Інтенсивністю відмов називається відношення числа зразків апаратури, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості зразків, що справно працюють у даний відрізок часу за умови, що відмовили зразки не відновлюються і не замінюються справними.

Ця характеристика позначається. Згідно з визначенням

де n(t) – число зразків, що відмовили, в інтервалі часу від до ; - інтервал часу, - Середня кількість зразків, що справно працюють, в інтервалі; N i - число зразків, що справно працюють, на початку інтервалу, N i +1 - число зразків, що справно працюють, в кінці інтервалу.

Вираз (1.20) є статистичним визначенням інтенсивності відмов. Для ймовірнісного представлення цієї характеристики встановимо залежність між інтенсивністю відмов, ймовірністю безвідмовної роботи та частотою відмов.

Підставимо вираз (1.20) вираз для n(t) з формул (1.11) і (1.12). Тоді отримаємо:

.

Враховуючи вираз (1.3) і те, що N ср = N 0 - n (t), знайдемо:

.

Спрямовуючи до нуля і переходячи до межі, отримаємо:

. (1.21)

Інтегруючи вираз (1.21), отримаємо:

Так як , то на підставі виразу (1.21) отримаємо:

. (1.24)

Вирази (1.22) – (1.24) встановлюють залежність між ймовірністю безвідмовної роботи, частотою відмов та інтенсивністю відмов.

Вираз (1.23) може бути ймовірним визначенням інтенсивності відмов.

Інтенсивність відмов як кількісна характеристика надійності має низку переваг. Вона є функцією часу та дозволяє наочно встановити характерні ділянки роботи апаратури. Це може дозволити суттєво підвищити надійність апаратури. Дійсно, якщо відомий час приробітку (t 1) і час кінця роботи (t 2), то можна розумно встановити час тренування апаратури до початку її екс

плуатації та її ресурс до ремонту. Це дозволяє зменшити кількість відмов під час експлуатації, тобто. призводить, зрештою, до підвищення надійності апаратури.

Інтенсивність відмов як кількісна характеристика надійності має той самий недолік, як і частота відмов: вона дозволяє досить просто характеризувати надійність апаратури лише першої відмови. Тому вона є зручною характеристикою надійності систем разового застосування та, зокрема, найпростіших елементів.

За відомою характеристикою найпростіше визначаються інші кількісні характеристики надійності.

Зазначені властивості інтенсивності відмов дозволяють її вважати основною кількісною характеристикою надійності найпростіших елементів радіоелектроніки.

Частотою відмов називається відношення числа зразків апаратури, що відмовили, в одиницю часу до зразків, спочатку встановлених на випробування за умови, що відмовили зразки не відновлюються і не замінюються справними.

Оскільки кількість зразків, що відмовили, в інтервалі часу може залежати від розташування цього проміжку по осі часу, то чистота відмов є функцією часу. Ця характеристика і надалі позначається.

Інтервал часу;

Число зразків апаратури, спочатку встановлених на випробування

Вираз (10) є статистичним визначенням частоти відмов. Цій кількісній характеристиці надійності легко дати ймовірнісне визначення. Обчислимо у виразі (10), тобто число зразків, що відмовили в інтервалі.

Очевидно:

де N() - кількість зразків, що справно працюють на момент часу;

Число зразків, що справно працюють на момент часу;

За досить великої кількості зразків справедливі співвідношення:

Підставляючи (11) (10) і враховуючи (12), (13), отримаємо:

Спрямовуючи до нуля і переходячи до межі, отримаємо:

або з урахуванням (4):

З цього виразу видно, що частота відмов є густина розподілу часу роботи апаратури до її відмови. Чисельно вона дорівнює взятій із зворотним знаком похідної від ймовірності безвідмовної роботи. Вираз (16) є ймовірним визначенням частоти відмов.

Таким чином, між частотою відмов, ймовірністю безвідмовної роботи та ймовірністю відмов за будь-якого закону розподілу часу виникнення відмов існують однозначні залежності. Ці залежності на підставі (16) та (4) мають вигляд:

Середньою частотою відмов називається відношення числа зразків, що відмовили, в одиницю часу до зразків, що випробовуються, за умови, що всі зразки, що вийшли з ладу, замінюються справними (новими або відновленими).

Інтенсивність відмов

Інтенсивністю відмов називається відношення числа зразків апаратури, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості зразків, що справно працюють у даний відрізок часу за умови, що зразки, що відмовили, не відновлюються і не замінюються справними.

де - кількість зразків, що відмовили, в інтервалі часу від до;

Інтервал часу;

Середня кількість зразків, що справно працюють, в інтервалі;

Число справних зразків на початку інтервалу;

Число справно працюючих зразків наприкінці інтервалу.

Вираз (19) є статистичним визначенням інтенсивності відмов. Для ймовірнісного представлення цієї характеристики встановимо залежність між інтенсивністю відмов, ймовірністю безвідмовної роботи та частотою відмов.

Підставимо у вираз (19) замість його значення з (11) та (12). Тоді отримаємо:

Враховуючи, знайдемо:

Прагнемо до нуля і переходячи до межі, отримаємо:

Інтегруючи, отримаємо:

Середній час безвідмовної роботи

Середнє час безвідмовної роботи називається математичне очікування часу безвідмовної роботи. Середній час безвідмовної роботи визначається залежністю:

Для визначення середнього часу безвідмовної роботи із статичних даних користуються формулою:

де час безвідмовної роботи i-го зразка;

N0 – число зразків, над якими проводиться випробування.

Підставимо у вираз (25) замість похідну від безвідмовної роботи зі зворотним знаком і виконаємо інтегрування частинами. Отримаємо:

Оскільки може мати негативне значення, заміниться на 0, т.к. і тоді:

1.1 Можливість безвідмовної роботи

Імовірністю безвідмовної роботи називається ймовірність того, що за певних умов експлуатації, у межах заданого напрацювання не станеться жодної відмови.
Імовірність безвідмовної роботи позначається як P(l) , Яка визначається за формулою (1.1):

де N 0 - Число елементів на початку випробування;r(l) - Число відмов елементів до моменту напрацювання.Слід зазначити, що чим більша величинаN 0 тим з більшою точністю можна розрахувати ймовірністьP(l).
На початку експлуатації справного локомотива P(0) = 1, тому що при пробігу l= 0 ймовірність того, що жоден елемент не відмовить, набуває максимального значення - 1. Зі зростанням пробігу lймовірність P(l) буде зменшуватися. У процесі наближення терміну експлуатації до нескінченно великої величини ймовірність безвідмовної роботи прагнутиме нуля P(l→∞) = 0. Таким чином у процесі напрацювання величина ймовірності безвідмовної роботи змінюється в межах від 1 до 0. Характер зміни ймовірності безвідмовної роботи функції пробігу показаний на рис. 1.1.

Рис.2.1. Графік зміни ймовірності безвідмовної роботи P(l)залежно від напрацювання

Основними перевагами використання цього показника при розрахунках є два чинники: по-перше, ймовірність безвідмовної роботи охоплює всі чинники, що впливають надійність елементів, дозволяючи досить судити про його надійності, т.к. чим більша величинаP(l), тим вища надійність; по-друге, ймовірність безвідмовної роботи може бути використана в розрахунках надійності складних систем, що складаються з більш ніж одного елемента.

1.2 Ймовірність відмови

Імовірністю відмови називають ймовірність того, що за певних умов експлуатації, в межах заданого напрацювання відбудеться хоча б одна відмова.
Імовірність відмови позначається як Q(l), яка визначається за формулою (1.2):

На початку експлуатації справного локомотиваQ(0) = 0, тому що при пробігуl= 0 ймовірність того, що хоча б один елемент відмовить, набуває мінімального значення - 0. Зі зростанням пробігуlймовірність відмовиQ(l) буде збільшуватися. У процесі наближення терміну експлуатації до нескінченно великої величини ймовірність відмови прагнутиме одиниціQ(l→∞ ) = 1. Таким чином у процесі напрацювання величина ймовірності відмови змінюється в межах від 0 до 1. Характер зміни ймовірності відмови у функції пробігу показаний на рис. 1.2.Імовірність безвідмовної роботи та ймовірність відмови є подіями протилежними та несумісними.

Рис.2.2. Графік зміни ймовірності відмови Q(l)залежно від напрацювання

1.3 Частота відмов

Частота відмов - це відношення числа елементів в одиницю часу або пробігу віднесеного до початкового числу елементів. Тобто частота відмов є показником, що характеризує швидкість зміни ймовірності відмов та ймовірності безвідмовної роботи зі зростанням тривалості роботи.
Частота відмов позначається як і визначається за формулою (1.3):

де - кількість елементів, що відмовили за проміжок пробігу.
Даний показник дозволяє судити за його величиною про кількість елементів, які відмовлять на якомусь проміжку часу або пробігу, також за величиною можна розрахувати кількість необхідних запасних частин.
Характер зміни частоти відмов у функції пробігу показано на рис. 1.3.

Мал. 1.3. Графік зміни частоти відмов залежно від напрацювання

1.4 Інтенсивність відмов

Інтенсивність відмов є умовну щільність виникнення відмови об'єкта, що визначається для розглянутого моменту часу або напрацювання за умови, що до цього моменту відмова не виникла. Інакше інтенсивність відмов - це відношення числа елементів, що відмовили, в одиницю часу або пробігу до справних елементів у даний відрізок часу.
Інтенсивність відмов позначається як і визначається за формулою (1.4):

де

Як правило, інтенсивність відмов є незменшною функцією часу. Інтенсивність відмов зазвичай застосовується з метою оцінки схильності до відмов у різні моменти роботи об'єктів.
На рис. 1.4. представлений теоретичний характер зміни інтенсивності відмов у функції пробігу.

Мал. 1.4. Графік зміни інтенсивності відмов залежно від напрацювання

На графіку зміни інтенсивності відмов, зображеному на рис. 1.4. можна виділити три основні етапи відбивають процес екс-плуатації елемента чи об'єкта загалом.
Перший етап, який також називається етапом приробітку, характеризується збільшенням інтенсивності відмов у початковий період експлуатації. Причиною зростання інтенсивності відмов цьому етапі є приховані дефекти виробничого характеру.
Другий етап, чи період нормальної роботи, характеризується прагненням інтенсивності відмов до постійного значення. Протягом цього періоду можуть виникати випадкові відмови у зв'язку з появою раптової концентрації навантаження, що перевищує межу міцності елемента.
Третій етап, так званий період форсованого старіння. Характеризується виникненням зносових відмов. Подальша експлуатація елемента без його заміни стає економічно раціональною.

1.5 Середнє напрацювання до відмови

Середнє напрацювання - це середній пробіг безвідмовної роботи елемента вщент.
Середнє напрацювання повністю позначається як L 1 і визначається за формулою (1.5):

де l i- напрацювання повністю елемента; r i- Число відмов.
Середнє напрацювання може бути використане для попереднього визначення термінів ремонту або заміни елемента.

1.6 Середнє значення параметра потоку відмов

Середнє значення параметра потоку відмов характеризує середню щільність ймовірності виникнення відмови об'єкта, що визначається для моменту часу, що розглядається.
Середнє значення параметра потоку відмов позначається як Wср і визначається за формулою (1.6):

1.7 Приклад розрахунку показників безвідмовності

Вихідні дані.
Протягом пробігу від 0 до 600 тис. км., у локомотивному депо зроблено збір інформації з відмов ТЕД. У цьому кількість справних ТЕД початку періоду експлуатації становило N0 = 180 прим. Сумарна кількість ТЕД, що відмовилися за аналізований період, склала ∑r(600000) = 60. Інтервал пробігу прийняти рівним 100 тис. км. При цьому кількість ТЕД, що відмовили, по кожній ділянці склала: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Потрібно.
Необхідно розрахувати показники безвідмовності та побудувати їх залежності зміни у часі.

Спочатку необхідно заповнити таблицю вихідних даних оскільки це показано в табл. 1.1.

Таблиця 1.1.

Вихідні дані до розрахунку

, тис. км	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500	500 - 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60

Спочатку за рівнянням (1.1) визначимо кожної ділянки пробігу величину ймовірності безвідмовної роботи. Так, для ділянки від 0 до 100 та від 100 до 200 тис. км. пробігу ймовірність безвідмовної роботи складе:

Зробимо розрахунок частоти відмов за рівнянням (1.3).

Тоді інтенсивність відмов дільниці 0-100 тис.км. дорівнюватиме:

Аналогічно визначимо величину інтенсивності відмов для інтервалу 100-200 тис. км.

За рівняннями (1.5 і 1.6) визначимо середнє напрацювання до відмови та середнє значення параметра потоку відмов.

Систематизуємо отримані результати розрахунку та подаємо їх у вигляді таблиці (табл. 1.2.).

Таблиця 1.2.

Результати розрахунку показників безвідмовності

, тис. км.	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500	500 - 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60
P(l)	0,989	0,922	0,833	0,778	0,7	0,667
Q(l)	0,011	0,078	0,167	0,222	0,3	0,333
10 -7 , 1/км	1,111	6,667	8,889	5,556	7,778	3,333
10 -7 , 1/км	1,117	6,977	10,127	6,897	10,526	4,878

Наведемо характер зміни ймовірності безвідмовної роботи ТЕД залежно від пробігу (рис. 1.5). Слід зазначити, що першою точкою на графіці, тобто. при пробігу, що дорівнює 0, величина ймовірності безвідмовної роботи прийме максимальне значення - 1.

Мал. 1.5. Графік зміни ймовірності безвідмовної роботи в залежності від напрацювання

Наведемо характер зміни ймовірності відмови ПЭД залежно від пробігу (рис. 1.6). Слід зазначити, що першою точкою на графіці, тобто. при пробігу, що дорівнює 0, величина ймовірності відмови прийме мінімальне значення - 0.

Мал. 1.6. Графік зміни ймовірності відмови в залежності від напрацювання

Наведемо характер зміни частоти відмов ТЕД залежно від пробігу (рис. 1.7).

Мал. 1.7. Графік зміни частоти відмов залежно від напрацювання

На рис. 1.8. представлено залежність зміни інтенсивності відмов від напрацювання.

Мал. 1.8. Графік зміни інтенсивності відмов залежно від напрацювання

2.1 Експонентний закон розподілу випадкових величин

Експоненційний закон досить точно визначає надійність вузлів при раптових відмовах, що мають випадковий характер. Спроби застосувати його для інших типів та випадків відмов, особливо поступових, спричинених зносом та зміною фізико-хімічних властивостей елементів показали його недостатню прийнятність.

Вихідні дані.
В результаті випробування десяти паливних насосів високого тиску отримані напрацювання їх до відмови: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 год. Припускаючи, що напрацювання до відмови паливних насосів підпорядковується.

Потрібно.
Оцінити величину інтенсивності відмов, і навіть розрахувати можливість безвідмовної роботи протягом перших 500 год. і можливість відмови у проміжку часу між 800 і 900 год. роботи дизеля.

По-перше, визначимо величину середнього напрацювання паливних насосів повністю за рівнянням:

Потім розраховуємо величину інтенсивності відмов:

Розмір ймовірності безвідмовної роботи паливних насосів при напрацюванні 500 год складе:

Імовірність відмови у проміжку між 800 і 900 год. роботи насосів складе:

2.2 Закон розподілу Вейбулла-Гніденко

Закон розподілу Вейбулла-Гнеденко набув широкого поширення і використовується стосовно систем, що складаються з рядів елементів, з'єднаних послідовно з метою забезпечення безвідмовності системи. Наприклад, системи, що обслуговують дизель-генераторну установку: мастила, охолодження, живлення паливом, повітрям тощо.

Вихідні дані.
Час простою тепловозів у непланових ремонтах з вини допоміжного обладнання підпорядковується закону розподілу Вейбулла-Гнєденка з параметрами b=2 та a=46.

Потрібно.
Необхідно визначити ймовірність виходу тепловозів із непланових ремонтів після 24 год. простою та час простою, протягом якого працездатність буде відновлена ​​з ймовірністю 0,95.

Знайдемо можливість відновлення працездатності локомотива після простою його в депо протягом доби за рівнянням:

Для визначення часу відновлення працездатності локомотива із заданою величиною довірчої ймовірності також використовуємо вираз:

2.3 Закон розподілу Релею

Закон розподілу Релея використовується в основному для аналізу роботи елементів, що мають яскраво виражений ефект старіння (елементи електроустаткування, різноманітних ущільнень, шайби, прокладки, виготовлені з гумових або синтетичних матеріалів).

Вихідні дані.
Відомо, що напрацювання контакторів повністю за параметрами старіння ізоляції котушок можна описати функцією розподілу Релея з параметром S = 260 тис.км.

Потрібно.
Для величини напрацювання 120 тис. км. необхідно визначити ймовірність безвідмовної роботи, інтенсивність відмов та середнє напрацювання до першої відмови котушки електромагнітного контактора.

3.1 Основне з'єднання елементів

Система, що складається з кількох незалежних елементів, пов'язаних функціонально таким чином, що відмова будь-якого з них викликає відмову системи, відображається розрахунковою структурною схемою роботи безвідмовної з послідовно з'єднаними подіями безвідмовної роботи елементів.

Вихідні дані.
Нерезервована система складається із 5 елементів. Інтенсивності їх відмов відповідно дорівнюють 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 год-1

Потрібно.
Необхідно визначити показники надійності системи: інтенсивність відмов, середній час напрацювання повністю, ймовірність безвідмовної роботи, частота відмов. Показники надійності P(l) та a(l) отримати в інтервалі від 0 до 1000 годин з кроком 100 годин.

Обчислимо інтенсивність відмови та середній напрацювання до відмови за такими рівняннями:

Значення ймовірності безвідмовної роботи та частоти відмов отримаємо, використовуючи рівняння, наведені до виду:

Результати розрахунку P(l)і a(l)на інтервалі від 0 до 1000 годин роботи представимо у вигляді табл. 3.1.

Таблиця 3.1.

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи та частоти відмов системи на інтервалі часу від 0 до 1000 год.

l, година	P(l)	a(l), година -1
0	1	0,00026
100	0,974355	0,000253
200	0,949329	0,000247
300	0,924964	0,00024
400	0,901225	0,000234
500	0,878095	0,000228
600	0,855559	0,000222
700	0,833601	0,000217
800	0,812207	0,000211
900	0,791362	0,000206
1000	0,771052	0,0002

Графічна ілюстрація P(l)і a(l)на ділянці до середнього напрацювання повністю представлена ​​на рис. 3.1, 3.2.

Мал. 3.1. Можливість безвідмовної роботи системи.

Мал. 3.2. Частота відмов системи.

3.2 Резервне з'єднання елементів

Вихідні дані.
На рис. 3.3 та 3.4 показано дві структурні схеми з'єднання елементів: загального (рис. 3.3) та поелементного резервування (рис. 3.4). Імовірності безвідмовної роботи елементів відповідно дорівнюють P1(l) = P '1(l) = 0,95; P2(l) = P'2(l) = 0,9; P3(l) = P '3(l) = 0,85.

Мал. 3.3. Схема системи із загальним резервуванням.

Мал. 3.4. Схема системи із поелементним резервуванням.

Імовірність безвідмовної роботи блоку з трьох елементів без резервування розрахуємо за виразом:

Імовірність безвідмовної роботи тієї ж системи при загальному резервуванні (рис. 3.3):

Імовірності безвідмовної роботи кожного з трьох блоків при поелементному резервуванні (рис. 3.4) дорівнюватимуть:

Імовірність безвідмовної роботи системи при поелементному резервуванні становитиме:

Таким чином, поелементне резервування дає більш суттєве збільшення надійності (імовірність безвідмовної роботи зросла з 0925 до 0965, тобто на 4%).

Вихідні дані.
На рис. 3.5 представлена ​​система з комбінованим з'єднанням елементів. У цьому ймовірності безвідмовної роботи елементів мають такі значення: P1=0,8; Р2 = 0,9; Р3 = 0,95; Р4 = 0,97.

Потрібно.
Потрібно визначити надійність системи. Також необхідно визначити надійність цієї системи за умови, що резервні елементи відсутні.

Рис.3.5. Схема системи при комбінованому функціонуванні елементів.

Для розрахунку у вихідній системі необхідно виділити основні блоки. У представленій системі їх три (рис. 3.6). Далі розрахуємо надійність кожного блоку окремо, а потім знайдемо надійність усієї системи.

Мал. 3.6. Зблокована схема.

Надійність системи без резервування складе:

Таким чином система без резервування є на 28% менш надійною, ніж система з резервуванням.

Середнє значення напрацювань виробів партії до першої відмови називається середнім напрацюванням першої відмови. Цей термін застосовується як для виробів, що ремонтуються, так і для неремонтованих. Для виробів, що не ремонтуються, замість названого можна застосовувати термін середній напрацювання до відмови.

ГОСТом 13377 - 67 для виробів, що не ремонтуються, введено ще один показник надійності, званий інтенсивністю відмов.

Інтенсивність відмов є ймовірність того, що виріб, що не ремонтується, пропрацював безвідмовно до моменту t, відмовить в наступну одиницю часу, якщо ця одиниця мала.

Інтенсивність відмов виробу є функцією часу від його роботи.

У припущенні, що безвідмовність деякого блоку в електронній системі керування автомобіля характеризується інтенсивністю відмов, чисельно рівною розрахованою, причому ця інтенсивність не змінюється протягом усього терміну його служби, необхідно визначити напрацювання до відмови Т Б такого блоку.

Підсистема управління включає k послідовно з'єднаних електронних блоків (рис.2).

Рис.2 Підсистема управління із послідовно включеними блоками.

Ці блоки мають однакову інтенсивність відмов, чисельно рівну розрахованій. Потрібно визначити інтенсивність відмов підсистеми П і середнє напрацювання її до відмови, побудувати залежності ймовірності безвідмовної роботи одного блоку Р Б (t) і підсистеми Р П (t) від напрацювання і визначити ймовірності безвідмовної роботи блоку Р Б (t) і підсистеми Р П (t) до напрацювання t = T П.

Інтенсивність відмов λ(t) розраховується за такою формулою:

, (5)

Де - статистична ймовірність відмови пристрою на інтервалі чи інакше статистична ймовірність попадання на зазначений інтервал випадкової величини Т.

Р(t) – розрахована на кроці 1 – можливість безвідмовної роботи пристрою.

Задане значення 10 3 год - 6,5

Інтервал =

λ(t) = 0,4 / 0,4 * 3 * 10 3 год = 0,00033

Припустимо, інтенсивність відмов не змінюється протягом усього терміну служби об'єкта, тобто. λ(t) = λ = const, то напрацювання повністю розподілена за експоненційним (показовим) законом.

І тут ймовірність безвідмовної роботи блока:

(6)

Р Б (t) = exp (-0.00033 * 6.5 * 10 3) = exp (-2.1666) = 0.1146

А середнє напрацювання блоку вщент перебуває як:

1/0,00033 = 3030,30 год.

При послідовному з'єднанні блоків до інтенсивності відмов утвореної ними підсистеми:

(8)

Т.к.інтенсивності відмов всіх блоків однакові, то інтенсивність відмов підсистеми:

λ П = 4 * 0,00033 = 0,00132 год.,

а ймовірність безвідмовної роботи системи:

(10)

Р П (t) = exp (-0.00132 * 6.5 * 10 3) = exp (-8,58) = 0.000188

З урахуванням (7) і (8) середнє напрацювання підсистеми повністю знаходиться як:

(11)

1/0,00132 = 757,58 год.

Висновок:принаймні наближення до граничного стану – інтенсивність відмов об'єктів зростає.

Розрахунок ймовірності безвідмовної роботи.

Завдання:Для напрацювання t = потрібно розрахувати можливість безвідмовної роботи Рс() системи (рис. 3), що складається з двох підсистем, одна з яких є резервною.

Мал. 3 Схема системи із резервуванням.

Розрахунок ведеться у припущенні, що відмови кожної із двох підсистем незалежні.

Імовірності безвідмовної роботи кожної системи однакові та рівні РП(). Тоді ймовірність відмови однієї підсистеми:

Q П () = 1 - 0,000188 = 0,99812

Імовірність відмови всієї системи визначається за умови, що відмовила і перша, і друга підсистеми, тобто:

0,99812 2 = 0,99962

Звідси можливість безвідмовної роботи системи:

,

Р с () = 1 - 0,98 = 0,0037

Висновок:в даному завданні була розрахована можливість безвідмовної роботи системи при відмові першої та другої підсистеми. Порівняно з послідовною структурою ймовірність безвідмовної роботи системи менша.

Інтенсивність відмов () називається ймовірність відмови виробу, що не ремонтується, в одиницю часу за умови, що відмова до цього моменту не виникала. Припустимо, деякий елемент пропрацював протягом інтервалу часу від 0 до t. Якою є ймовірність того, що цей елемент відмовить на інтервалі .

А подія безвідмовної роботи від 0 до t. Подія безвідмовної роботи від t до t 1 .

Щоб елемент зміг безвідмовно працювати на інтервалі він повинен безвідмовно пропрацювати на інтервалі 0 до t.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) (1)

Р(А) =Р(0,t) - ймовірність безвідмовної роботи елемента на інтервалі від 0 до t.

Р(В/А) = Р(t,t 1) – умовна ймовірність події, що умова А мало місце.

Р(В/А)= Р(t,t 1)=Р(АВ)/Р(А); Р(АВ) = Р(0, t 1).

0, t= 0,t+ t, t 1

Р(t,t 1)= Р(0,t 1)/ Р(0,t) (2)

Р(t,t 1)= Р(t 1)/ Р(t) (2а)

Імовірність відмови елемента на інтервалі (t, t 1):

Рівність (3) можна переписати як: . Помножимо чисельник і знаменник (4) на при .

Введемо позначення – інтенсивність відмови.

З рівності (5) з урахуванням (6) отримаємо: , .

З (7) випливає, що інтенсивність відмови є відношення ймовірності відмови на інтервал () при . Інтенсивність відмов визначається (7) прагне інтенсивності відмови визначається рівністю (6). Відповідно (6) величина може бути визначена з графіка функції надійності як відношення чисельного значення тангенса кута нахилу дотичної до кривої до чисельної ординати функції надійності.

Якщо відома інтенсивність відмови елементів, то можна розрахувати ймовірність роботи будь-якої складної системи. Незнання функції для складових елементів унеможливлює визначення ймовірності безвідмовної роботи.

Чим менш точно відомо для елементів, тим більше помилок у розрахунку безвідмовності виробу.

Інтенсивність відмов може бути визначена дослідним шляхом з урахуванням випробувань виробів.

Припустимо Р(t) – є ставлення: , - кількість елементів, що залишилися безвідмовними. Тоді на малому відрізку та великій кількості випробуваних зразків N.

де -число елементів, що відмовили на інтервалі часу, n(t)-число елементів, що не відмовили.

Експериментальна крива замінюється плавною кривою. Чим більше N і менше інтервал часу, тим точніше експериментальна характеристика і плавна крива, що замінює її, яка відображає дійсну картину інтенсивності відмов.

Ергодична теорія.З відомої з теорії ймовірності ергодичної теорії середнє значення (мат. очікування) при сукупному спостереженні ……….рівна середнього значення за часом, визначеної однією системою (елементів).

В даному випадку це означає, що зміна інтенсивності відмови за часом для 1-го окремо взятого елемента може бути описано тим самим законом як і інтенсивність, отримана при випробуванні однотипних елементів великої групи.

Вигляд функції показано 3 характерних ділянки:

I – ділянка опрацювання; II – нормальної експлуатації; III – ділянка зносових відмов, можуть бути раптові відмови.

Поділ на ділянки є умовним, але воно дозволяє розглянути роботу елементів по ділянках і для кожної ділянки застосовувати свій закон розподілу.

Загальна формула безвідмовної роботи дозволяє визначити Р, якщо відома інтенсивність відмови.

Якщо потрібно визначити ймовірність безвідмовної роботи. Рівність (12) справедлива за умови, що на момент часу t 1 елемент перебував у працездатному стані.