În multe cazuri, sarcina de a obține (calcula) spectrul semnalului este următoarea. Există un ADC, care cu o frecvență de eșantionare Fd convertește un semnal continuu care ajunge la intrarea sa în timpul T, în citiri digitale - N bucăți. Apoi, matricea de citiri este introdusă într-un anumit program care emite N / 2 din unele valori numerice (programatorul care scos de pe internet a scris un program, susține că face transformata Fourier).

Pentru a verifica dacă programul funcționează corect, vom forma o serie de citiri ca suma a două sinusoide sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) și o vom introduce în program. Programul a atras următoarele:

fig.1 Graficul funcţiei de timp a semnalului

fig.2 Graficul spectrului semnalului

Pe graficul spectrului sunt două stick-uri (armonice) de 5 Hz cu o amplitudine de 0,5 V și 10 Hz - cu o amplitudine de 1 V, toate ca în formula semnalului original. Totul este în regulă, bine făcut programator! Programul funcționează corect.

Aceasta înseamnă că dacă aplicăm un semnal real dintr-un amestec de două sinusoide la intrarea ADC, atunci vom obține un spectru similar format din două armonice.

Total, al nostru real semnal măsurat, durata 5 sec, digitizat de către ADC, adică reprezentat discret conteaza, are neperiodică discretă spectru.

Din punct de vedere matematic, câte greșeli sunt în această frază?

Acum autoritățile au decis că am decis că 5 secunde este prea lung, să măsurăm semnalul în 0,5 secunde.



fig.3 Graficul funcției sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) pentru o perioadă de măsurare de 0,5 sec

fig.4 Spectrul de funcţii

Ceva nu este în regula! Armonica de 10 Hz este desenată normal, dar în locul unui stick de 5 Hz au apărut câteva armonici de neînțeles. Ne uităm pe internet, ce și cum...

În, ei spun că trebuie adăugate zerouri la sfârșitul eșantionului și spectrul va fi desenat normal.

fig.5 Zerouri terminate până la 5 secunde

fig.6 Am obținut spectrul

Încă nu cum era la 5 secunde. Trebuie să te ocupi de teorie. Să mergem la Wikipedia- sursa de cunoastere.

2. O funcție continuă și reprezentarea ei printr-o serie Fourier

Matematic, semnalul nostru cu o durată de T secunde este o anumită funcție f(x) dată pe intervalul (0, T) (X în acest caz este timpul). O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată ca o sumă de funcții armonice (sinus sau cosinus) de forma:

K - numărul funcției trigonometrice (numărul componentei armonice, numărul armonicilor)
T - segment în care este definită funcția (durata semnalului)
Ak - amplitudinea componentei armonice k-a,
?k - faza iniţială a componentei k-a armonică

Ce înseamnă să „reprezinți o funcție ca sumă a unei serii”? Aceasta înseamnă că prin adăugarea valorilor componentelor armonice ale seriei Fourier în fiecare punct, vom obține valoarea funcției noastre în acest punct.

(Mai strict, abaterea standard a seriei de la funcția f(x) va tinde spre zero, dar în ciuda convergenței rădăcină-medie pătrată, seria Fourier a funcției, în general, nu este necesară să convergă punctual către aceasta. . A se vedea https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Această serie poate fi scrisă și ca:

(2),
unde , k-a amplitudine complexă.

Relația dintre coeficienții (1) și (3) se exprimă prin următoarele formule:

Rețineți că toate aceste trei reprezentări ale seriei Fourier sunt complet echivalente. Uneori, atunci când lucrați cu seriile Fourier, este mai convenabil să folosiți exponenții argumentului imaginar în loc de sinusuri și cosinusuri, adică să folosiți transformata Fourier în formă complexă. Dar este convenabil pentru noi să folosim formula (1), în care seria Fourier este reprezentată ca o sumă de unde cosinus cu amplitudinile și fazele corespunzătoare. În orice caz, este incorect să spunem că rezultatul transformării Fourier a semnalului real va fi amplitudinile complexe ale armonicilor. După cum spune corect wiki, „Transformarea Fourier (?) este o operație care mapează o funcție a unei variabile reale cu o altă funcție, de asemenea, a unei variabile reale”.

Total:
Baza matematică a analizei spectrale a semnalelor este transformata Fourier.

Transformata Fourier ne permite să reprezentăm o funcție continuă f(x) (semnal) definită pe segmentul (0, T) ca suma unui număr infinit (serie infinită) de funcții trigonometrice (sinus și/sau cosinus) cu anumite amplitudini și faze, considerate și pe segmentul (0, T). O astfel de serie se numește serie Fourier.

Mai notăm câteva puncte, a căror înțelegere este necesară pentru aplicarea corectă a transformatei Fourier la analiza semnalului. Dacă luăm în considerare seria Fourier (suma sinusoidelor) pe toată axa X, atunci putem observa că în afara segmentului (0, T), funcția reprezentată de seria Fourier ne va repeta periodic funcția.

De exemplu, în graficul din Fig. 7, funcția originală este definită pe segment (-T \ 2, + T \ 2), iar seria Fourier reprezintă o funcție periodică definită pe întreaga axa x.

Acest lucru se datorează faptului că sinusoidele în sine sunt funcții periodice, respectiv, iar suma lor va fi o funcție periodică.

fig.7 Reprezentarea unei funcţii originale neperiodice printr-o serie Fourier

În acest fel:

Funcția noastră inițială este continuă, neperiodică, definită pe un interval de lungime T.
Spectrul acestei funcții este discret, adică este prezentat ca o serie infinită de componente armonice - seria Fourier.
De fapt, o anumită funcție periodică este definită de seria Fourier, care coincide cu a noastră pe segmentul (0, T), dar această periodicitate nu este esențială pentru noi.

Perioadele componentelor armonice sunt multipli ai segmentului (0, T) pe care este definită funcția inițială f(x). Cu alte cuvinte, perioadele armonice sunt multipli ai duratei măsurării semnalului. De exemplu, perioada primei armonice a seriei Fourier este egală cu intervalul T pe care este definită funcția f(x). Perioada celei de-a doua armonice a seriei Fourier este egală cu intervalul T/2. Și așa mai departe (vezi Fig. 8).

fig.8 Perioadele (frecvențele) componentelor armonice ale seriei Fourier (aici T = 2?)

În consecință, frecvențele componentelor armonice sunt multipli de 1/T. Adică, frecvențele componentelor armonice Fk sunt egale cu Fk= k\T, unde k variază de la 0 la?, de exemplu, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (la frecvență zero - componentă constantă).

Fie funcția noastră originală un semnal înregistrat timp de T=1 sec. Atunci perioada primei armonice va fi egală cu durata semnalului nostru T1=T=1 sec și frecvența armonicii este de 1 Hz. Perioada celei de-a doua armonice va fi egală cu durata semnalului împărțită la 2 (T2=T/2=0,5 sec) și frecvența este de 2 Hz. Pentru a treia armonică T3=T/3 sec și frecvența este de 3 Hz. Si asa mai departe.

Pasul dintre armonici în acest caz este de 1 Hz.

Astfel, un semnal cu durata de 1 sec poate fi descompus în componente armonice (pentru a obține un spectru) cu o rezoluție de frecvență de 1 Hz.
Pentru a crește rezoluția de 2 ori la 0,5 Hz, este necesar să măriți durata măsurării de 2 ori - până la 2 secunde. Un semnal cu o durată de 10 secunde poate fi descompus în componente armonice (pentru a obține un spectru) cu o rezoluție de frecvență de 0,1 Hz. Nu există alte modalități de a crește rezoluția frecvenței.

Există o modalitate de a crește în mod artificial durata semnalului prin adăugarea de zerouri la matricea de mostre. Dar nu crește rezoluția reală a frecvenței.

3. Semnale discrete și transformată Fourier discretă

Odată cu dezvoltarea tehnologiei digitale, s-au schimbat și modalitățile de stocare a datelor de măsurare (semnale). Dacă mai devreme semnalul putea fi înregistrat pe un magnetofon și stocat pe bandă în formă analogică, acum semnalele sunt digitizate și stocate în fișiere în memoria computerului ca un set de numere (numărări).

Schema obișnuită pentru măsurarea și digitizarea unui semnal este următoarea.

fig.9 Schema canalului de măsurare

Semnalul de la traductorul de măsurare ajunge la ADC într-o perioadă de timp T. Probele de semnal (eșantion) obținute în timpul T sunt transferate la computer și stocate în memorie.

fig.10 Semnal digitizat - N citiri primite în timpul T

Care sunt cerințele pentru parametrii de digitizare a semnalului? Un dispozitiv care convertește un semnal analogic de intrare într-un cod discret (semnal digital) se numește convertor analog-digital (ADC, engleză Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Unul dintre parametrii principali ai ADC este rata maximă de eșantionare (sau rata de eșantionare, rata de eșantionare în limba engleză) - frecvența prelevării probelor unui semnal continuu în timp în timpul eșantionării acestuia. Măsurată în herți. ((Wiki))

Conform teoremei Kotelnikov, dacă un semnal continuu are un spectru limitat de frecvența Fmax, atunci poate fi restabilit complet și unic din probele sale discrete prelevate la intervale de timp, de exemplu. cu frecventa Fd ? 2*Fmax, unde Fd - rata de eșantionare; Fmax - frecvența maximă a spectrului de semnal. Cu alte cuvinte, rata de eșantionare a semnalului (ADC sampling rate) trebuie să fie de cel puțin 2 ori frecvența maximă a semnalului pe care dorim să-l măsurăm.

Și ce se va întâmpla dacă luăm citiri cu o frecvență mai mică decât cea cerută de teorema Kotelnikov?

În acest caz, apare efectul de „aliasing” (alias și efect stroboscopic, efect moire), în care un semnal de înaltă frecvență după digitizare se transformă într-un semnal de joasă frecvență care nu există de fapt. Pe fig. Unda sinusoidală roșie de înaltă frecvență este semnalul real. Unda sinusoidală albastră de frecvență inferioară este un semnal fals rezultat din faptul că mai mult de jumătate de perioadă dintr-un semnal de înaltă frecvență are timp să treacă în timpul de eșantionare.

Orez. 11. Apariția unui semnal fals de joasă frecvență atunci când rata de eșantionare nu este suficient de mare

Pentru a evita efectul de aliasing, un filtru special de anti-aliasing este plasat în fața ADC - LPF (filtru low-pass), care trece frecvențele sub jumătate din frecvența de eșantionare ADC și taie frecvențele mai mari.

Pentru a calcula spectrul unui semnal din eșantioanele sale discrete, se utilizează transformata Fourier discretă (DFT). Observăm încă o dată că spectrul unui semnal discret este limitat „prin definiție” de frecvența Fmax, care este mai mică de jumătate din frecvența de eșantionare Fd. Prin urmare, spectrul unui semnal discret poate fi reprezentat prin suma unui număr finit de armonici, spre deosebire de suma infinită pentru seria Fourier a unui semnal continuu, al cărui spectru poate fi nelimitat. Conform teoremei Kotelnikov, frecvența armonică maximă trebuie să fie astfel încât să reprezinte cel puțin două eșantioane, astfel încât numărul de armonici este egal cu jumătate din numărul de eșantioane ale semnalului discret. Adică, dacă există N eșantioane în eșantion, atunci numărul de armonici din spectru va fi egal cu N/2.

Luați în considerare acum transformata Fourier discretă (DFT).

Comparativ cu seria Fourier

Vedem că acestea coincid, cu excepția faptului că timpul în DFT este discret și numărul de armonici este limitat la N/2 - jumătate din numărul de mostre.

Formulele DFT sunt scrise în variabile întregi adimensionale k, s, unde k sunt numărul de mostre de semnal, s sunt numărul de componente spectrale.
Valoarea lui s arată numărul de oscilații complete ale armonicii în perioada T (durata măsurării semnalului). Transformata Fourier discretă este utilizată pentru a găsi numeric amplitudinile și fazele armonicilor, de exemplu. "pe computer"

Revenind la rezultatele obținute la început. După cum sa menționat mai sus, atunci când extindeți o funcție non-periodică (semnalul nostru) într-o serie Fourier, seria Fourier rezultată corespunde de fapt unei funcții periodice cu perioada T. (Fig. 12).

fig.12 Funcția periodică f(x) cu perioada Т0, cu perioada de măsurare Т>T0

După cum se poate observa în Fig. 12, funcția f(x) este periodică cu perioada Т0. Totuși, datorită faptului că durata eșantionului de măsurare T nu coincide cu perioada funcției T0, funcția obținută ca serie Fourier are o discontinuitate în punctul T. Ca urmare, spectrul acestei funcții va conțin un număr mare de armonici de înaltă frecvență. Dacă durata eșantionului de măsurare T a coincis cu perioada funcției T0, atunci doar prima armonică (o sinusoidă cu o perioadă egală cu durata eșantionului) ar fi prezentă în spectrul obținut după transformarea Fourier, deoarece funcția f (x) este o sinusoidă.

Cu alte cuvinte, programul DFT „nu știe” că semnalul nostru este o „piesă dintr-o undă sinusoidală”, dar încearcă să reprezinte o funcție periodică ca o serie, care are un decalaj din cauza inconsecvenței bucăților individuale de unda sinusoidala.

Ca urmare, în spectru apar armonici, care în total ar trebui să reprezinte forma funcției, inclusiv această discontinuitate.

Astfel, pentru a obține spectrul „corect” al semnalului, care este suma mai multor sinusoide cu perioade diferite, este necesar ca pe perioada de măsurare a semnalului să se potrivească un număr întreg de perioade ale fiecărei sinusoide. În practică, această condiție poate fi îndeplinită pentru o durată suficient de lungă a măsurării semnalului.

Fig.13 Un exemplu de funcție și spectru de semnal al erorii cinematice a cutiei de viteze

Cu o durată mai scurtă, imaginea va arăta „mai rău”:

Fig.14 Un exemplu al funcției și spectrului semnalului de vibrație al rotorului

În practică, poate fi dificil de înțeles unde sunt „componentele reale” și unde sunt „artefactele” cauzate de nemultiplitatea perioadelor componentelor și de durata eșantionului de semnal sau de „săriturile și pauzele” ale forma de undă. Desigur, cuvintele „componente reale” și „artefacte” nu sunt degeaba între ghilimele. Prezența multor armonici pe graficul spectrului nu înseamnă că semnalul nostru „constă” de fapt din ele. Este ca și cum ai crede că numărul 7 „constă” din numerele 3 și 4. Numărul 7 poate fi reprezentat ca suma numerelor 3 și 4 - acest lucru este corect.

La fel este și semnalul nostru... sau mai bine zis, nici măcar „semnalul nostru”, ci o funcție periodică compilată prin repetarea semnalului nostru (eșantionare) poate fi reprezentată ca o sumă de armonici (sinusoide) cu anumite amplitudini și faze. Dar, în multe cazuri importante pentru practică (a se vedea figurile de mai sus), este într-adevăr posibil să se relaționeze armonicile obținute în spectru de procese reale care sunt de natură ciclică și au o contribuție semnificativă la forma semnalului.

Câteva rezultate

1. Semnalul real măsurat, durata T sec, digitizat de ADC, adică reprezentat printr-un set de mostre discrete (N bucăți), are un spectru discret neperiodic, reprezentat printr-un set de armonici (N/2 bucăți). ).

2. Semnalul este reprezentat de un set de valori reale, iar spectrul acestuia este reprezentat de un set de valori reale. Frecvențele armonice sunt pozitive. Faptul că este mai convenabil pentru matematicieni să reprezinte spectrul într-o formă complexă folosind frecvențe negative nu înseamnă că „este corect” și „ar trebui să se facă întotdeauna așa”.

3. Semnalul măsurat pe intervalul de timp T este determinat doar pe intervalul de timp T. Ce s-a întâmplat înainte de a începe să măsurăm semnalul și ce se va întâmpla după aceea - acest lucru este necunoscut științei. Și în cazul nostru - nu este interesant. DFT-ul unui semnal limitat în timp oferă spectrul său „real”, în sensul că, în anumite condiții, vă permite să calculați amplitudinea și frecvența componentelor sale.

Materiale folosite și alte materiale utile.

Transformarea Fourier este cel mai utilizat mijloc de a converti o funcție arbitrară a timpului într-un set de componente ale frecvenței sale în planul numeric complex. Această transformare poate fi aplicată funcțiilor aperiodice pentru a le determina spectrele, caz în care operatorul complex s poate fi înlocuit cu /co:

Pentru a determina cele mai interesante frecvente se poate folosi integrarea numerica pe plan complex.

Pentru a ne familiariza cu elementele de bază ale comportamentului acestor integrale, luăm în considerare câteva exemple. Pe Fig. 14.6 (stânga) arată pulsul unității de suprafață în domeniul timpului și compoziția sa spectrală; în centru - un puls de aceeași zonă, dar de amplitudine mai mare, iar în dreapta - amplitudinea pulsului este infinită, dar aria sa este încă egală cu unitatea. Imaginea din dreapta este deosebit de interesantă, deoarece spectrul pulsului cu lățime zero conține toate frecvențele cu amplitudini egale.

Orez. 14.6. Spectre de impulsuri de aceeași lățime, de-a lungul aceluiași piaosrdi

În 1822, matematicianul francez J. B. J. Fourier (J. B. J. Fourier) a arătat în lucrarea sa despre conductibilitatea termică că orice funcție periodică poate fi descompusă în componente inițiale, inclusiv frecvența de repetiție și un set de armonici de această frecvență, iar fiecare dintre armonici are propria amplitudine și fază cu respect. la rata de repetare. Formulele de bază utilizate în transformarea Fourier sunt:

unde A() este componenta DC, iar A p și B p sunt armonici ale frecvenței fundamentale de ordin și, respectiv, în fază și antifază cu aceasta. Funcția f(*) este astfel suma acestor armonici și Lo-

În cazurile în care f(x) este simetric în raport cu mc/2, adică de ex. f(x) pe regiunea de la n la 2n = -f(x) pe regiunea de la 0 la n și nu există o componentă DC, formulele transformării Fourier sunt simplificate la:

unde n = 1, 3,5, 7...

Toate armonicile sunt sinusoide, doar unele dintre ele sunt în fază, iar unele sunt defazate cu frecvența fundamentală. Cele mai multe forme de undă întâlnite în electronica de putere pot fi descompuse în armonici în acest mod.

Dacă transformata Fourier este aplicată impulsurilor dreptunghiulare cu o durată de 120°, atunci armonicile vor fi un set de ordin k = bi ± 1, unde n este unul dintre numerele întregi. Amplitudinea fiecărei armonici h față de prima este legată de numărul acesteia prin relația h = l//e. În acest caz, prima armonică va avea o amplitudine de 1,1 ori mai mare decât amplitudinea unui semnal dreptunghiular.

Transformata Fourier dă valoarea amplitudinii pentru fiecare armonică, dar deoarece toate sunt sinusoidale, valoarea rms se obține pur și simplu prin împărțirea amplitudinii corespunzătoare la rădăcina lui 2. Valoarea rms a unui semnal complex este rădăcina pătrată a sumei lui. pătratele valorilor eficace ale fiecărei armonice, inclusiv prima.

Când aveți de-a face cu funcții de impuls repetitive, este util să luați în considerare ciclul de lucru. Dacă impulsurile repetate din Fig. 14.7 au o valoare rms X la momentul A, atunci valoarea rms la momentul B va fi X(A/B) 1 2 . Astfel, valoarea RMS a impulsurilor repetitive este proporțională cu rădăcina pătrată a valorii ciclului de lucru. Aplicarea acestui principiu la un impuls dreptunghiular de amplitudine unitară de 120° (ciclu de lucru 2/3) dă valoarea RMS (2/3) 1/2 = 0,8165.

Orez. 14.7. Determinarea pătratului mediu rădăcină (RMS) pentru repetat

impulsuri

Este interesant de verificat acest rezultat prin însumarea armonicilor corespunzătoare trenului de unde pătrate menționat. În tabel. 14.2 arată rezultatele acestei însumări. După cum puteți vedea, totul se potrivește.

Tabelul 14.2. Rezultatele însumării armonicilor corespunzătoare

semnal periodic cu ciclu de lucru 2/3 și amplitudine unitară

Număr armonic

Amplitudine armonică

RMS total

În scopuri de comparație, orice set de armonici poate fi grupat împreună și se poate determina nivelul general corespunzător de distorsiune armonică. În acest caz, valoarea medie pătrată a semnalului este determinată de formulă

unde h\ este amplitudinea primei armonici (fundamentale), iar h„ este amplitudinea armonicilor de ordinul n > 1.

Componentele responsabile pentru distorsiuni pot fi scrise separat ca

unde n > 1. Atunci

unde Fondul este prima armonică și distorsiunea armonică totală (THD) este egală cu D/Fond.

Deși analiza undelor pătrate este interesantă, este rar folosită în lumea reală. Efectele de comutare și alte procese fac impulsurile dreptunghiulare mai asemănătoare cu trapezoidale sau, în cazul convertoarelor, cu o muchie ascendentă descrisă de expresia 1 cos(0) și o muchie descendentă descrisă prin cos(0), unde 0< 0

pe o scară logaritmică, panta secțiunilor corespunzătoare din acest grafic este -2 și -1. Pentru sistemele cu valori tipice de reactanță, modificarea pantei are loc aproximativ la frecvențe de la armonica a 11-a la a 35-a a frecvenței rețelei și cu o creșterea reactanței sau a curentului în sistem, frecvența modificării pantei scade. Rezultatul practic al tuturor acestor lucruri este că armonicile superioare sunt mai puțin importante decât s-ar putea crede.

Deși creșterea reactanței ajută la reducerea armonicilor de ordin superior, acest lucru nu este de obicei fezabil. Este mai de preferat să se reducă componentele armonice din curentul consumat prin creșterea numărului de impulsuri în timpul redresării sau conversiei tensiunii, realizată prin defazare. În ceea ce privește transformatoarele, acest subiect a fost atins în Cap. 7. Dacă convertorul sau redresorul tiristor este alimentat de la înfășurările transformatorului conectate printr-o stea și o deltă, iar ieșirile convertorului sau redresorului sunt conectate în serie sau în paralel, atunci se obține o redresare cu 12 impulsuri. Numerele armonice din mulțime sunt acum k = \2n ± 1 în loc de k = 6u + 1, unde n este unul dintre numerele întregi. În locul armonicilor de ordinul 5 și 7, acum apar armonici de ordinul 11 ​​și 13, a căror amplitudine este mult mai mică. Este foarte posibil să folosiți și mai multe ondulații și, de exemplu, sistemele cu 48 de impulsuri sunt folosite în sursele mari de alimentare pentru instalațiile electrochimice. Deoarece redresoarele și convertoarele mari folosesc seturi de diode sau tiristoare conectate în paralel, costul suplimentar al înfășurărilor cu defazare într-un transformator determină în principal prețul acestuia. Pe Fig. 14.8 prezintă avantajele unui circuit cu 12 impulsuri față de unul cu 6 impulsuri. Armonicile de ordinul 11 ​​și 13 dintr-un circuit cu 12 impulsuri au o valoare tipică a amplitudinii de aproximativ 10% din prima armonică. În circuitele cu un număr mare de ondulații, armonicile sunt de ordinul k = pn + 1, unde p este numărul de ondulații.

Pentru interes, observăm că perechile de seturi armonice care sunt pur și simplu deplasate una față de alta cu 30° nu se anulează reciproc într-o schemă cu 6 impulsuri. Acești curenți armonici curg înapoi prin transformator; astfel, este necesară o schimbare de fază suplimentară pentru a obține posibilitatea anihilării lor reciproce.

Nu toate armonicile sunt în fază cu prima. De exemplu, într-un set armonic trifazat corespunzător unui tren de unde pătrate de 120°, fazele armonicelor se modifică în funcție de secvența -5, +7, -11, +13 și așa mai departe. Atunci când sunt dezechilibrate într-un circuit trifazat, pot apărea componente monofazate, ceea ce presupune o triplare a armonicilor cu defazaj zero.

Orez. 14.8. Spectre ale traductoarelor cu 6 și 12 pulsații

Transformatoarele de izolare sunt adesea văzute ca un panaceu pentru problemele armonice. Aceste transformatoare adaugă o oarecare reactanță sistemului și, prin urmare, ajută la reducerea armonicilor superioare, cu toate acestea, în afară de suprimarea curenților cu secvență zero și izolarea electrostatică, ele sunt de puțin folos.

Să începem cu un circuit simplu pentru a acoperi conceptele de bază pe care le vom folosi mai târziu pentru circuite mai complexe. Pe fig. 7.1 arată tensiunea de intrare V BX.p = 1 V, aceasta este o undă sinusoidală cu o frecvență f\u003d 1 kHz și o valoare maximă de 1 V (rms V în=√2). Pentru a furniza o tensiune de ieșire care este o funcție neliniară a tensiunii de intrare, o sursă de tensiune controlată de tensiune E (VUNC) este utilizată ca amplificator. În acest exemplu, dependența tensiunii de ieșire de intrare este afișată de funcție

f(X) = 1 + X + X².

Orez. 7.1. Schemă cu o relație neliniară între tensiunile de intrare și de ieșire

Această relație funcțională este afișată în comanda E folosind coeficienți polinomiali. Vedere generală a polinomului:

f(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Pentru a ajunge la exemplul nostru de dependență, folosim ultimele trei numere ale comenzii de intrare E. Vrem să facem o analiză armonică pentru a vedea ce armonici sunt prezente în tensiunea de ieșire, dar mai întâi să încercăm să determinăm la ce ar trebui să ne așteptăm.

Înainte de a trece la extinderea dependențelor de timp într-o serie Fourier, este necesar să se efectueze o analiză pentru procesele tranzitorii (program de analiză tranzitorie în PSpice).

Prin urmare, trebuie utilizate atât comenzile .TRAN, cât și .FOUR. De obicei, o analiză tranzitorie este efectuată pentru o perioadă întreagă a frecvenței fundamentale. În acest exemplu f=1 kHz; Prin urmare, T=1/f=1 ms. Analiza armonică reflectă componentele de frecvență până la armonica a noua. Pentru majoritatea scopurilor, acest lucru ar trebui să fie mai mult decât suficient. Dacă sunt afișate armonici mai mari, acestea nu vor conta prea mult din cauza acumulării de erori de rotunjire în rezultate.

Pentru a oferi o descriere mai detaliată a tensiunii de intrare V BX, utilizați formularul păcat pentru a descrie sursa. Parametrii sin( A, b,Cu,…) Rău: A- componenta constanta, b- valoare maximă, Cu- frecvență, d- întârziere, e- coeficient de atenuare şi f- faza.

Când comanda .FOUR este inclusă în fișierul de intrare, se efectuează o analiză armonică care dă o extindere Fourier a rezultatelor analizei tranzitorii. Parametrii acestei comenzi includ frecvența fundamentală și variabilele pentru care se va obține expansiunea. În acest exemplu, aceste variabile vor fi funcții periodice ale tensiunilor de intrare V(1) și de ieșire V(2). Fișier de intrare:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumente pentru offset, maxim și frecvență

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; ultimele 3 valori pentru k0, k1, k2

Faceți analiza, apoi obțineți diagramele V(1) și (V)2. Asigurați-vă că V(1) este o copie exactă a tensiunii de intrare V VX. Tensiunea de ieșire ar trebui să prezinte o componentă de curent continuu și o undă complexă cu maximum 3 V. Dintr-un studiu teoretic al seriei Fourier, se poate concluziona că acest grafic seamănă cu o undă periodică formată din armonica fundamentală și a doua. Este recomandabil să tipăriți o copie a acestui grafic pentru studii viitoare. Pe fig. 7.2 prezintă aceste grafice.

Orez. 7.2. Grafice de stres v 1 și v 2 pentru circuitul din fig. 7.1

Luați în considerare și fișierul de ieșire pentru acest circuit (Figura 7.3), care arată următoarele valori pentru tensiunile nodului: V(1)=0 V și V(2)=1 V. Aceasta înseamnă că, deși semnalul de intrare nu are offset, tensiunea de ieșire are un offset V(2)=1V.

Pe fig. 7.3 în tabelul de componente ale seriei Fourier pentru V(1), nu toate componentele au valori reale. Astfel, valoarea componentei constante ar trebui teoretic să fie egală cu zero, dar analiza dă o valoare foarte mică de 3,5E-10, care nu este exact egală cu zero din cauza acumulării erorilor de rotunjire.

Analiza Fourier; Descompunerea polinomului

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentele sunt offset, vârf și frecvență

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; ultimii 3 1 sunt pentru k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

FRECVENȚA ARMONICĂ FOURIER NORMALIZATĂ FAZĂ NORMALIZĂ

NU (HZ) COMPONENT COMPONENT (GRADE) FAZĂ (GRADE)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

DISTORSIUNEA ARMONICĂ TOTALĂ = 4,999939E+01 PROCENT

Orez. 7.3. Fișierul de ieșire cu rezultatele analizei circuitului din fig. 7.1

Prima armonică este armonica fundamentală la f= 1 kHz. Sunt prezentate amplitudinea primei armonice din seria Fourier și faza sa 2,4Е-7 (de asemenea, aproape zero). Dacă presupunem că această componentă este exprimată prin formula

b n păcat( nx),

atunci asta înseamnă că b 1 =1, n=1, unde indicele 1 corespunde frecvenței fundamentale. Alte armonici pot fi ignorate, deoarece amplitudinile lor sunt cu multe ordine de mărime mai mici decât armonica fundamentală. Este armonica fundamentală care se reflectă în graficul V(1) din Sondă, obținută din datele din Fig. 7.3.

Un alt tabel de componente Fourier din fig. 7.3 se referă la V(2). Când vă uitați la diferitele armonici, rețineți că există o componentă de 1,5 V DC. De ce 1,5 V? Componentă k 0 = 1 V dă doar o parte din această valoare, restul de 0,5 V este asociat cu a doua armonică. Teoria arată că, cu distorsiunea armonică în a doua armonică în tensiunea de ieșire, în plus față de a doua armonică în sine cu amplitudine b 2, o componentă constantă asociată cu distorsiunile în a doua armonică apare cu valoarea b 0 =b 2. Amplitudinea frecvenței fundamentale în expansiune este b 1 \u003d 1 V, amplitudinea celei de-a doua armonice b 2 = 0,5 V, unghiul său de fază este de -90°. Armonicile superioare sunt mult mai mici și pot fi ignorate.

Ca exercițiu de sinteză armonică, puteți desena armonicile individuale și le puteți adăuga împreună pentru a prezice rezultatul pe care îl obțineți în Sonda pentru V(2). Nu uitați să luați în considerare componenta DC și amplitudinile și fazele corespunzătoare pentru armonicile fundamentale și secunde. Odată ce ați desenat forma de undă rezultată, veți fi fără îndoială mulțumit să aflați că PSpice poate face munca obositoare pentru dvs.

Adăugarea armonicilor și descompunerea în componente armonice

Să creăm un nou fișier de intrare corespunzător Fig. 7.4, pe care la diagrama din Fig. 7.1, sunt adăugate încă două surse de curent independente.

Am folosit două surse doar pentru a putea obține armonicile fundamentale și a doua pe aceeași diagramă ca și tensiunea de ieșire. Surse suplimentare alimentează un rezistor de 1 ohm conectat în paralel. O astfel de schimbare a schemei originale nu este deloc necesară, doar s-a dovedit a fi convenabilă cu un anumit set de parametri. Noul fișier de intrare este o extensie a fișierului anterior și arată astfel:

Analiza Fourier; Descompunerea polinomului

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumente - offset, amplitudine și frecvență

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; ultimele 3 înregistrări pentru k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Orez. 7.4. Schemă pentru analiza adunării armonicelor și expansiunii într-o serie Fourier

Înainte de a efectua analiza, să aruncăm o privire mai atentă la descrierile pentru i 1 și i 2. Pentru sinteza armonică se folosesc rezultatele expansiunii seriei Fourier din problema anterioară. Asigurați-vă că înțelegeți semnificația tuturor parametrilor; apoi rulați analiza în Probe pentru a obține diagramele I(i1), I(i2) și I(r). Deși sunt curenți, sunt numeric egali cu tensiunile, deoarece trec printr-o rezistență de 1 ohm. Pe fig. 7.5 prezintă rezultatele. Acum puteți stabili că primul grafic este armonica fundamentală, al doilea este armonica a doua și al treilea este rezultatul adunării lor într-un rezistor. r. Desigur, puteți obține o diagramă a lui V(3) în loc de I(r). În același timp, axa Y vor fi etichetate în unități de tensiune, nu de curent. Verificați dacă suma primelor două curbe dă a treia curbă în momente diferite în timp. Pentru a face graficul mai compact, am folosit un offset de 1 V pentru fundamentală și 0,5 V pentru armonica a doua. De fapt, armonica fundamentală are offset zero.

Orez. 7.5. Armonica fundamentală și a doua și rezultatul adunării lor

Distorsiunea armonică a doua în amplificatoare

Când zona de operare a amplificatorului depășește partea liniară a caracteristicii, aceasta duce la o anumită distorsiune. Prima aproximare a curbei de ieșire reală se realizează prin includerea celei de-a doua armonice în model, arătând că funcția tranzitorie care conectează ICși eu b(colector și curent de bază) este un fel de parabolă. De obicei, distorsiunea este mult mai mică decât cea presupusă în primul nostru exemplu introductiv, care a fost prezentat în Fig. 7.1. Un polinom mai precis este dat de formula

f(X) = 0,1 + X + 0,2X².

Este suficient să transformați pur și simplu fișierul de intrare original pentru a reflecta această situație. Comandă de intrare pentru sursa dependentă E va lua forma:

E 2 0 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; ultimele trei valori pentru k0, k1, k2

și întregul fișier de intrare va fi:

Rulați analiza și obțineți diagramele V(1) și V(2) în Probe. Veți vedea că ambele unde arată ca unde sinusoidale reale. Pentru o comparație mai precisă, eliminați graficul V(2) și obțineți un grafic V(2)–0,1. Acest lucru va apropia ambele curbe. Când comparați undele, amintiți-vă că V(1) este doar o undă sinusoidală și V(2) este o combinație de armonici fundamentale și secunde. În acest exemplu, a doua armonică este mult mai mică ca amplitudine decât în ​​cea anterioară. Puteți imprima rezultatele studiului prezentat în fig. 7.6.

Orez. 7.6. Armonica fundamentală și a doua și rezultatul adunării lor

După ce părăsiți programul Probe, luați în considerare fișierul de ieșire pentru acest caz. Tensiunea de intrare V(1) este exact aceeași ca în exemplul anterior, dar V(2) este, desigur, diferită. Vă rugăm să rețineți că componenta DC a tensiunii de ieșire este de 0,2 V, iar a doua armonică la f=2 kHz are o amplitudine de 0,1 V și un unghi de fază de -90°. Alte armonice sunt mult mai mici și pot fi neglijate. În cele din urmă, determinați distorsiunea armonică totală, care este foarte aproape de 10%, așa cum era de așteptat. Distorsiunea armonică a doua este definită ca b 1 /b 2 unde b 1 și b 2 - coeficienți la armonica secundă și, respectiv, fundamentală. Aceste date sunt prezentate în fig. 7.7.

Analiza Fourier; A doua distorsiune armonică, amplificator de putere

TENSIUNE DE NOD TENSIUNE DE NOD TENSIUNE DE NOD TENSIUNE DE NOD

PATRU COMPONENTE ALE RĂSPUNSULUI TRANZITORI V(1)

FRECVENȚA ARMONICĂ FOURIER NORMALIZATĂ FAZĂ NORMALIZĂ

NU (HZ) COMPONENT COMPONENT (GRADE) FAZĂ (GRADE)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

DISTORSIUNEA ARMONICĂ TOTALĂ = 2,208405E-06 PROCENT

PATRU COMPONENTE ALE RĂSPUNSULUI TRANZITORI V(2)

FRECVENȚA ARMONICĂ FOURIER NORMALIZATĂ FAZĂ NORMALIZĂ

NU (HZ) COMPONENT COMPONENT (GRADE) FAZĂ (GRADE)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

DISTORSIUNEA ARMONICĂ TOTALĂ = 9,999880E+00 PROCENT

Orez. 7.7. Rezultatele analizei distorsiunii armonice a doua în amplificatoare

Distorsiunea de intermodulație

Folosim un circuit simplu (fig. 7.8) pentru a arăta cum două unde sinusoidale sunt combinate într-un dispozitiv neliniar folosind frecvențe destul de apropiate una de cealaltă, și anume f 1 =1 kHz și f 2 = 1,5 kHz. Amestecarea neliniară are loc în sursa dependentă de tip e VCVS (INUN). Polinomul care descrie relația are mai mulți termeni decât în ​​exemplul anterior:

f(X) = 1 + X + X² + X³.

Orez. 7.8. Circuit pentru demonstrarea distorsiunii de intermodulație

Curenții, în rezumat, creează în R= 1 Ω tensiune V(1), numeric egală cu curentul în R. Astfel, tensiunea de intrare V(1) poate fi considerată ca tensiunea într-un mixer neliniar. Deoarece undele sinusoidale au frecvențe diferite, suma lor este o oscilație periodică complexă cu o frecvență diferită de frecvența componentelor originale (frecvența bătăilor). Fișier de intrare:

Rulați simularea și intrați în Sonda V(1). Selectați Plot, X-Axis Settings..., User Defined și setați intervalul de la 0 la 10 ms pentru a obține o tensiune de intrare constantă. Acest grafic este prezentat în Fig. 7.9. Pentru a confirma că este de fapt suma armonicilor de 1 și 1,5 kHz, selectăm Trace, Fourier, trecând din domeniul timpului în domeniul frecvenței. Să schimbăm marginile de-a lungul axei X prin setarea intervalului de frecvență de la 4 la 12 kHz. Asigurați-vă că parametrii axei corespund frecvențelor dorite și amplitudinilor așteptate. De fapt, când f\u003d 1 kHz, tensiunea este de 0,991 V și la f= 1,5 kHz este 0,979 V. Rețineți că există o eroare de acumulare cu această sinteză. Pe fig. 7.10 arată răspunsul în frecvență corespunzător.

Orez. 7.9. Tensiunea de ieșire la distorsiunea de intermodulație

Orez. 7.10. Compoziția spectrală a tensiunii de intrare

Selectați apoi Trace, End Fourier pentru a reveni la domeniul temporal, ștergeți diagrama V(1) și obțineți tensiunea de ieșire a mixerului V(2). Amintiți-vă că mixerul este un INUN cu o conexiune polinomială dată de funcție f(X). Dependența de timp este un grafic similar cu graficul V(1), dar o privire mai atentă arată că formele tensiunii sunt semnificativ diferite. Unele indicii pot fi adunate din conținutul armonic al acestei forme de undă complexe, așa că va fi necesar să revenim în domeniul frecvenței selectând un interval de-a lungul axei. X de la 0 la 5 kHz. Vă recomandăm să tipăriți spectrul de frecvență pentru studii ulterioare. Analiza teoretică a componentelor de modulare a frecvenței vă permite să preziceți și să verificați rezultatele analizei pe PSpice. Rețineți că există o componentă de 2 V DC împreună cu componente semnificative în intervalul 0,5 până la 4,5 kHz (vezi Figura 7.11 pentru spectrul de frecvență).

Orez. 7.11. Compoziția spectrală a tensiunii de ieșire

Adăugarea de armonici

Cel mai simplu caz pentru analiza teoretică este cazul unui efect armonic asupra unui circuit format din componente liniare, cum ar fi rezistențe, condensatoare și inductori și, după cum știți, răspunsul este o oscilație armonică la aceeași frecvență a semnalului de intrare. Căderile de tensiune diferite în circuit sunt, de asemenea, oscilații armonice cu aceeași frecvență, care diferă doar în amplitudine și fază. Să folosim o diagramă simplă pentru a ilustra unele dintre aceste proprietăți. Pe fig. 7.12 prezintă trei surse de tensiune care alimentează un circuit care conține rezistențe R= 1 ohm și R 1 =R 2 \u003d 0,001 Ohm. Ultimele două rezistențe sunt necesare pentru ca sursele de tensiune să nu fie ideale. Folosind această diagramă, putem arăta adăugarea undelor sinusoidale în Probe. Fișier de intrare:

Adăugarea undelor sinusoidale de aceeași frecvență

*Ordinea parametrilor într-o expresie complexă pentru armonică

*componente: offset, amplitudine, frecventa, intarziere, atenuare, faza

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); faza=45 grade

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); faza=90 de grade

Orez. 7.12. Schemă de adăugare a semnalelor armonice de o frecvență

Rulați simularea și Sondați graficele v(1), v(2) și v=v(1)+v(2). Graficele rezultate arată tensiunea v 2 cu întârziere maximă de aproximativ 45° față de maxim v 1 și tensiunea totală v 1 +v 2 cu un maxim situat între valorile lor maxime. Asigurați-vă că maxim v 1 = 1 V atins la 251 µs (90°), maxim v 2 \u003d 1 V - la momentul de 131 μs (47,16 °) și maxim v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - la momentul de 171 μs (61,56 °). Ștergeți aceste grafice și obțineți dependențe de timp pentru alte combinații de tensiuni, de exemplu, pentru v(1), v(3) și v(1)+v(3). Pe baza capacității dumneavoastră de a adăuga vectori de stres, încercați să preziceți valoarea amplitudinii pentru suma tensiunilor înainte de a obține diagramele Sondei prezentate în Figura 2. 7.13.

Orez. 7.13. Rezultatul adunării semnalelor armonice de aceeași frecvență

Adăugarea de armonici fundamentale și secunde

În fișierul de intrare corespunzător schemei din Fig. 7.12, puteți varia cu ușurință parametrii și compoziția surselor de alimentare. Să ștergem v 3 și dublează frecvența tensiunii v 2 să devină frecvența a doua armonică pentru v unu . Desigur, oscilația rezultată va deveni imediat nesinusoidală. De fapt, forma sa va depinde de raportul unghiurilor de fază v 1 și v 2. Lăsați ambele armonice să atingă maximul simultan în exemplul considerat. Fișier de intrare pentru acest caz:

Adăugarea undelor sinusoidale; Culmea fundamentală și a 2-a armonică împreună

Rulați simularea și trasați v(1), v(2) și v=v(1)+v(2) în Probe. Pentru că v 1 și v 2 vârf în același timp, maximul oscilației rezultate este de 2 V, dar când armonica fundamentală atinge un maxim negativ, a doua armonică revine la un maxim pozitiv, iar suma lor ajunge la zero. Este clar că fluctuația totală ( v 1 +v 2) nesinusoidal. Aceste grafice sunt prezentate în fig. 7.14.

Orez. 7.14. Rezultatul adunării primei și a doua armonici

Modulație de amplitudine

Un grafic interesant al unei forme de undă modulate în amplitudine poate fi obținut în PSpice prin utilizarea funcției de multiplicare a undelor armonice cu frecvențe semnificativ diferite. Pe fig. 7.15 prezintă un circuit care simulează un astfel de dispozitiv. Prima sursă armonică este v 1 cu o frecvență de 1 kHz. a doua origine v 2 are o frecvență de 20 kHz. Înmulțirea se realizează în sursa dependentă e, care este INUN (VCVS). Rezistoarele sunt necesare pentru a evita potențialele plutitoare. Fișier de intrare:

e 3 0 poli(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Orez. 7.15. Multiplicator pentru modularea undei sinusoidale

Ultimele cinci intrări din comanda de intrare sursă polinomială sunt: ​​0 0 0 0 1. Reamintim că acestea sunt valorile coeficienților în termeni k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 și k 4 v 1 v 2. Toate valorile sunt 0, cu excepția k 4, care este egal cu 1.

Rulați simularea și obțineți diagramele v(1) și v(3) în Probe. Componenta armonică cu o frecvență de 20 kHz nu este construită în mod deliberat pe graficul general, pentru a nu complica înțelegerea proceselor. Oscilația rezultată v(3) are forma clasică de oscilație cu amplitudine modulată. În acest exemplu, ambele armonice de intrare v 1 și v 2 au o amplitudine de 1 V. Graficele sunt prezentate în fig. 7.16.

Orez. 7.16. Rezultatul studiului semnalelor modulate în amplitudine

În timp ce sunteți încă în Sondă, adăugați o altă tensiune de intrare v(2) reprezentată pentru a afișa toate tensiunile: v(1), v(2) și v(3). Acum acest grafic conține, alături de celelalte două valuri, purtătorul, dând imaginea completă. Obțineți o imprimare pentru studiu suplimentar, apoi ștergeți diagrama v(2) și selectați Urmărire, Fourier. Instalați de-a lungul axei X limitele intervalului de la 0 la 30 kHz. Domeniul de frecvență afișează acum componente de 1,19 kHz și 21 kHz. Ultimele componente sunt frecvențele laterale superioare și inferioare rezultate din această modulație. Determinați amplitudinea fiecăreia dintre aceste unde. Amintiți-vă de identitatea trigonometrică,

(păcat A)(păcat b) = 0.5,

ceea ce explică amplitudinile de 0,5 V pentru frecvențele benzii laterale. Consultați fig. 7.17, care arată spectrul de frecvență. (Marcatorii au fost îndepărtați pentru o imagine mai clară.) Analizați cu diferite amplitudini relative pentru tensiunea de modulație v 1 pentru a vedea ce efect are acest lucru asupra adâncimii modulației t. De exemplu, când v 1 are o amplitudine de 0,8, care este adâncimea de modulație și cum arată oscilația rezultată?

Orez. 7.17. Spectrul de frecvență al unei oscilații modulate în amplitudine

O prezentare generală a noilor comenzi PSpice utilizate în acest capitol

.PATRU <частота>*<выходные переменные>

De exemplu, intrarea

arată că se efectuează o expansiune Fourier. Descompunerea poate fi efectuată numai după obținerea dependenței de timp pentru starea de echilibru obținută în analiza tranzitoriului. O astfel de comandă trebuie să fie prezentă în fișierul de intrare:

TRAN <шаг><момент окончания>

Sarcini

Analiza armonicilor oferă componenta dc a fundamentalei și toate armonicile până la și inclusiv a noua. Amplitudinile și fazele lor sunt afișate cu valori reale și relative. În exemplul anterior, au fost analizate V(1) și V(2) și componentele acestora. De obicei, pentru efectuarea analizei armonice se folosește comanda .SONDĂ: cu toate acestea, comenzile pot fi folosite și în schimb .IMPRIMARE sau .PLOTĂ.

7.1. Pe fig. 7.18 polinomul pentru E are forma

f(X) = X + X².

Orez. 7.18

Folosind v i vârf=1 V, f=1 kHz și V= 1 Comparați v 0 s v i. Preziceți conținutul aproximativ de armonici al tensiunii de ieșire; apoi efectuați o analiză pe PSpice care va arăta conținutul armonic al tensiunilor de intrare și de ieșire. În comanda .FOUR, utilizați tensiunile V(2, 1) și V(3). Examinați fișierul de ieșire și determinați conținutul armonic al lui V(3).

7.2. În problema 7.1, utilizați Trace, Fourier pentru a obține conținutul armonic al lui V(3). Afișând V(2,1) și V(3), setați axa X limite de la 0 la 5 kHz.

7.3. Efectuați analiza pentru problema 7.1 cu

f(X) = 2 + 0,1X².

Preziceți conținutul aproximativ de armonici al tensiunii de ieșire; apoi trasați V(2,1) și V(3) pentru a verifica acuratețea predicțiilor dvs.

7.4. Pe fig. 7.4 arată o sursă polinomială E. S-a dat ca

f(X) = 1 + X + X².

Schimbați polinomul în

f(X) = X + X²,

și efectuează sinteza și descompunerea prin schimbare i 1 și i 2 astfel încât curentul I(r) să urmeze forma tensiunii V(2).

7.5. În secțiunea „Distorsiunea armonică a doua în amplificatoare” a acestui capitol, înlocuiți polinomul cu următorul:

f(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

și rulați analiza pe PSpice așa cum este sugerat în text. Obțineți un grafic de V(1) și (V)2-0,05 pentru a compara tensiunile variabile de intrare și ieșire. Preziceți valorile componentei DC a tensiunii de ieșire, amplitudinea și faza celei de-a doua armonice și distorsiunea armonică totală. Testați-vă predicțiile față de rezultatele Sondei și fișierul de ieșire.

7.6. În secțiunea Distorsiuni de intermodulație, am combinat două unde sinusoidale de frecvențe diferite. Efectuați analize la frecvențe f 1 =2 kHz și f 2 = 2,5 kHz, lăsând expresia pentru f(X) fără modificare. Modificați comanda .TRAN în funcție de sarcină. Urmați pașii în aceeași ordine ca în exemplul text pentru a testa predicțiile despre conținutul armonic al tensiunii de ieșire.

7.7. În secțiunea „Adăugarea armonicilor” din fig. 7.12 prezintă ramuri paralele cu trei surse de tensiune. Adăugarea de armonici a fost mai mult matematică decât fizică. Schimbați circuitul astfel încât toate sursele de tensiune să fie conectate în serie, apoi executați din nou analiza. Ai obtinut aceleasi rezultate?

7.8. Efectuați analiza pentru a adăuga următoarele tensiuni armonice cu o singură frecvență f=1 kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V și v 23 =1,5∠90° V.

în care:

a) Găsiți valoarea maximă ( v 1 +v 2), precum și timpul și unghiul de fază la care se atinge maximul.

b) Repetați pasul a) pentru ( v 1 +v 3).

Când utilizați modul cursor și mai multe grafice pe același ecran, utilizați [ ctrl] și săgețile ← și → pentru a selecta pe care dintre grafice trebuie să se deplaseze cursorul.

7.9. Pentru a ilustra efectul adăugării de armonici cu frecvențe apropiate, efectuați analiza ca în problema 7.8 pentru următorul set de parametri: v 1 =1∠0° V, f 1 = 1 kHz, v 1 =1∠0° V, f 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 =1∠0° V și f 3=1,4 kHz:

a) Obțineți diagramele v 1 , v 2 și ( v 1 +v 2). Găsiți valoarea maximă ( v 1 +v 2).

b) Obțineți diagrame v 1 , v 3 și ( v 1 +v 3). Găsiți valoarea maximă ( v 1 +v 3).

7.10. Rezolvați problema din secțiunea despre modularea amplitudinii prin setare v 1 = 1 V la 1 kHz și în schimbare v 1 astfel încât adâncimea de modulație să fie de 0,5. Rulați analiza pe PSpice pentru a vă afișa rezultatele.

După cum știți, în industria energiei electrice, o formă sinusoidală este adoptată ca formă standard pentru curenți și tensiuni. Cu toate acestea, în condiții reale, formele curbelor curenților și tensiunilor pot diferi într-o oarecare măsură de cele sinusoidale. Distorsiunile în formele curbelor acestor funcții în receptori duc la pierderi suplimentare de energie și la scăderea eficienței acestora. Forma sinusoidală a curbei tensiunii generatorului este unul dintre indicatorii calității energiei electrice ca marfă.

Sunt posibile următoarele motive pentru distorsiunea formei curbelor de curenți și tensiuni într-un circuit complex:

1) prezența în circuitul electric a unor elemente neliniare, ai căror parametri depind de valorile instantanee ale curentului și tensiunii, (de exemplu, redresoare, unități electrice de sudare etc.);

2) prezența în circuitul electric a unor elemente parametrice, ai căror parametri se modifică în timp;

3) sursa de energie electrică (generator trifazat), datorită caracteristicilor de proiectare, nu poate oferi o formă sinusoidală ideală a tensiunii de ieșire;

4) influența în complexul factorilor enumerați mai sus.

Circuitele neliniare și parametrice sunt discutate în capitole separate ale cursului TOE. Acest capitol investighează comportamentul circuitelor electrice liniare atunci când sunt expuse la surse de energie cu o formă de undă nesinusoidală.

Din cursul de matematică se știe că orice funcție periodică a timpului f(t) care satisface condițiile Dirichlet poate fi reprezentată printr-o serie Fourier armonică:

Aici А0 este o componentă constantă, Ak*sin(kωt+ αk) este a k-a componentă armonică sau a k-a armonică pe scurt. Prima armonică se numește fundamentală, iar toate armonicile ulterioare sunt numite cele mai înalte.

Amplitudinile armonicilor individuale Ak nu depind de metoda de extindere a funcției f(t) într-o serie Fourier, în același timp, fazele inițiale ale armonicilor individuale αk depind de alegerea referinței de timp (origine).

Armonicile individuale ale seriei Fourier pot fi reprezentate ca suma componentelor sinus și cosinus:

Apoi întreaga serie Fourier va lua forma:

Raporturile dintre coeficienții celor două forme ale seriei Fourier sunt:

Dacă armonica k-a și componentele sale sinus și cosinus sunt înlocuite cu numere complexe, atunci relația dintre coeficienții seriei Fourier poate fi reprezentată în formă complexă:

Dacă o funcție periodică nesinusoidală a timpului este dată (sau poate fi exprimată) analitic sub forma unei ecuații matematice, atunci coeficienții seriei Fourier sunt determinați prin formulele cunoscute de la cursul de matematică:

În practică, funcția nesinusoidală studiată f (t) este de obicei setată sub forma unei diagrame grafice (grafic) (Fig. 46.1) sau sub forma unui tabel de coordonate ale punctelor (tabular) în intervalul unu. perioada (Tabelul 1). Pentru a efectua o analiză armonică a unei astfel de funcții conform ecuațiilor de mai sus, aceasta trebuie mai întâi înlocuită cu o expresie matematică. Înlocuirea unei funcții dată grafic sau tabelar cu o ecuație matematică se numește aproximare a funcției.

În prezent, analiza armonică a funcţiilor nesinusoidale ale timpului f(t) se realizează, de regulă, pe calculator. În cel mai simplu caz, o aproximare liniară pe bucăți este utilizată pentru reprezentarea matematică a unei funcții. Pentru a face acest lucru, întreaga funcție în intervalul unei perioade complete este împărțită în M = 20-30 secțiuni, astfel încât secțiunile individuale să fie cât mai aproape posibil de liniile drepte (Fig. 1). În secțiuni separate, funcția este aproximată prin ecuația de linie dreaptă fm(t)=am+bm*t, unde coeficienții de aproximare (am, bm) sunt determinați pentru fiecare secțiune prin coordonatele punctelor sale finale, de exemplu, pentru prima secțiune obținem:

Perioada funcției T este împărțită într-un număr mare de trepte de integrare N, pasul de integrare Δt=h=T/N, timpul curent ti=hi, unde i este numărul ordinal al etapei de integrare. Anumite integrale din formulele de analiză armonică sunt înlocuite cu sumele corespunzătoare, ele sunt calculate pe computer folosind metoda trapezului sau dreptunghiului, de exemplu:

Pentru a determina amplitudinile armonicilor superioare cu suficientă precizie (δ≤1%), numărul de pași de integrare ar trebui să fie de cel puțin 100k, unde k este numărul armonicii.

În tehnologie, dispozitivele speciale numite analizoare de armonice sunt folosite pentru a izola armonicile individuale de tensiunile și curenții nesinusoidali.

Fourier și Hartley transformă funcțiile de transformare ale timpului în funcții de frecvență care conțin informații despre amplitudine și fază. Mai jos sunt grafice ale unei funcții continue g(t) și discret g(τ), unde t iar τ sunt momente de timp.

Ambele funcții încep de la zero, trec la o valoare pozitivă și decad exponențial. Prin definiție, transformata Fourier pentru o funcție continuă este o integrală pe întreaga axă reală, F(f), iar pentru o funcție discretă, suma peste un set finit de eșantioane, F(ν):

Unde f, ν sunt valori ale frecvenței, n este numărul de valori ale eșantionului funcției și i=√ –1 este unitatea imaginară. Reprezentarea integrală este mai potrivită pentru studii teoretice, iar reprezentarea sub formă de sumă finită este mai potrivită pentru calcule pe calculator. Transformările Hartley integrale și discrete sunt definite într-un mod similar:

Deși singura diferență de notație între definițiile Fourier și Hartley este prezența unui factor în fața sinusului, faptul că transformata Fourier are atât o parte reală, cât și una imaginară face ca reprezentările celor două transformări să fie destul de diferite. Transformările discrete Fourier și Hartley au în esență aceeași formă ca și omologii lor continui.

Deși diagramele arată diferit, aceleași informații despre amplitudine și fază pot fi derivate din transformările Fourier și Hartley, așa cum se arată mai jos.

Amplitudinea Fourier este determinată de rădăcina pătrată a sumei pătratelor părților reale și imaginare. Amplitudinea Hartley este dată de rădăcina pătrată a sumei pătratelor H(–v) și H(ν). Faza Fourier este determinată de arc-tangente a părții imaginare împărțit la partea reală, iar faza Hartley este determinată de suma 45° și arc-tangente de H(–ν) împărțit la H(ν).