Actualmente, se conocen los siguientes métodos para organizar canales de radio (tecnologías de radio): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Posibles sus combinaciones (por ejemplo, FDMA / TDMA). Los plazos de los plazos para el uso de estas tecnologías se coinciden en gran medida con las etapas del desarrollo de los sistemas móviles. En el equipo del acoplamiento de radiotelefonía móvil de la primera generación, se utilizaron canales de dimensión múltiple con la separación de frecuencia de los canales (FDMA). La tecnología de radio de FDMA se ha utilizado hasta ahora con éxito en el equipo avanzado de la comunicación celular de primera generación, así como en sistemas más simples de comunicaciones móviles de radioteléfono con estructura no celular. En cuanto a los estándares de comunicación móvil de la primera etapa, para los primeros sistemas radiales, no se utilizó el concepto de estándares, y el equipo difirió por los nombres de los sistemas (Altai, VolveTot, Actionet, etc.). Los sistemas de comunicación celular comenzaron a diferir según las normas. En la tecnología FDMA, tales estándares de los sistemas celulares de primera generación se basan, ya que NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. En los sistemas de comunicación celular de segunda generación, se realizó una transición al procesamiento digital de los mensajes de voz transmitidos, para la cual comenzó a usar la tecnología de radio del acceso múltiple a la separación de canales de tiempo (TDMA). Como resultado de la transición a TDMA: aumenta la inmunidad al ruido del dolor de radio, se hizo mejor protegerse mejor de la escucha, etc. TDMA se aplica en sistemas tales como estándares como GSM, D-AMPS (La última versión en la versión estadounidense a menudo se conoce como TDMA). La tecnología de radio del acceso múltiple con la división de códigos de los canales CDMA, o en la versión en inglés de CDMA, se ha incorporado activamente en las redes de teléfono de radio públicas solo los últimos cinco años. Esta tecnología de radio tiene sus ventajas, porque En el equipo CDMA: - la eficiencia de usar el espectro de radiofrecuencia 20 veces más alto que el equipo de radio del estándar AMPS (tecnología FDMA) y 3 veces, con GSM (TDMA Technology); - significativamente mejor que en otros sistemas de 2da generación TDMA, calidad, confiabilidad y confidencialidad de la comunicación; - es posible utilizar terminales de baja potencia de tamaño pequeño con un largo período de trabajo; - Con la misma distancia de la estación base, la potencia de radiación de los terminales de suscriptores de CDMA es inferior a 5 veces con respecto al mismo indicador en las redes de normas basadas en otras tecnologías de radio; - Es posible optimizar la topología de las redes al calcular las áreas de cobertura. La tecnología CDMA se implementó por primera vez en el equipo celular celular IS-95. De acuerdo con sus capacidades de servicio, los sistemas CDMA existentes se refieren a sistemas celulares de segunda generación. Según los datos estadísticos del Instituto Nacional de Telecomunicaciones (ETRI), el número de suscriptores de redes de CDMA aumenta para 2,000 personas. En términos de la tasa de crecimiento de la cantidad de suscriptores, estas redes son superiores a las redes de otros estándares celulares existentes, antes del desarrollo de redes celulares de un estándar tan popular como GSM. Actualmente, las redes CDMA tienen al menos 30 millones de suscriptores. La comunidad mundial de telecomunicaciones está inclinada al hecho de que en el futuro sistema de acceso inalámbrico de líneas de suscriptores (sistemas de comunicación personal de tercera generación) CDMA ocupará una posición de liderazgo. Dicha conclusión se realizó debido al hecho de que la tecnología CDMA puede garantizar el cumplimiento de los requisitos para el equipo de la tercera generación IMT-2000, en particular, para garantizar el intercambio de información con altas tasas de transmisión. Sin embargo, en futuros sistemas de acceso inalámbrico, está previsto que utilice los llamados sistemas de banda ancha CDMA, donde la banda de frecuencia en el canal será de al menos 5 MHz (en los sistemas de CDMA modernos de la segunda generación, la barra de canales es de 1.23 MHz ). En los últimos años, los medios de comunicación inalámbrica comenzaron a aparecer, que se basan en la tecnología de espectro de frecuencia extendida con saltos de frecuencia (FH-CDMA). Esta tecnología combina los detalles específicos de TDMA, donde hay una división de cada frecuencia en varios intervalos de tiempo, y CDMA, donde cada transmisor utiliza una cierta secuencia de señales similares a los ruido. Esta tecnología ha encontrado su aplicación en sistemas destinados a la organización de comunicaciones fijas.

Dónde buscar sus características, Dick lo conoce.

44. Presentación de señales periódicas en forma de serie Fourier.

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8.

Señales periódicas y filas de Fourier.

El modelo matemático del proceso recurrente en el tiempo es la señal periódica con la siguiente propiedad:

Aquí es un período de señal.

La tarea es encontrar la descomposición espectral de tal señal.

Fourier Row.

Permitemos el tiempo discutido en CH. Yo ortonormated formado por funciones armónicas con múltiples frecuencias;

Cualquier función de esta base satisface la condición de frecuencia (2.1). Por lo tanto, - realizando la descomposición ortogonal de la señal de esta base, es decir, los coeficientes informáticos

obtenemos la descomposición espectral

justo en toda infinidad del eje de tiempo.

Una serie de especies (2.4) se llama cerca del Fourier de la señal de Danrgo. Introducimos la frecuencia principal de la secuencia formando una señal periódica. Cálculo de los coeficientes de descomposición (2.3), escriba una serie de Fourier para una señal periódica

con coeficientes

(2.6)

Entonces, en el caso general, la señal periódica contiene el componente constante constante y un conjunto infinito de oscilaciones armónicas, la llamada armónica con frecuencias a múltiples la frecuencia principal de la secuencia.

Cada armónica puede ser descrita por su amplitud e fase inicial para esto, los coeficientes de la serie Fourier deben escribirse como

Sustitor de estas expresiones en (2.5), obtenemos otra, - la forma equivalente de la serie Fourier:

que a veces es más conveniente.

Diagrama espectral de una señal periódica.

Por lo tanto, es habitual llamar a una imagen gráfica de un coeficiente de la serie Fourier para una señal específica. Los diagramas espectrales de amplitud y fase se distinguen (Fig. 2.1).

Aquí, a lo largo del eje horizontal, las frecuencias de los armónicos se posponen en alguna escala, y sus amplitudes y fases iniciales se presentan a lo largo del eje vertical.

Higo. 2.1. Diagramas espectrales de alguna señal periódica: A - Amplitud; B - fase

Particularmente interesado en un diagrama de amplitud, que le permite juzgar el contenido porcentual de ciertos armónicos en el espectro de la señal periódica.

Estudiamos varios ejemplos específicos.

Ejemplo 2.1. Secuencia periódica de Foilier Fourier de pulsos de video rectangulares con parámetros conocidos, incluso en relación con el punto t \u003d 0.

En la ingeniería de radio, la proporción se llama el bienestar de la secuencia. Según las fórmulas (2.6) encontramos

La fórmula final de la serie Fourier está convenientemente escrita en el formulario.

En la Fig. 2.2 Se presentan los gráficos de amplitud de la secuencia en dos casos extremos.

Es importante tener en cuenta que la secuencia de impulsos cortos, lo siguiente rara vez tiene una composición espectral rica.

Higo. 2.2. El espectro de amplitud de la secuencia periódica de los pulsos de video rimomóticos: A - con alta deber; B - con bajo servicio

Ejemplo 2.2. Una serie de secuencia periódica de los pulsos de Fourier formados por una señal armónica de la especie limitada a nivel (se asume que).

Introducimos un parámetro especial: el ángulo de corte determinado de la relación desde donde

En la correspondencia con esto, el valor es igual a la duración de un impulso, expresado en la medida de ángulo:

La grabación analítica de un pulso que genera la secuencia en consideración tiene la forma.

El componente constante de la secuencia.

El coeficiente de amplitud del primer armónico.

De manera similar calcular amplitudes - componentes armónicos cuando

Los resultados generalmente se registran de la siguiente manera:

donde la llamada Berg funciona:

Las gráficas de algunas funciones de Berg se muestran en la FIG. 2.3.

Higo. 2.3. Gráficos de varias primeras funciones de Berg.

Densidad espectral de señales. Transformación directa y inversa de Fourier.

Filtros digitales (conferencia)

Por tipo de características de impulso, los filtros digitales se dividen en dos clases grandes:

· Filtros con una característica de pulso finito (KIH - filtros, filtros transversales, filtros no expedientes). Un denominador de la función de transferencia de tales filtros es una cierta constante.

Los filtros se caracterizan por la expresión:

· Filtros con una característica de pulso infinito (bix - filtros, filtros recursivos) use una o más de sus salidas como una entrada, es decir, formar comentarios. La propiedad principal de tales filtros es que su característica de transición de impulso tiene una longitud infinita en el dominio del tiempo, y la función de transferencia tiene una vista racional fraccionaria.

BIH - Los filtros se caracterizan por una expresión:

La diferencia entre los filtros de BIH: los filtros es que los filtros KIH, la reacción de salida depende de las señales de entrada, y en los filtros de BIH, la reacción de salida depende del valor actual.

Característico de pulso - Esta es una reacción de diagrama a una sola señal.

MI.señal de dinich

Por lo tanto, la señal de la unidad es solo en un punto igual a una, en el punto de origen de las coordenadas.

E. Detenido E.señal de dinich Determinado de la siguiente manera:

Por lo tanto, la señal única retrasada retrasa en k periodos de discretización.

Señales y espectros

Dualidad (dualidad) de señales.

Todas las señales se pueden representar en un plano temporal o de frecuencia.

Además, los planos de frecuencia son varios.

Plano temporal.

Conversión.

Plano de frecuencia.

Para ver la señal en el plano de tiempo hay un dispositivo:

Imagina que hay una señal sinusoidal suficientemente larga (1 seg. 1000 veces el sinusoide repetidamente):

Tome una señal con una frecuencia, el doble de:

Mover estas señales. No obtendremos un sinusoide, sino una señal distorsionada:

Las transformaciones desde el plano de tiempo hasta el plano de frecuencia se realizan utilizando transformaciones de Fourier.

Para ver la señal en el plano de frecuencia hay un dispositivo:

Frecuencia cíclica o circular ( f.).

El plano de frecuencia mostrará serif:

La magnitud de la escena es proporcional a la amplitud del sinusoide, y la frecuencia:

Para la segunda señal, la región de frecuencia mostrará otro punto:

En el dominio de tiempo de la señal total, aparecerán 2 siervos:

Ambas indicaciones de la señal son equivalentes y utilizan la primera u otra representación, dependiendo de lo que sea más conveniente.

La conversión del plano de tiempo al plano de frecuencia se puede hacer de varias maneras. Por ejemplo: usando transformaciones de Laplace o utilizando transformaciones de Fourier.

Tres formas de registros de la serie Fourier.

Hay tres formas de registros de la serie Fourier:

· El seno es una forma de coseno.

· Forma real.

· Formulario integral.

1.) En el seno - forma de coseno La serie Fourier tiene el formulario:

Incluido en la fórmula para múltiples frecuencias. kΩ.1 llamado armonios; Los armónicos están numerados de acuerdo con el índice. k.; frecuencia ωk \u003dkΩ.Nombramiento k.- Señal armónica.

Esta expresión indica lo siguiente: que cualquier función periódica puede representarse como una suma de armónicos, donde:

T. - un período de repeticiones de esta función;

ω - Frecuencia circular.

dónde

t.- tiempo actual;

T. - período.

Al ampliar el Fourier, lo más importante es la periodicidad. Debido a su discretización en frecuencia, comienza un número de armónicos.

Para establecer la posibilidad de descomposición trigonométrica para una función periódica determinada, debe proceder de un conjunto específico de coeficientes. La recepción de su definición surgió en la segunda mitad del siglo XVIII Euler e independientemente de él a principios del siglo XIX, Fourier.

Tres fórmulas EULER para determinar los coeficientes:

; ;

Las fórmulas EULER no necesitan ninguna evidencia. Estas fórmulas son precisas con el número infinito de armónicos. Serie Fourier: fila truncada, ya que no hay un número infinito de armónicos. El coeficiente de fila truncado se calcula de acuerdo con las mismas fórmulas que para el rango completo. En este caso, el error cuadrático promedio es mínimo.

El poder armónico cae con un aumento en su número. Si agregue / deseche algunos componentes armónicos, no se requiere la recalculación de otros miembros (otros armónicos).

Casi todas las funciones son par o impares:

Función de la vista

Función impar

Caracterizado por la ecuación:

Por ejemplo, una función. Cos.:

cual: t \u003d -t

Una función uniforme es simétrica en relación con

los ejes de la ordenada.

Si la función es incluso, entonces todos los coeficientes sinusales. bk. coseno Firmado.

Caracterizado por la ecuación:

Por ejemplo, una función. Pecado.:

Una característica extraña es simétrica sobre el centro.

Si las funciones son extrañas, todos los coeficientes de coseno. alaska será cero y en la fórmula de la serie Fourier solo estará presente seno Firmado.

2.) Forma real Registros de la serie Fourier.

Algunos inconvenientes de la forma de coseno sinusoidal de una serie de Fourier es que para cada valor del Índice de suma k. (es decir, para cada armónico con frecuencia kΩ.1) La fórmula aparece dos términos: seno y coseno. Aprovechando las fórmulas de transformaciones trigonométricas, la suma de estos dos términos se puede transformar en el coseno de la misma frecuencia con una amplitud diferente y alguna fase inicial:

dónde

;

Si un S.(t.) es una función uniforme, fases φ solo puede tomar valores 0 y π , y si S.(t.) - Las funciones son extrañas, luego los valores posibles para la fase φ igual + π /2.

Si un bk. \u003d 0, luego tg φ \u003d 0 y ángulo φ = 0

Si un alaska \u003d 0, luego tg φ - sin fin y esquina φ =

En esta fórmula, puede haber un minus (dependiendo de qué dirección se toma).

3.) Forma completa Registros de la serie Fourier.

Esta forma de presentación de una serie de Fourier es quizás la más utilizada en la ingeniería de radio. Se obtiene de una forma real de una presentación de coseno en forma de un exponente de semi-desplazamiento (tal representación a partir de la fórmula EULER ejθ. = Cosθ. + jsinθ.):

Aplicando esta transformación a la forma real de una serie de Fourier, obtenemos la cantidad de exponenciales integrados con indicadores positivos y negativos:

Y ahora interpretaremos a los expositores con el inicio de sesión "menos" en el indicador como miembros de un número con números negativos. Como parte del mismo enfoque general, el término constante. uNA.0/2 será miembro de un número con un número cero. Como resultado, se obtendrá una forma integral de grabación de la serie Fourier:

Fórmula para calcular los coeficientes. Ck. Series de Fourier:

Si un S.(t.) es un incluso Función, coeficientes de fila Ck.estará limpio verdadero, y si S.(t.) - Función impar, los coeficientes de la serie serán puros. mnimami.

Amplitud agregada La fila armónica Fourier a menudo se llama espectro de amplitud, y el agregado de sus fases. espectro de fase.

El espectro de amplitudes es la parte real de los coeficientes. Ck. Series de Fourier:

Re ( Ck.) - Espectro de amplitudes.

Espectro de señales rectangulares.

Considere una señal en forma de una secuencia de pulsos rectangulares con una amplitud. UNA., Duración τ y período de repetición. T.. El comienzo de la cuenta regresiva del tiempo es visible ubicado en el medio del pulso.

Esta señal es una función uniforme, por lo que es más conveniente usar la forma de seno-coseno de la serie Fourier, solo los términos de coseno estarán presentes en ella. alaskaigual:

De la fórmula, se puede ver que la duración de los pulsos y el período de su seguidor no se separan en él, sino únicamente como una relación. Este parámetro es la relación entre el período en la duración del pulso - Llamada estudiar Secuencias de pulso y letra de denota: G: g \u003d T./ τ. Presentamos este parámetro a la fórmula resultante para los coeficientes de la serie Fourier, y luego le damos la fórmula al Formulario SIN (X) / X:

Nota: En literatura extranjera, en lugar de un deber, un valor inverso denominado coeficiente de llenado (ciclo de trabajo) e igual a τ / T..

Con tal forma de grabación, se vuelve claramente visible, lo que es igual al valor de los términos constantes de la serie: ya que x. → 0 pecado ( x.)/x. → 1, entonces

Ahora puede registrar la presentación de la secuencia de pulsos rectangulares en forma de una serie de Fourier:

Las amplitudes de los términos armónicos de la serie dependen del número armónico bajo la ley del pecado ( x.)/x..

Gráfico de función del pecado ( x.)/x.tiene un personaje de petal. Hablando sobre el ancho de estos pétalos, se debe enfatizar que para gráficos de espectros discretos de señales periódicas hay dos opciones para calificar el eje horizontal, en las salas de armónicos y en frecuencias.

En la figura, la gradación del eje corresponde al número de armónicos, y los parámetros de frecuencia del espectro se aplican a la tabla usando líneas dimensionales.

Entonces, el ancho de los pétalos, medido en la cantidad de armónicos, es igual al bienestar de la secuencia (cuando k. = ng. tengo Pecado. (π k /gRAMO.) \u003d 0 si nORTE. ≠ 0). Desde aquí sigue la importante propiedad del espectro de la secuencia de pulsos rectangulares, no hay (tienen cero amplitudes) de armónicos con números, múltiples enfermedades de servicio).

La distancia en la frecuencia entre armónicos adyacentes es igual a la frecuencia de los pulsos - 2 π /T.. El ancho de los pétalos de espectro medido en unidades de frecuencia es igual a 2 π /τ , es decir, inversamente proporcional a la duración del pulso. Esta es una manifestación de una ley general, más corta la señal, más amplia es su espectro.

Producción : Para cualquier señal, su descomposición se conoce en la serie Fourier. Conocimiento τ y T. Podemos calcular la cantidad de armónicos que necesitan pasar el poder.

Métodos para analizar sistemas lineales con coeficientes constantes.

Tarea en la configuración:

Hay un sistema lineal (independiente de la amplitud de la señal):

COEFFS: DS B0, B1, B3

…………………

Port_vvod equ e: ffc0; Definimos los puertos de entrada.

Port_vivod equ e: ffc1; Determinar los puertos de salida.

Org P: 0; Organización de la memoria P.

Restablecer: JMP START; Transición incondicional a la etiqueta de inicio.

P: 100; El programa comenzará con una celda de la celda.

Inicio: Mover BUF_X, R0; La dirección inicial X se introduce en R0.

Mover # ordfil─1, m0; restablecer. a mod. Arif. (Zap. Número 1man. Que el orden. Esto es un aficionado.)

Mover # COEFFS, R4; Organización del ciclo. Búfer para coeficientes. En la memoria Y.

Mover # M0, M4; t. K.Tlin debe coincidir, luego Pérez. De M0 a M4.

Clra; Retire la batería.

Representante # ordfil; Repita la operación de la cadena.

Mueve A, X: (R4) +; Preol. Auto-crepe y todas las celdas. cero.

Loop: MoveP y: Port_Vvod, X─ (R0); Beat. Envío de lecturas (más tarde. Umn. En b0.).

Representante # ordfil─1; Reps. Operación característica (39 ordena UMN. Sin ronda)

MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; UMN. X0na0, corte. en AK; PODG. sl. ópera.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; Tire del contenido de reenvío. batería.

JMP Loop; Transición incondicional a la etiqueta de bucle.

Procedimiento para diseñar filtros digitales.

El orden de diseñar filtros digitales se asocia principalmente con el tipo de filtro a lo largo de la línea de características de frecuencia. Uno de los que surgen a menudo en la práctica de las tareas es crear filtros que transmitan señales en una banda de frecuencia específica y retrasando las frecuencias restantes. Hay cuatro tipos:

1.) Filtros de frecuencia más bajos (FNH; término en inglés - filtro de paso bajo) Frecuencias de transmisión menos que una frecuencia de corte ω 0.

2.) Filtros de frecuencia superior (FVCH; Término inglés - Filtro de paso alto) Frecuencias de transmisión, rebanada de rebanada grande ω 0.

3.) Filtros de tira (PF; Término en inglés - Filtro de paso de banda) Frecuencias de transmisión en algún rango ω 1…. ω 2 (también se pueden caracterizar por una frecuencia promedio. ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtros de grabación (otros nombres posibles: filtración de filtros, filtro de corcho, filtro de baja detención; término inglés - filtro de parada de banda) todo frecuencia además acostado en alguna gama ω 1…. ω 2 (también se pueden caracterizar por una frecuencia promedio. ω 0 = (ω 1 + ω 2) / 2 y ancho de ancho de banda Δ ω = ω 2 – ω 1).

La forma ideal de filtros de respuesta de frecuencia de estos cuatro tipos:

Sin embargo, tal forma ideal (rectangular), AHH no se puede implementar físicamente. Por lo tanto, se han desarrollado varios métodos en la teoría de los filtros analógicos. aproximaciónrespuesta rectangular de frecuencia.

Además, después de haber calculado la FGC, puede cambiar su frecuencia del corte con transformaciones simples, guárdela en un PVCH, una tira o un filtro de vapor con parámetros especificados. Por lo tanto, el cálculo del filtro analógico comienza con el cálculo de los llamados filtrar prototipo, que representa un VFC con una frecuencia de corte de 1 rad / s.

1.) Filtro Batterworth:

La función de transmisión del prototipo del filtro Batterworth (filtro de Butterworth) no tiene ceros, y sus polos están ubicados uniformemente en s.-Lelosidad en la mitad izquierda de la circunferencia de un solo radio.

Para un filtro Batterworth, la frecuencia de corte se determina por Nivel 1 /. Filtro Batterworth proporciona plana máxima Top en el ancho de banda.

2.) Filtro de Chebyshev Primero tipo:

La función de transmisión del filtro de ChebyshEV (filtro de tipo I Chebyshev) tampoco tiene ceros, y sus polos se encuentran en la mitad izquierda de la elipse en s.-Lelos. Para el filtro de Chebyshev del primer tipo, la frecuencia de la rebanada está determinada por el nivel de ondulaciones en el ancho de banda.

En comparación con el filtro de Butterworth del mismo orden, el filtro Chebyshev proporciona una respuesta más aguda del ACH en el área de transición del ancho de banda al golpe del retraso.

3.) Filtro Chebyshev segundo tipo:

La segunda función de transferencia de filtro Chebyshev (Filtro de Chebyshev Tipo II), a diferencia de los casos anteriores, tiene ceros y polos. Los filtros de Chebyshev del segundo tipo se llaman filtros inversos de Chebyshev (Filtro Inverso Chebyshev). La frecuencia del filtro de curado Chebyshev segundo está al final del ancho de banda, pero inicio de la parada de retraso. El coeficiente de la transmisión del filtro en frecuencia cero es 1, en la frecuencia de corte, el nivel especificado de ondulaciones en la carrera de la demora. Para ω → ∞ El coeficiente de transmisión es cero con un orden impar del filtro y el nivel de ondulaciones, con uniforme. Para ω \u003d 0 Filtro ACHM Chebyshev El segundo tipo es el piso máximo.

4.) Filtros elípticos:

Filtros elípticos (filtros de Kauer; Términos de inglés - Filtro elíptico, filtro CAUER) En un sentido, las propiedades de los filtros de primer y segundo tipo se combinan en cierto sentido, ya que el filtro elíptico ACH tiene pulsaciones de un valor dado, tanto en el ancho de banda. y en el puesto del retraso. Debido a esto, es posible garantizar el máximo posible (con una manera fija del filtro) la inclinación del alcance de la SCH, es decir, el área de transición entre el ancho de banda y las bandas de detención.

La función de transmisión del filtro elíptico tiene polos y ceros. Los ceros, como en el caso del filtro Chebyshev del segundo tipo, son puramente imaginarios y forman pares de conjugados integrales. El número de ceros de la función de transmisión es igual al número uniforme máximo que no excede el orden del filtro.

Las funciones de MATLAB para calcular los filtros de Batterworth, primero y el segundo Chebyshev, así como los filtros elípticos, le permiten calcular los filtros analógicos y discretos. Las funciones de cálculo del filtro requieren tareas como parámetros de entrada del orden del filtro y su frecuencia de corte.

El orden del filtro depende:

De la no uniformidad permisible en el ancho de banda desde el valor de la zona de incertidumbre. (Cuanto más pequeña sea la zona de incertidumbre, más inclinada la disminución de la respuesta de frecuencia).

Para los filtros QIH, el pedido es de varias docenas o cientos, y para los filtros de BIH, el pedido no excede varias unidades.

Los pictogramas permiten ver todos los coeficientes. El diseño del filtro se realiza en una ventana.

La señal periódica de cualquier forma con un período de t se puede presentar como una suma

oscilaciones armónicas con diferentes amplitudes y fases iniciales, cuyas frecuencias son múltiples de la frecuencia principal. El armónico de esta frecuencia se llama el principal o primero, el resto, los más altos armónicos.

Forma trigonométrica de una fila de Fourier:

,

dónde
- Componente constante;

- amplitudes de los componentes formales de coseno;

- Amplitud de componentes sinusoidales.

Una señal uniforme (
) Solo tiene cosíneo, y extraño (
- Sólo los términos sinusoidales.

Más conveniente es la forma trigonométrica equivalente de la serie Fourier:

,

dónde
- Componente constante;

- La amplitud del n-th armónico de la señal. La combinación de amplitudes de componentes armónicos se llama el rango de amplitudes;

- La fase inicial del n-th armónico de la señal. La combinación de fases de componentes armónicos se llama el espectro de fase.

1. El espectro de la secuencia periódica de pulsos rectangulares. La dependencia del espectro en el período de los impulsos y su duración. Ancho del espectro. Descomposición en Fourier PPPI

Calcular los espectros de amplitud y fase de la PPPI con amplitud.
, Duración , El período de seguimiento y se ubicó simétricamente en relación con el inicio de las coordenadas (función, incluso función).

Figura 5.1 - Diagrama temporal de PPPI.

Se puede escribir la señal sobre el intervalo de un período:

Cálculos:

,

La serie Fourier para PPPI tiene la forma:.

Figura 5.2 - Diagrama espectral de amplitud de PPPI.

Figura 5.3 - Diagrama espectral de fase de PPPI.

El espectro de la PPPI (discreto) (parece ser un conjunto de líneas espectrales individuales), armónico (las líneas espectrales están a la misma distancia entre sí Ω 1), disminuyen (las amplitudes de armónicos disminuyen con el crecimiento de su número) , tiene una estructura de pétalos (el ancho de cada pétalo es 2π / τ), ilimitado (intervalo de frecuencia, en el que se ubican las líneas espectrales, es infinita);

Con las camas enteras, los componentes de frecuencia con frecuencias, un deber múltiple en el espectro (sus frecuencias coinciden con ceros del espectro de amplificaciones de envoltura);

Con un aumento en la fuerza de la amplitud de todos los componentes armónicos disminuyen. En este caso, si está asociado con un aumento en el período de repetición T, el espectro se vuelve más denso (Ω 1 disminuye), con una disminución en la duración del pulso τ, el ancho de cada pétalo se vuelve mayor;

El ancho del espectro de la PPPI adoptó el intervalo de frecuencia que contiene el 95% de la energía de la señal, (igual al ancho de los dos primeros pétalos de envoltura):

o
;

Todos los armónicos que están en un pétalo de un sobre tienen las mismas fases iguales a 0 o π.

1. Utilizando la transformación de Fourier para analizar el espectro de señales no periódicas. Espectro de un solo pulso rectangular. Transformaciones de Fourier integrales

Las señales de comunicación siempre están limitadas en el tiempo y, por lo tanto, no son periódicas. Entre las señales de no separación se encuentran el mayor interés que representa impulsos individuales (OI). OI se puede considerar como un caso extremo de una secuencia periódica de pulsos (PPI) Duración Con un período infinitamente grande de su repetición.
.

Figura 6.1 - PPP y OI.

La señal no periódica puede representarse por la suma del número infinitamente grande de infinitamente cerca de la frecuencia de las oscilaciones con amplitantes ampliantemente pequeñas. El espectro de AI es continuo y se ingresa mediante integrales de Fourier:

-
(1) - Dirija la transformación de Fourier. Le permite encontrar analíticamente la función espectral de acuerdo con un formulario de señal dado;

-
(2) - Fourier Transformación inversa. Le permite encontrar analíticamente el formulario en una función de señal espectral dada.

Forma compleja de transformación integral Fourier. (2) proporciona una representación espectral de dos vías (que tiene frecuencias negativas) de la señal no periódica
En forma de oscilaciones armónicas.
Con amplitudes complejos infinitamente pequeños.
Cuyas frecuencias se rellenan continuamente con todo el eje de frecuencia.

La densidad de la señal espectral compleja es una función de frecuencia compleja, al mismo tiempo que tiene información sobre amplitud y la fase de armónicos elementales.

El módulo de densidad espectral se llama la densidad espectral de amplitudes. Puede considerarse como una fuga del espectro sólido de la señal no periódica.

Argumento de densidad espectral
Se llama la densidad espectral de las fases. Se puede considerar como el espectro sólido FCH de la señal no periódica.

Transformamos la fórmula (2):

Formulario de conversión integral de Fourier Trigonométrico Da una representación espectral unilateral (sin frecuencias negativas) de la señal no periódica:

.

En el siglo pasado, Ivan Bernoulli, Leonard Euler, y luego a Jean-Batist Fourier, primero aplicó la presentación de funciones periódicas con filas trigonométricas. Esta presentación se estudia con bastante detalle en otros cursos, por lo que recordaremos solo las principales relaciones y definiciones.

Como se señaló anteriormente, toda la función periódica. u (t) por la cual se realiza la igualdad u (t) \u003d u (t + t) dónde T \u003d 1 / f \u003d 2p / w , Puedes imaginarte cerca de Fourier:

Cada categoría de esta serie se puede descomponer por la fórmula de coseno para la diferencia en dos ángulos y enviarlo en forma de dos términos:

,

dónde: A N \u003d C N COSφ N, B N \u003d C N Sinφ N , así que eso , pero

Factores UN. y Posada. de acuerdo con las fórmulas EULER:

;
.

Para n \u003d 0. :

pero B 0 \u003d 0.

Factores UN. y Posada. Son valores medios del trabajo de la función. u (t) y oscilación armónica con frecuencia. nOROESTE. en el intervalo de durabilidad T. . Ya sabemos (sección 2.5) que estas son las funciones de la correlación mutua que determina la medida de su conexión. En consecuencia, los coeficientes. UN. y B N. Muéstranos "¿Cuántos sinusoides o cosineons con una frecuencia? nOROESTE. contenido en esta característica u (t) dividido en una fila Fourier.

Por lo tanto, podemos presentar una función periódica. u (t) En forma de la suma de las oscilaciones armónicas donde los números. C N. son amplitudes, y números. Φ N. - etapas. Generalmente en la literatura llamado el espectro de amplitudes, y - Espectro de fase. Solo se considera el espectro de amplitudes a menudo, que se representa en forma de líneas ubicadas en puntos. nOROESTE. en el eje de las frecuencias y teniendo una altura correspondiente al número C N. . Sin embargo, debe recordarse que para obtener una correspondencia inequívoca entre la función de tiempo u (t) Y su espectro debe usar el espectro de amplitudes, y el espectro de fase. Esto se ve desde un ejemplo tan simple. Las señales tendrán el mismo espectro de amplitudes, pero un tipo de tiempo completamente diferente.

El espectro discreto puede tener no solo una función periódica. Por ejemplo, una señal: no periódica, sino que tiene un espectro discreto que consiste en dos líneas espectrales. También habrá una señal estrictamente periódica que consiste en una secuencia de pulsos de radio (pulsos con relleno de alta frecuencia), en el que el período de seguimiento es constante, pero la fase inicial de llenado de alta frecuencia cambia del pulso al pulso de acuerdo con a cualquier ley. Tales señales se llaman casi periódicas. Como veremos en el futuro, también tienen un espectro discreto. El estudio de la naturaleza física de los espectros de tales señales, rendiremos la misma manera que la periódica.

En muchos casos, la tarea de obtener (calcular) el espectro de la señal es el siguiente. Hay un ADC, que, con la frecuencia de muestreo FD, convierte una señal continua que llega a su entrada para el tiempo t, en conteos digitales - N piezas. A continuación, la matriz de muestra se introduce en un determinado programa que proporciona cualquier valor numérico numérico (un programador que sacado de ineta Publicado por el programa, asegura que hace transformarse de Fourier).

Para verificar si el programa funciona correctamente, forme una matriz de muestras como la suma de dos pecados sinusoide (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) y chupar el programa. El programa dibujó lo siguiente:

hIGO.1 Horario de señal de señal

fig.2 Programa de espectro de señal

El gráfico de espectro tiene dos palos (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz, con una amplitud de 1 V, todos como en la fórmula de origen. ¡Todo está bien, el programador está bien hecho! El programa funciona correctamente.

Esto significa que si ofrecemos una señal real desde una mezcla de dos sinusoides a la entrada de ADC, obtendremos un espectro similar que consiste en dos armónicos.

Total, nuestro verdadero señal medida duración de 5 segundos., ADC digitalizado, es decir, representado. discreto referencias, tiene discreto no periódico espectro.

Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores en esta frase?

Ahora los jefes decidimos que decidimos que 5 segundos son demasiado largos, vamos a medir la señal durante 0.5 segundos.



fig. 3 Función SIN (10 * 2 * PI * x) + 0.5 * Sin (5 * 2 * pi * x) en el período de medición 0.5 segundos

fig. 4 Función de espectro

¡Algo así! La armónica 10 Hz se dibuja normalmente, y en lugar de un palo en 5 Hz apareció varios armónicos incomprensibles. Miramos en internet, lo que sí ...

Además, dicen que al final de la muestra es necesario agregar ceros y el espectro se dibujará normal.

fig. 5 Terminó ceros a 5 segundos.

fig.6 recibió un espectro

De todos modos, no lo que fue de 5 segundos. Tendremos que lidiar con la teoría. Vamos B. Wikipedia - fuente de conocimiento.

2. Función continua y presentándola cerca de Fourier.

Matemáticamente, nuestro Duración de la señal T segundos es alguna función F (x) especificada en el segmento (0, T) (x en este caso - Tiempo). Dicha función siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (sinusoide o coseno) de la forma:

(1), donde:

K - el número de función trigonométrica (número del componente armónico, número armónico)
T - segmento donde se define la función (Duración de la señal)
AK - Amplitud del componente de armónicos K-Th,
θk- la fase inicial del componente armónico K-TH

¿Qué significa "presentar una función en la forma de la suma de la serie"? Esto significa que al plegar en cada punto el valor de los componentes armónicos de la serie Fourier, obtenemos el valor de nuestra función en este punto.

(La desviación más severamente cuadrada de la fila de la función F (x) se esforzará por cero, pero a pesar de la convergencia de RMS, la serie Fourier de la función, en general, no está obligada a converger. Consulte HTTPS: / /ru.wikipedia.org/ wiki / ruso_fourier.)

Esta serie también se puede grabar en el formulario:

(2),
Donde, k-i complejo amplitud.

La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa por las siguientes fórmulas:

Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con filas de Fourier, es más conveniente utilizar los exponentes del argumento imaginario en lugar de los senos y el coseno, es decir, para usar Fourier Transforme en una forma integral. Pero es conveniente para nosotros usar fórmula (1), donde la serie Fourier se representa como un conducto de coseno con amplitudes y fases apropiadas. En cualquier caso, es incorrecto decir que el resultado de la transformada de Fourier de la señal real será amplitudes complejas de armónicos. Cómo se dice en la Wiki "Transformación de Fourier (ℱ): una operación que compara una función de la variable real otra función, también una variable real".

TOTAL:
La base matemática del análisis espectral de las señales es la transformación de Fourier.

La transformación de Fourier le permite representar una función continua F (x) (señal), definida en el segmento (0, t) como la suma del número infinito (fila infinita) de funciones trigonométricas (sinusoide y \\ o coseno) con ciertas amplitudes y las fases, también consideradas en el segmento (0, t). Tal número se llama cerca de Fourier.

Notamos algunos puntos más, cuya comprensión se requiere para usar correctamente la transformación de Fourier al análisis de las señales. Si consideramos el rango de Fourier (suma del sinusoide) en todo el eje X, entonces puede ver que fuera del segmento (0, T), la función presentada junto a Fourier repitió periódicamente nuestra función.

Por ejemplo, en la Fig. Gráfica, la función inicial se define en el segmento (-T \\ 2, + T \\ 2), y el rango de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje X.

Esto se debe a que los sinusoides en sí mismos son funciones periódicas, respectivamente, su suma será una función periódica.

fig. 7 Representación de la función fuente no periódica cerca de Fourier

De este modo:

Nuestra función inicial es una continua, no periódica, determinada en una cierta longitud de T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta en forma de una interminable gama de componentes armónicos, una serie de Fourier.
De hecho, cerca de Fourier define alguna función periódica que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero para nosotros esta periodicidad no es significativa.

Los períodos de componentes armónicos son múltiples del tamaño del segmento (0, T), que determina la función inicial F (x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiples la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el primer período armónico de la serie Fourier es igual al intervalo, lo que define la función F (x). El período de la segunda armónica de la serie Fourier es igual al intervalo T / 2. Y así sucesivamente (ver Fig. 8).

fig. 8 Períodos (frecuencias) de componentes armónicos de una serie de Fourier (aquí t \u003d 2π)

En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos de un valor múltiple de 1 / t. Es decir, las frecuencias de los componentes armónicos FK son iguales a FK \u003d K \\ t, donde los valores de 0 a ∞ funcionan, por ejemplo, a \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 f1 \u003d 1 \\ t; k \u003d 2 f2 \u003d 2 \\ t; K \u003d 3 f3 \u003d 3 \\ t; ... fk \u003d k \\ t (en frecuencia cero - componente constante).

Deje que nuestra función inicial, represente una señal registrada durante t \u003d 1 seg. Luego, el primer período armónico será igual a la duración de nuestra señal T1 \u003d T \u003d 1 segundos y la frecuencia armónica es de 1 Hz. El período del segundo armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 segundos) y la frecuencia es de 2 Hz. Para el tercer armónico T3 \u003d T / 3 segundos y la frecuencia es de 3 Hz. Etc.

El paso entre los armónicos en este caso es de 1 Hz.

Por lo tanto, la duración de la señal de 1 segundo puede descomponerse en los componentes armónicos (obtener un espectro) con una resolución de 1 Hz.
Para aumentar la resolución 2 veces a 0,5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición 2 veces a 2 segundos. La señal con una duración de 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otra resolución de frecuencias otras formas de aumentar la resolución.

Hay un método para un aumento artificial en la duración de la señal agregando ceros a la matriz de conteo. Pero no aumenta la resolución real en la frecuencia.

3. Señales discretas y transformación de Fourier Discreta Discreta.

Con el desarrollo de la tecnología digital, los métodos para almacenar datos de medición (señales) han cambiado. Si la señal anterior podría grabarse en la grabadora de la cinta y se almacenará en la cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y se almacenan en los archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (muestras).

El diagrama habitual de medir y digitalizar la señal es la siguiente.

fig.9 Esquema de canal de medición

La señal del transductor de medición llega al ADC durante el período de tiempo T. obtenido durante el tiempo, las toneladas de señal (muestra) se transmiten a la computadora y se almacenan en la memoria.

fig. 10 señal digitalizada - N muestras recibidas durante T

¿Cuáles son los requisitos presentados a los parámetros de digitalización de la señal? El dispositivo que convierte la señal analógica de entrada al código discreto (señal digital) se llama convertidor analógico a digital (ADC, inglés. Convertidor analógico a digital, ADC) (WIKI).

Uno de los parámetros principales del ADC es la frecuencia máxima de muestreo (o la frecuencia de la sesión, el inglés. La frecuencia de muestreo) es la frecuencia de conteo del conteo de la señal continua en el tiempo cuando la discretiza. Medido en Hertz. ((Wiki))

Según el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro, una frecuencia limitada de FMAX, entonces puede ser restaurada por completo y de manera única por sus referencias discretas, tomadas a intervalos de tiempo . con frecuencia FD ≥ 2 * FMAX, donde FD es la frecuencia de muestreo; Fmax es la frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la frecuencia de la digitalización de la señal (la frecuencia de discretización del ADC) debe exceder al menos 2 veces la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.

¿Y qué pasará si tomamos cuenta con una frecuencia menor de la requerida por el teorema de Kotelnikov?

En este caso, se produce el efecto de "aliasing" (es un efecto estroboscópico, un efecto molar), en el que la señal de alta frecuencia después de la digitalización se convierte en una señal de baja frecuencia, que en realidad no existe. En la Fig. 11 La sinusoide de alta frecuencia roja es una señal real. El sinusoide azul de una frecuencia más baja es una señal ficticia que se produce debido al momento de tomar un tiempo de referencia para pasar más de la mitad de un período de la señal de alta frecuencia.

Higo. 11. La aparición de una señal de baja frecuencia falsa con una frecuencia de muestreo insuficientemente alta

Para evitar el efecto del aliasing antes de que los ADC coloque un filtro especial de aliasing especial: FNH (filtro de frecuencia más bajo), que pasa la frecuencia por debajo de la mitad de la frecuencia de discretización del ADC y las acciones de frecuencias más altas.

Para calcular el espectro de la señal sobre sus referencias discretas, se usa una transformación discreta de Fourier (DFT). Note una vez más que el espectro de la señal discreta "por definición" está limitada por la frecuencia del FMAX, menor que la mitad de la frecuencia de muestreo FD. Por lo tanto, el espectro de la señal discreta puede representarse por la cantidad del número final de armónicos, a diferencia de una cantidad infinita para una serie de una señal continua de Fourier, cuyo espectro puede ser ilimitado. Según el teorema de Kotelnikov, la frecuencia armónica máxima debe ser tal que al menos dos referencias, por lo tanto, el número de armónicos es la mitad del número de muestras de la señal discreta. Es decir, si hay n muestras en la muestra, el número de armónicos en el espectro será N / 2.

Considere ahora la transformación de Fourier Discreta (DFT).

Comparando con cerca de Fourier

Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT tiene una naturaleza discreta y el número de armónicos está limitado por la N / 2 - la mitad de los conteos.

Las fórmulas DPT se registran en las variables de enteros sin dimensiones K, S, donde K es el número de números de muestra de señal, S, el número de componentes espectrales.
El valor S muestra el número de oscilaciones armónicas completas en el período T (duración de la medición de la señal). La transformación discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de armónicos con un método numérico, es decir, "en la computadora"

Volviendo a los resultados obtenidos al principio. Como se mencionó anteriormente, al descomponer el Fourier de la función no periódica (de nuestra señal), la serie Fourier resultante corresponde en realidad a una función periódica con un período de T. (Fig. 12).

fig.12 Función periódica F (x) con un período de T0, con un período de medición T\u003e T0

Como se puede ver en la FIG.12, la función F (x) es periódica con un período de T0. Sin embargo, debido al hecho de que la duración de la muestra de medición T no coincide con el período de función T0, la función obtenida como una serie de Fourier tiene un espacio en el punto de T. Como resultado, el espectro de esta característica contendrá una gran cantidad de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medición de T coincidió con el período de función T0, entonces solo el primer armónico (sinusoide con un período igual a la duración de la muestra) estaría presente en el espectro obtenido después de la transformación de Fourier).

En otras palabras, el programa DPT "no sabe" que nuestra señal representa una "pieza de sinusoides", y tratando de presentar una función periódica en forma de un número, que tiene un hueco debido a los no trazos de rebanadas sinusoides individuales .

Como resultado, los armónicos aparecen en el espectro, que debe en la cantidad de retratar la forma de la función, incluida esta brecha.

Por lo tanto, para obtener el espectro "correcto" de la señal, que es la suma de varios sinusoides con diferentes períodos, es necesario que se establezca todo el número de períodos sinusoides en el período de medición de la señal. En la práctica, esta condición se puede realizar con una duración suficientemente grande de la medición de la señal.

Fig.13 Ejemplo de función y espectro del error cinemático de la caja de engranajes

A una duración más pequeña, la imagen se verá peor:

Fig.14 Función de ejemplo y espectro de la señal de vibración del rotor

En la práctica, es difícil entender dónde "Componentes reales", y donde "artefactos" causados \u200b\u200bpor los períodos crecientes de los componentes y la duración de la muestra de la señal o "saltos y rupturas" de la forma de la señal. Por supuesto, las palabras "componentes reales" y "artefactos" no están en vano en las cotizaciones. La presencia en el calendario del espectro del conjunto armónico no significa que nuestra señal en la realidad de ellos "consiste". No le importa que el número 7 "consiste" entre los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4, es correcta.

Así que nuestra señal ... y más bien, ni siquiera "nuestra señal", y la función periódica, compuesta por la repetición de nuestra señal (muestra), se puede representar como una suma de armónicos (sinusoide) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes (ver cifras anteriores), de hecho, es posible asociar los armónicos obtenidos en el espectro y con procesos reales que tienen una naturaleza cíclica y contribuyen con una contribución significativa a la forma de la señal.

Algunos resultados

1. Señal medida real, Duración T S, ADC digitalizada, es decir, presentada con un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico representado por un conjunto de armónicos (N / 2 Piezas).

2. La señal está representada por un conjunto de valores válidos y su espectro está representado por un conjunto de valores válidos. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que las matemáticas sea más conveniente para presentar el espectro en una forma integral que utiliza frecuencias negativas no significa que "con tanta correcta" y "así que siempre debe hacer".

3. La señal medida en el segmento del tiempo t se define solo en la duración del tiempo que fue antes de comenzar a medir la señal, y lo que sucederá después de que se desconoce esa ciencia. Y en nuestro caso, no es interesante. El DPT de la señal de tiempo limitado le da un espectro "real", en el sentido de que bajo ciertas condiciones le permite calcular la amplitud y la frecuencia de sus componentes.

Materiales usados \u200b\u200by otros materiales útiles.