ЛЕКЦИЯ № 16

АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕДИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов. Полиномиальная аппроксимация.

2. Кусочно-линейная аппроксимация.

3. Классификация методов анализа нелинейных цепей.

4. Аналитические и численные методы анализа нелинейных цепей постоянного тока.

7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии синусоидального напряжения.

8. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных электрических цепей переменного тока.

1. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов

Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, качественно отражающих характер рассматриваемых ВАХ.

Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называется аппроксимацией .

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик.

Следовательно, задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи:

1) выбор аппроксимирующей функции;

2) определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ нелинейных элементов:

Полиномиальная;

Кусочно-линейная.

1.1. Полиномиальная аппроксимация

Аппроксимация степенным полиномом выполняется на основе формулы ряда Тейлора для ВАХ НЭ:

т.е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однозначной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого порядка).

В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют, а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривя (16.5) прошла через заданные токи.

В так называемом методе трех точек необходимо, чтобы некоторые три точки ВАХ:

(i 1 , u 1), (i 2 , u 2), (i 3 , u 3) – отвечали номиналу (16.5) (рис.16.9).

Из уравнений

несложно найти искомые коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , поскольку относительно их система (16.6) линейна.

Если ВАХ сильно изрезана и требуется отразить ее особенности, необходимо учитывать большее число точек ВАХ. Система типа (16.6) становится сложной, однако ее решение может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей уравнение полинома, проходящего через n точек:

(16.7)

где A k (u ) = (u – u 1) ... (u – u k-1) (u – u k+1) ... (u – u n).

Пример . Пусть нелинейный элемент имеет ВАХ, заданную графически (рис.16.10).

Требуется аппроксимировать ВАХ ИЭ степенным полиномом.

На графике ВАХ выделяются четыре точки с координатами:

На основании формулы Лагранжа (16.7) получим

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

и нэ = -6,7i 3 + 30i 2 – 13,3i .

2. Кусочно-линейная аппроксимация

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируетсясовокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Пример . Для двух участков нелинейной ВАХ (рис.16.11) получим:

Пример . Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между токамиА иВ , который используется в качестве рабочей области около рабочей точкиР (рис.16.12).

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки Р будет

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только для выбранного участка линеаризации.

Академия России

Кафедра Физики

Реферат на тему:

«АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ»

Учебные вопросы

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

2. Графо-аналитический и аналитический методы анализа

3. Анализ цепей методом угла отсечки

4. Воздействие двух гармонических колебаний на безынерционный

нелинейный элемент

Литература

Вступление

Для всех рассмотренных ранее линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, из которого вытекает простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу. Именно поэтому линейная стационарная цепь не способна обогатить спектральный состав входного колебания.

Особенностью НЭ, по сравнению с линейными, является зависимость параметров НЭ от величины приложенного напряжения или силы протекающего тока. Поэтому на практике при анализе сложных нелинейных цепей пользуются различными приближенными методами (например, заменяют нелинейную цепь линейной в области малых изменений входного сигнала и используют линейные методы анализа) или ограничиваются качественными выводами.

Важным свойством нелинейных электрических цепей является возможность обогащения спектра выходного сигнала. Эта важная особенность используется при построении модуляторов, преобразователей частоты, детекторов и т. д.

Решение многих задач, связанных с анализом и синтезом радиотехнических устройств и цепей, требует знания процессов, происходящих при одновременном воздействии на нелинейный элемент двух гармонических сигналов. Это связано с необходимостью перемножения двух сигналов при реализации таких устройств, как преобразователи частоты, модуляторы, демодуляторы и т. д. Естественно, что спектральный состав выходного тока НЭ при бигармоническом воздействии будет гораздо богаче, чем при моногармоническом.

Нередко возникает ситуация, когда один из двух воздействующих на НЭ сигналов мал по амплитуде. Анализ в этом случае значительно упрощается. Можно считать, что по отношению к малому сигналу НЭ является линейным, но с переменным параметром (в данном случае крутизной ВАХ). Такой режим работы НЭ называется параметрическим.

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения

, (1)

которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое – использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.

Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter – между, polio – приглаживаю) – это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений

в точках лежащих между точками по известным значениям . Если , то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.

Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен

степени не больше n такой, что i = 0, 1, …, n , если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i = 0, 1, …, n . Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ

в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки . Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно .

Рассмотрим типичную форму ВАХ любого НЭ (рис. 1).

Напряжение

определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Рис. 1. Пример типичной ВАХ НЭ

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике – величиной постоянного смещения

. Аппроксимирующий полином записывается в виде , (2)

где коэффициенты

определяются выражениями .

Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда

. При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки , а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на середине линейного участка (рис. 2).

Рис. 2. Рабочая точка ВАХ – на середине линейного участка

Участок на характеристике, где закон изменения тока близок к линейному, относительно неширок, поэтому амплитуда входного напряжения

не должна выходить за пределы этого участка. В этом случае можно записать: , (3) – ток покоя; ; – дифференциальная крутизна характеристики.

Этот случай применим только при слабом сигнале

Как правило, ВАХ нелинейных элементовi = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначимзаданную таблично или графически ВАХ нелинейного элементаi = F V (u), а аналитическую функцию , аппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N – коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G – выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину:

, (2.6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u)рядом Тейлора в окрестности точкиu = U 0:

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u)в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ... , N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точкиU 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , … , a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально; реже удается найти их из теоретического анализа. Для исследования необходимо подобрать функцию аппроксимации такую, которая, будучи довольно простой, отражала бы все возможные особенности экспериментальной снятой характеристики с достаточной степенью точности. Чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик двухполюсников: кусочно-линейная, степенная, показательная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация

Такую аппроксимацию обычно применяют при рассчете процессов в нелинейных уравнениях в случае больших амплитуд внешних воздействий. Данный способ основан на апроксимации характеристик нелинейных элементов, т.е. на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. На рисунке показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала характеристики Uн и крутизной S. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ) около 10мА/В. Крутизна характеристики iк(Uбэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база-эмиттер, то величина 10мА/В должна быть умножена на h21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h21э = 100-200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт.

Степенная аппроксимация

Степенную аппроксимацию широко используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0.

количество членов разложения зависит от заданной точности. Рассмотрим пример:

Входная характеристика транзистора. Рабочая точка U0=0,7В. Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0,5; 0,7 и 0,9 В.

Необходимо решить систему уравнений:

Спектральный состав тока в нелинейном элементе при внешнем гармоническом воздействии

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения источника гармонического сигнала Uс(t) = coswt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безинерционного нелинейного элемента. Для этого рассмотрим рисунок.

Ток в цепи имеет синусоидальную форму.

Форма тока и напряжения оказываются различными.

Причина искажения кривой тока проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, т.к. , а дифференциальная крутизна ВАХ на разных участках различна.

Рассмотрим задачу аналитически.

Пусть нам известна нелинейная функция i(u)=i(Uc,U0). На нелинейный элемент действует напряжение сигнала Uc(t)=Umcos(wt+j).

Безразмерная величина x=wt+j, тогда I(x)=I(Umcosx, U0) – переодическая функция относительно аргумента x с периодом 2T. Представим ее рядом Фурье с коэффициентами .

Функция i(x) четная, поэтому ряд Фурье будет содержать только косинусные составляющие: .

Амплитудные коэффициенты гармонии

Две последние формулы дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии:

т.е. ток, кроме постоянной составляющей I0, содержит бесконечную последовательность гармонии с амплитудами In. Амплитуды гармонии зависят от параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим каким образом зависит от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная

i(U)=

Подано напряжение u(t)=U0+Umcoswt.

График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства:

U0+Umcosq=Uн Þ .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки U0 ВАХ нелинейного элемента

Множество важнейших процессов (нелинейное усиление, модуляция, детектирование, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) осуществляется в радиоэлектронных устройствах с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных нелинейных элементов практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удается идеализировать с точки зрения их безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.2.1. Согласно этой схемы, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь).

Рисунок. 2.1. Структурная схема нелинейного устройства.

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала.. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществить требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией, которую в общем виде можно записать так:

U вых (t)=f

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве воздействия рассматривать входное напряжение U вх (t), а отклика – выходной ток i вых (t), связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

i вых (t)=f

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольт-амперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладают и нелинейный двухполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольт-амперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально0 большинства нелинейных элементов имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. В радиоэлектронных устройствах широко используются аналитические методы представления нелинейных характеристик различных приборов относительно простыми функциями (или их набором), приближенно отражающими реальные характеристики. Нахождение аналитической функции по экспериментальной характеристике нелинейного элемента называется аппроксимацией. Существуют несколько способов аппроксимации характеристик – степенная, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломанная аппроксимация). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация.

Аппроксимация степенным полиномом. Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах (как правило, доли вольта) входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенного полинома используется ряд Тэйлора

i(u)=a o +a 1 (u-U o)+a 2 (u-U o) 2 +…+a n (u-U o) n , (2.1)

где a o , a 1 ,… a n – постоянные коэффициенты; U o – значение напряжения u, относительно которого ведется разложение в ряд и называемое рабочей точкой. Отметим, что здесь и далее аргументt у функций тока и напряжения для упрощения опущен. Постоянные коэффициенты ряда Тэйлора определяются известной формулой

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от трубуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй – третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда необходимо задаться диапазоном U 1 , U 2 нескольких возможных значений напряжения u и положением рабочей точки U o в этом диапазоне. Если требуется определить n коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается n+1 точек со своими координатами (i n ,u n). Для упрощения расчетов одну точку совмещают с рабочей точкой U o , имеющей координаты (I o , U o); еще две точки выбираются на границах диапазона u=U 1 и u=U 2 . Остальные точки располагаются произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2.1), составляют систему их n+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов a n ряда Тэйлора.

Рис.2.2. Аппроксимация характеристики транзистора степенным полиномом.

Пример 2.1. На рис. 2.2 штриховой линией представлена входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А. Аппроксимировать заданную характеристику транзистора в диапазоне 0,4…0,8 В полиномом Тэйлора второй степени i б =a o +a 1 (u бэ -U o)+a 2 (u бэ -U o) 2 относительно рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . Для упрошения расчетов в качестве точек аппроксимации выберем значения напряжений на границах диапазона и в рабочей точке, т.е. 0,4; 0,6 и

0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим следующую систему уравнений:

0,1=a o + a 1 (0.4-0.6)+ a 2 (0.4-0.6) 2 = a o -0.2a 1 +0.04 a 2

0.5= a o + a 1 (0.6-0.6)+ a 2 (0.6-0.6) 2 = a o

1.5= a o + a 1 (0.8-0.6)+ a 2 (0.8-0.6) 2 = a o +0.2a 1 +0.04 a 2

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов a o =0,5 мА, a 1 =3,5 мА/В, a 2 =7,5 мА/В 2 . Подставив их в формулу (2.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рисунке сплошной линией): i б =0.5+ 3.5(u б -0.6)+7.5(u б -0.6) 2 .

Кусочно-линейная аппроксимация. В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительный амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики Е н и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде:

i={ 0, u

i={ S(u-E н), u>E н (2.4)

Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

Пример 2.2. Экспериментально снятая входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А представлена на рис. 2.3. штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . В соответствии с заданной вольтамперной характеристикой транзистора находим, что величина тока в рабочей точке I о =0,5 мА. Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближенно по формуле (2.3). Задав линейное приращение напряжения ∆u бэ = 0.8 - 0.6 = 0.2 B, находим приращение тока ∆i б =

1.5-0.5=1 мА. Тогда S=∆i б /∆u б =1/0.2=5 мА/В.

Рис.2.3. Кусочно-линейная аппроксима- ция характеристики транзистора.

В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатамиI о =0,5 мА, U o =0,6 В. Определится как: i б =0,5+5(u бэ -0,6)=5(u бэ -0,5).

Из этой формулы следует, что при u бэ <0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 В. Если же входное напряжение u бэ <0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i={ 0, u бэ <0,5

i={ 5(u бэ -0,5), u бэ >0,5

Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.

Лекция №9.

Похожая информация.