.

Arroz. 7.16. El resultado del estudio de las señales moduladas en amplitud.

Mientras aún está en Probe, agregue otro voltaje de entrada v(2) trazado para mostrar todos los voltajes: v(1), v(2) y v(3). Ahora bien, este gráfico contiene, junto con las otras dos ondas, la portadora, dando la imagen completa. Obtenga una copia impresa para estudiarla más a fondo, luego elimine la gráfica v(2) y seleccione Trace, Fourier. Instalar a lo largo del eje X límites de rango de 0 a 30 kHz. El dominio de frecuencia ahora muestra componentes de 1,19 kHz y 21 kHz. Los últimos componentes son las frecuencias laterales superior e inferior resultantes de esta modulación. Determine la amplitud de cada una de estas ondas. Recuerda la identidad trigonométrica,

(pecado a)(pecado b) = 0.5,

lo que explica las amplitudes de 0,5 V para las frecuencias de banda lateral. Consulte la fig. 7.17, que muestra el espectro de frecuencias. (Se han eliminado los marcadores para una imagen más clara). Analice con diferentes amplitudes relativas para el voltaje de modulación v 1 para ver qué efecto tiene esto en la profundidad de modulación t. por ejemplo, cuando v 1 tiene una amplitud de 0,8, ¿cuál es la profundidad de modulación y cómo se ve la oscilación resultante?

Arroz. 7.17. Espectro de frecuencia de una oscilación modulada en amplitud

Una descripción general de los nuevos comandos de PSpice utilizados en este capítulo

.CUATRO <частота>*<выходные переменные>

Por ejemplo, la entrada

muestra que se está realizando una expansión de Fourier. La descomposición se puede realizar solo después de obtener la dependencia del tiempo para el estado estacionario obtenida en el análisis del transitorio. Tal comando debe estar presente en el archivo de entrada:

TRAN <шаг><момент окончания>

Tareas

El análisis de armónicos proporciona el componente de CC de la fundamental y todos los armónicos hasta el noveno inclusive. Sus amplitudes y fases se muestran con valores reales y relativos. En el ejemplo anterior, se analizaron V(1) y V(2) y sus componentes. Usualmente, para realizar un análisis armónico, se usa el comando .INVESTIGACION: sin embargo, los comandos también se pueden usar en su lugar .IMPRESIÓN o .GRÁFICO.

7.1. En la fig. 7.18 el polinomio para E tiene la forma

F(X) = X + X².

Arroz. 7.18

Usando pico= 1 V, F=1kHz y V= 1 Comparar v 0 yo. Prediga el contenido armónico aproximado del voltaje de salida; luego realice un análisis en PSpice que mostrará el contenido armónico de los voltajes de entrada y salida. En el comando .FOUR, use los voltajes V(2, 1) y V(3). Examine el archivo de salida y determine el contenido armónico de V(3).

7.2. En el Problema 7.1, use Trace, Fourier para obtener el contenido armónico de V(3). Visualización de V(2,1) y V(3), establecer el eje X límites de 0 a 5 kHz.

7.3. Realice el análisis del problema 7.1 con

F(X) = 2 + 0,1X².

Prediga el contenido armónico aproximado del voltaje de salida; luego trace V(2,1) y V(3) para verificar la precisión de sus predicciones.

7.4. En la fig. 7.4 muestra una fuente polinomial E. Se dio como

F(X) = 1 + X + X².

Cambia el polinomio a

F(X) = X + X²,

y realizar síntesis y descomposición cambiando i 1 y i 2 para que la corriente I(r) siga la forma del voltaje V(2).

7.5. En la sección "Segunda distorsión armónica en amplificadores" de este capítulo, reemplace el polinomio con lo siguiente:

F(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

y ejecute el análisis en PSpice como se sugiere en el texto. Obtenga una gráfica de V(1) y (V)2-0.05 para comparar los voltajes de entrada y salida variables. Predecir los valores de la componente DC de la tensión de salida, amplitud y fase del segundo armónico y distorsión armónica total. Pruebe sus predicciones con los resultados de Probe y el archivo de salida.

7.6. En la sección de distorsión de intermodulación, combinamos dos ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Realizar análisis a frecuencias F 1 = 2kHz y F 2 = 2,5 kHz, dejando la expresión para F(X) sin cambios. Modifique el comando .TRAN según la tarea. Siga los pasos en el mismo orden que en el ejemplo de texto para probar sus predicciones sobre el contenido armónico del voltaje de salida.

7.7. En la sección "Adición de armónicos" en la fig. 7.12 muestra ramas paralelas con tres fuentes de tensión. La adición de armónicos fue más matemática que física. Cambie el circuito para que todas las fuentes de voltaje estén conectadas en serie, luego vuelva a ejecutar el análisis. ¿Obtuviste los mismos resultados?

7.8. Realice un análisis para agregar los siguientes voltajes armónicos de frecuencia única F=1kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V y v 23 =1.5∠90° V.

Donde:

a) Encuentre el valor máximo ( v 1 +v 2), así como el tiempo y el ángulo de fase en el que se alcanza el máximo.

b) Repita el paso a) para ( v 1 +v 3).

Cuando use el modo de cursor y múltiples gráficos en la misma pantalla, use el botón [ control] y las flechas ← y → para seleccionar en cuál de los gráficos debe moverse el cursor.

7.9. Para ilustrar el efecto de sumar armónicos con frecuencias cercanas, realice el análisis como en el problema 7.8 para el siguiente conjunto de parámetros: v 1 =1∠0° V, F 1 = 1kHz, v 1 =1∠0° V, F 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 =1∠0° V y F 3=1,4kHz:

a) Obtener los gráficos v 1 , v 2 y ( v 1 +v 2). Encuentre el valor máximo ( v 1 +v 2).

b) Obtener gráficos v 1 , v 3 y ( v 1 +v 3). Encuentre el valor máximo ( v 1 +v 3).

7.10. Resuelva el problema de la sección sobre modulación de amplitud configurando v 1 = 1 V a 1 kHz, y cambiando v 1 para que la profundidad de modulación sea 0,5. Ejecute el análisis en PSpice para mostrar sus resultados.

Como sabe, en la industria de la energía eléctrica, se adopta una forma sinusoidal como forma estándar para corrientes y voltajes. Sin embargo, en condiciones reales, las formas de las curvas de corrientes y tensiones pueden diferir en cierta medida de las sinusoidales. Las distorsiones en las formas de las curvas de estas funciones en los receptores conducen a pérdidas de energía adicionales y a una disminución de su eficiencia. La forma sinusoidal de la curva de voltaje del generador es uno de los indicadores de la calidad de la energía eléctrica como mercancía.

Son posibles las siguientes razones para la distorsión de la forma de las curvas de corrientes y voltajes en un circuito complejo:

1) la presencia en el circuito eléctrico de elementos no lineales, cuyos parámetros dependen de los valores instantáneos de corriente y voltaje (por ejemplo, rectificadores, unidades de soldadura eléctrica, etc.);

2) la presencia en el circuito eléctrico de elementos paramétricos, cuyos parámetros cambian con el tiempo;

3) la fuente de energía eléctrica (generador trifásico), debido a las características de diseño, no puede proporcionar una forma sinusoidal ideal del voltaje de salida;

4) influencia en el complejo de los factores enumerados anteriormente.

Los circuitos no lineales y paramétricos se analizan en capítulos separados del curso TOE. Este capítulo investiga el comportamiento de los circuitos eléctricos lineales cuando se exponen a fuentes de energía con una forma de onda no sinusoidal.

Se sabe por el curso de matemáticas que cualquier función periódica de tiempo f(t) que satisfaga las condiciones de Dirichlet puede representarse mediante una serie armónica de Fourier:

Aquí А0 es un componente constante, Ak*sin(kωt+ αk) es el k-ésimo componente armónico o k-ésimo armónico en resumen. El primer armónico se llama fundamental, y todos los armónicos posteriores se llaman los más altos.

Las amplitudes de los armónicos individuales Ak no dependen del método de expansión de la función f(t) en una serie de Fourier, al mismo tiempo, las fases iniciales de los armónicos individuales αk dependen de la elección de la referencia temporal (origen).

Los armónicos individuales de la serie de Fourier se pueden representar como la suma de los componentes del seno y el coseno:

Entonces toda la serie de Fourier tomará la forma:

Las relaciones entre los coeficientes de las dos formas de la serie de Fourier son:

Si el k-ésimo armónico y sus componentes seno y coseno se reemplazan por números complejos, entonces la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier se puede representar en forma compleja:

Si se da (o se puede expresar) analíticamente una función periódica no sinusoidal del tiempo en forma de ecuación matemática, entonces los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante las fórmulas conocidas del curso de matemáticas:

En la práctica, la función no sinusoidal estudiada f (t) generalmente se establece en forma de diagrama gráfico (gráficamente) (Fig. 46.1) o en forma de tabla de coordenadas de puntos (tabular) en el intervalo de uno (Cuadro 1). Para realizar un análisis armónico de tal función de acuerdo con las ecuaciones anteriores, primero debe reemplazarse por una expresión matemática. Reemplazar una función dada de forma gráfica o tabular por una ecuación matemática se denomina aproximación de función.

En la actualidad, el análisis armónico de funciones no sinusoidales de tiempo f(t) se realiza, por regla general, en una computadora. En el caso más simple, se utiliza una aproximación lineal por partes para la representación matemática de una función. Para hacer esto, la función completa en el intervalo de un período completo se divide en M = 20-30 secciones para que las secciones individuales estén lo más cerca posible de las líneas rectas (Fig. 1). En secciones separadas, la función se aproxima mediante la ecuación de la línea recta fm(t)=am+bm*t, donde los coeficientes de aproximación (am, bm) se determinan para cada sección a través de las coordenadas de sus puntos extremos, por ejemplo, para la primera sección obtenemos:

El periodo de la función T se divide en un gran número de pasos de integración N, el paso de integración Δt=h=T/N, el tiempo actual ti=hi, donde i es el número ordinal del paso de integración. Ciertas integrales en las fórmulas de análisis armónico se reemplazan por las sumas correspondientes, se calculan en una computadora utilizando el método trapezoidal o rectangular, por ejemplo:

Para determinar las amplitudes de los armónicos superiores con suficiente precisión (δ≤1%), el número de pasos de integración debe ser de al menos 100k, donde k es el número armónico.

En tecnología, se utilizan dispositivos especiales llamados analizadores de armónicos para aislar armónicos individuales de voltajes y corrientes no sinusoidales.

Las transformaciones de Fourier y Hartley transforman funciones de tiempo en funciones de frecuencia que contienen información de amplitud y fase. A continuación se muestran las gráficas de una función continua. gramo(t) y discreto gramo(τ), donde t y τ son momentos de tiempo.

Ambas funciones comienzan en cero, saltan a un valor positivo y decaen exponencialmente. Por definición, la transformada de Fourier para una función continua es una integral sobre todo el eje real, F(F), y para una función discreta, la suma sobre un conjunto finito de muestras, F(ν):

dónde F, ν son valores de frecuencia, norte es el número de valores muestrales de la función, y i=√ –1 es la unidad imaginaria. La representación integral es más adecuada para estudios teóricos, y la representación en forma de suma finita es más adecuada para cálculos informáticos. Las transformadas integral y discreta de Hartley se definen de manera similar:

Aunque la única diferencia de notación entre las definiciones de Fourier y Hartley es la presencia de un factor delante del seno, el hecho de que la transformada de Fourier tenga tanto una parte real como una imaginaria hace que las representaciones de las dos transformadas sean bastante diferentes. Las transformadas discretas de Fourier y Hartley tienen esencialmente la misma forma que sus contrapartes continuas.

Aunque los gráficos se ven diferentes, la misma información de amplitud y fase se puede derivar de las transformadas de Fourier y Hartley, como se muestra a continuación.

La amplitud de Fourier está determinada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. La amplitud de Hartley viene dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados H(–v) y H(ν). La fase de Fourier está determinada por el arco tangente de la parte imaginaria dividida por la parte real, y la fase de Hartley está determinada por la suma de 45° y el arco tangente de H(–ν) dividido por H(ν).