Повторення теорії і рішення типових задач на перпендикулярність прямої і площини (продовження). Повторення теорії і рішення типових задач на перпендикулярність прямої і площини (продовження) Тема: Перпендикулярність прямих і площин

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої в площині, що проходить через точку перетину даної прямої і площини.

На малюнку 131 зображено пряма а, перпендикулярна площині а.

Т.2.9. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна двом прямим в цій площині, що проходить через точку перетину, то вона перпендикулярна площині.

Цю теорему називають ознакою перпендикулярності прямої і площини або теоремою про двох перпендикулярах.

На малюнку 132 зображено пряма а, перпендикулярна прямим с і проходить через точку перетину площини а і прямий чи лежачим в площині а. За можна стверджувати, що.

У наступних двох теоремах йдеться про взаємозв'язок паралельності і перпендикулярності прямих і площин.

Т.2.10. Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.

Т. 2.11. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні.

На малюнку 133 зображені такі прямі а і і площину а, про які йдеться в теоремах 2.10 і 2.11.

Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину.

На малюнку 134 зображено площину а і пряма а, яка

її перетинає. Пряма а є проекція прямої а на площину а. Тоді кут є кут між прямою а і площиною а. Кут між паралельними прямою і площиною вважається рівним дулю, а кут між перпендикулярними прямий і площиною - рівним 90 °. Так як пряма а, її проекція а на площину а і перпендикуляр до площини а в точці її перетину з прямою а лежать в одній площині, то кут між прямою і площиною доповнює до 90 ° кут між цією прямою і перпендикуляром до площини.

Приклад. Відрізок довжиною 10 см перетинає площину, причому кінці його знаходяться на відстані 3 і 2 см від площини. Знайти кут між даними відрізком і площиною.

Завдання і вправи на готових кресленнях, 10-11 класи, Геометрія, Рабинович Е. М., 2006.

Зміст
Передмова.
Повторення курсу планіметрії.
Таблиця 1. Рішення трикутників.
Таблиця 2. Площа трикутника.
Таблиця 3. Площа чотирикутника.
Таблиця 4. Площа чотирикутника. Стереометрія. 10 клас.
Таблиця 10.1. Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки.
Таблиця 10.2. Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки.
Таблиця 10.3. Паралельність прямих в просторі. Перехресні прямі.
Таблиця 10.4. Паралельність прямих і площин.
Таблиця 10.5. Ознака паралельності площин.
Таблиця 10.6. Властивості паралельних площин.
Таблиця 10.7. Зображення просторових фігур на площині
Таблиця 10.8. Зображення просторових фігур на площині
Таблиця 10.9. Перпендикулярність прямої і площини.
Таблиця 10.10. Перпендикулярність прямої і площини.
Таблиця 10.11. Перпендикуляр і похила.
Таблиця 10.12. Перпендикуляр і похила.
Таблиця 10.13. Теорема про три перпендикуляри.
Таблиця 10.14. Теорема про три перпендикуляри.
Таблиця 10.15. Теорема про три перпендикуляри.
Таблиця 10.16. Перпендикулярність площин.
Таблиця 10.17. Перпендикулярність площин.
Таблиця 10.18. Відстань між перехресними прямими.
Таблиця 10.19. Декартові координати в просторі.
Таблиця 10.20. Кут між перехресними прямими.
Таблиця 10.21. Кут між прямою і площиною.
Таблиця 10.22. Кут між площинами.
Таблиця 10.23. Площа ортогональної проекції багатокутника
Таблиця 10.24. Вектори в пространстве.Стереометрія. 11 клас.
Таблиця 11.1. Двогранний кут. Тригранний кут.
Таблиця 11.2. Пряма призма.
Таблиця 11.3. Правильна призма.
Таблиця 11.4. Правильна призма.
Таблиця 11.5. Похила призма.
Таблиця 11.6. Паралелепіпед.
Таблиця 11.7. Побудова перетинів призми.
Таблиця 11.8. Правильна піраміда.
Таблиця 11.9. Піраміда.
Таблиця 11.10. Піраміда.
Таблиця 11.11. Піраміда. Усічена піраміда.
Таблиця 11.12. Побудова перетині піраміди.
Таблиця 11.13. Циліндр.
Таблиця 11.14. Конус.
Таблиця 11.15. Kohуc. Усічений kohуc.
Таблиця 11.16. Куля.
Таблиця 11.17. Вписаний і описаний куля.
Таблиця 11.18. Обсяг паралелепіпеда.
Таблиця 11.19. Обсяг призми.
Таблиця 11.20. Обсяг піраміди.
Таблиця 11.21. Обсяг піраміди.
Таблиця 11.22. Обсяг піраміди. Обсяг усіченої піраміди.
Таблиця 11.23. Обсяг і площа бічної поверхні циліндра.
Таблиця 11.24. Обсяг і площа бічної поверхні конус.
Таблиця 11.25. Обсяг конуса. Обсяг усіченого конуса. Площа бічної поверхні конуса. Площа бічної поверхні зрізаного конуса.
Таблиця 11.26. Обсяг кулі. Площа поверхні кулі. Відповіді, вказівки, рішення

Безкоштовно завантажити електронну книгу в зручному форматі, дивитися і читати:
Завантажити книгу Завдання і вправи на готових кресленнях, 10-11 класи, Геометрія, Рабинович Е. М., 2006 - fileskachat.com, швидке і безкоштовне скачування.

завантажити pdf
Нижче ви можете купити цю книгу за найкращою ціною зі знижкою з доставкою по всій Росії.

6.1 Визначення перпендикулярності прямої і площини

Подання про прямих або, вірніше, про відрізки, перпендикулярних площині, дають вертикально стоять стовпи (вони перпендикулярні поверхні землі), натягнутий шнур, на якому висить лампа (він перпендикулярний стелі), ніжки столу (вони перпендикулярні підлозі). Вертикальний одвірок перпендикулярний підлозі, і нижній край двері, прилеглий до підлоги, перпендикулярний одвірка при всіх положеннях двері (рис. 73, а). Цим властивістю і визначається перпендикулярність прямої і площини.

Визначення. Пряма називається перпендикулярної площині, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині, що проходить через точку перетину (рис. 73, б).

Мал. 73

Кажуть також, що площина перпендикулярна прямий або що вони взаємно перпендикулярні. Для взаємно перпендикулярних прямої а і площини а застосовуються позначення a ⊥ α або α ⊥ а.

Відрізок або промінь перпендикулярний площині, якщо він лежить на прямій, перпендикулярній цій площині. Якщо відрізок перпендикулярний площині і його кінець лежить в цій площині, то він називається перпендикуляром до даної площини.

6.2 Перпендикуляр і похила

Відрізок, що має з площиною одну спільну точку - кінець відрізка, але не перпендикулярний цій площині, називається похилою до площини.

Нехай з однієї точки А, що не лежить в площині а, проведені перпендикуляр АВ і похила АС (рис. 74). Відрізок ВС називається проекцією похилої АС на площину α.

Мал. 74

Перпендикуляр АВ коротше похилій АС, т. Е. АВ< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Це можна сказати і так: перпендикуляр АВ з точки А на площину α - найкоротший з відрізків, що з'єднують точку А з точками площини α.

Властивість перпендикуляра бути найкоротшим відрізком є ​​характерним властивістю. Це означає, що справедливо і зворотне твердження: якщо АВ - найкоротший відрізок від точки А до площини α, то АВ - перпендикуляр до площини α.

Доведення. Доведемо це методом від противного. Припустимо, що АВ НЕ перпендикуляр до α. Тоді через точку В у площині α проходить пряма а, що не перпендикулярна до АВ (рис. 75). Опустимо з А перпендикуляр AM на пряму а. У прямокутному трикутнику АВМ катет AM менше гіпотенузи АВ: АМ< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Мал. 75

Довжиною перпендикуляра, опущеного з найвищої точки предмета на його підставу, вимірюють висоту предмета. Так, висотою піраміди називається довжина перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди на площину її заснування, а також сам перпендикуляр (на малюнку 76, а, б - це відрізок РО).

Мал. 76

6.3 Про значення перпендикуляра

Перпендикуляр до площини грає дуже важливу роль і крім того, що він є найкоротшим серед всіх відрізків від даної точки до точок площини. Пояснимо ще його значення. Положення площини в просторі можна задавати, вказуючи перпендикулярну їй пряму і ту точку, в якій вона цю пряму перетинає.

Найважливіша властивість перпендикуляра полягає в тому, що площина розташована симетрично щодо нього. Що це означає? Всі промені, що лежать в даній площині, утворюють з ним рівні кути - прямі кути, а для похилій це не так (рис. 77, а). При обертанні навколо перпендикуляра площину поєднується сама з собою: колесо має бути насаджено на вісь так, щоб його площина була перпендикулярна осі. Прямокутник зі стороною, перпендикулярній площині, можна обертати навколо цього боку, а інша сторона буде ковзати по площині. Це добре видно на правильно навішеній двері. Якщо її край не вертикальний, двері не відкривається вільно і зачіпає підлогу.

Мал. 77

Беручи приклади з фізики, можна відзначити, що тиск рідини або газу на стінку посудини направлено по перпендикуляру до стінки, так само як тиск вантажу на опору направлено по перпендикуляру до неї (рис. 77, б і 78, а).

Мал. 78

Перпендикуляр до поверхні фігурує в законах відображення і заломлення світла. Так, закон відображення говорить: «Промінь падаючий і промінь відбитий розташовані в одній площині з перпендикуляром до поверхні дзеркала в точці падіння і утворюють з ним рівні кути». «Кут падіння» і «кут відображення» -це кути між зазначеним перпендикуляром і променем падаючим і променем відбитим (рис. 78, б).

Але головне значення перпендикуляра - це його роль в техніці і у всьому нашому житті.

Ми, можна сказати, оточені перпендикулярами: ніжки столу перпендикулярні підлозі, край шафи перпендикулярний стіні і т. Д.

Вертикаль перпендикулярна горизонтальній площині. Вертикальність перевіряють схилом (див. Фото). Перпендикулярність грає головну роль в будівництві: міжповерхові перекриття укладають перпендикулярно стовпів каркаса будівлі.

Як ми далі побачимо, паралельність площин пов'язана з наявністю у них спільних перпендикулярів. Перпендикулярність і паралельність прямих і площин - суттєвий елемент в будівництві, так що вчення про перпендикулярах і паралелях можна назвати основами «будівельної геометрії».

Питання для самоконтролю

1. У чому відмінність між перпендикуляром до площини і похилій до плскості?
2. Яке визначення перпендикуляра до площини ви знаєте?
3. У чому значення перпендикуляра до площини?

Ознаки паралельності:

Пряма перпендикулярна площині , Якщо _________________________________________

прямі перпендикулярні , Якщо __________________________________________________

площині перпендикулярні , Якщо ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Завдання 1. Побудувати куля з центром в точці А, що стосується заданої площині.

алгоритм:

Завдання 2. Побудувати точку на відстані 20 мм від площини.

алгоритм:

Завдання 3. Визначити відстань від точки до прямої.

алгоритм:

Завдання 4: Добудувати відсутню проекцію трикутника, якщо кут Впрямий.

алгоритм:

завдання 5 : Побудувати квадрат зі стороною ВС на прямий l.

алгоритм:

завдання 6 : Добудувати проекцію трикутника, якщо він перпендикулярний заданій площині.

алгоритм:

Питання для самостійного контролю знань

В якому випадку прямий кут на площину проекцій проектується без спотворення?

Що називається лінією найбільшого нахилу?

Як розташовується лінія найбільшого нахилу в площині?

Як визначити кут нахилу площини до горизонтальної, фронтальної, профільної площини проекцій?

Як формулюється ознака перпендикулярності прямої і площини з точки зору елементарної геометрії?

Якщо пряма свідомо перпендикулярна площині, скільки можна провести прямих, що лежать в площині, перпендикулярно їй?

Які дві пересічні прямі в площині необхідно вибрати з безлічі прямих, щоб прямий кут, розташований між ними і заданої прямої, спроектувати на площині проекцій без спотворення?

Виходячи з цього сформулюйте ознака перпендикулярності прямої і площини з точки зору нарисної геометрії.

Як побудувати перпендикуляр до площини загального положення на КЧ?

Як на КЧ побудувати пряму, перпендикулярну проецирующей площині?

Як на площину проекцій спроецируется прямий кут між пересічними прямими, якщо жодна з них не паралельна цій площині проекцій?

Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямих загального положення.

Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

Тема 11: Метод заміни площин проекцій

Чотири основні завдання нарисної геометрії:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

На КЧ залишається незмінним __________________________________________________

________________________________________________________________________________

У цій статті ми поговоримо про перпендикулярність прямої і площини. Спочатку дано визначення прямої, перпендикулярної до площини, наведена графічна ілюстрація і приклад, показано позначення перпендикулярних прямої і площини. Після цього сформульований ознака перпендикулярності прямої і площини. Далі отримані умови, що дозволяють доводити перпендикулярність прямої і площини, коли пряма і площину задані деякими рівняннями в прямокутній системі координат в тривимірному просторі. У висновку показані докладні рішення характерних прикладів і завдань.

Навігація по сторінці.

Перпендикулярні пряма і площина - основні відомості.

Рекомендуємо для початку повторити визначення перпендикулярних прямих, так як визначення прямої, перпендикулярної до площини, дається через перпендикулярність прямих.

Визначення.

Кажуть що пряма перпендикулярна до площини, Якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Також можна сказати, що площина перпендикулярна до прямої, або пряма і площина перпендикулярні.

Для позначення перпендикулярності використовують значок виду «». Тобто, якщо пряма c перпендикулярна до площини, то можна коротко записати.

Як приклад прямої, перпендикулярної до площини, можна привести пряму, по якій перетинаються дві суміжних стіни кімнати. Ця пряма перпендикулярна до площини і до площини стелі. Канат в спортивному залі можна також розглядати як відрізок прямої, перпендикулярної до площини підлоги.

У висновку цього пункту статті відзначимо, що якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між прямою і площиною вважається рівним дев'яноста градусів.

Перпендикулярність прямої і площини - ознака і умови перпендикулярності.

На практиці часто виникає питання: «Перпендикулярні чи задані пряма і площину»? Для відповіді на нього існує достатня умова перпендикулярності прямої і площини, Тобто, таку умову, виконання якого гарантує перпендикулярність прямої і площини. Це достатня умова називають ознакою перпендикулярності прямої і площини. Сформулюємо його у вигляді теореми.

Теорема.

Для перпендикулярності заданих прямої і площини досить, щоб пряма була перпендикулярна двом пересічним прямим, лежачим в цій площині.

Доказ ознаки перпендикулярності прямої і площини Ви можете подивитися в підручнику геометрії за 10 -11 класи.

При вирішенні завдань на встановлення перпендикулярності прямої і площини також часто застосовується наступна теорема.

Теорема.

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до площини.

У школі розглядається багато завдань, для вирішення яких застосовується ознака перпендикулярності прямої і площини, а також остання теорема. Тут ми не будемо на них зупинятися. У цьому пункті статті основна увага зосередимо на застосуванні наступного необхідного і достатнього умови перпендикулярності прямої і площини.

Цю умову можна переписати в наступному вигляді.

нехай - направляючий вектор прямої a, а - нормальний вектор площини. Для перпендикулярності прямої a і площині необхідно і достатньо, щоб виконувалося і : , Де t - деяке дійсне число.

Доказ цього необхідного і достатнього умови перпендикулярності прямої і площини засноване на визначеннях направляючого вектора прямої і нормального вектора площини.

Очевидно, ця умова зручно використовувати для доказу перпендикулярності прямої і площини, коли легко знаходяться координати направляючого вектора прямої і координати нормального вектора площини в зафіксованої в тривимірному просторі. Це справедливо для випадків, коли задані координати точок, через які проходять площину і пряма, а також для випадків, коли пряму визначають деякі рівняння прямої в просторі, а площину задана рівнянням площини деякого виду.

Розглянемо рішення кількох прикладів.

Приклад.

Доведіть перпендикулярність прямої і площини.

Рішення.

Нам відомо, що числа, які стоять в знаменниках канонічних рівнянь прямої в просторі, є відповідними координатами направляючого вектора цієї прямої. Таким чином, - направляючий вектор прямої .

Коефіцієнти при змінних x, y і z в загальному рівнянні площини є координатами нормального вектора цій площині, тобто, - нормальний вектор площини.

Перевіримо виконання необхідного і достатнього умови перпендикулярності прямої і площини.

Так як , То вектори і пов'язані співвідношенням , Тобто, вони колінеарні. Отже, пряма перпендикулярна площині.

Приклад.

Перпендикулярні чи пряма і площину.

Рішення.

Знайдемо спрямовує вектор заданої прямої і нормальний вектор площини, щоб перевірити виконань необхідного і достатнього умови перпендикулярності прямої і площини.

Напрямних вектором прямої є