Funcția complexă diferențială a două variabile. Material teoretic. Sarcini cu funcții indicative și logaritme

Dovada formulării funcției complexe derivate este dată. Cazurile sunt luate în considerare în detaliu unde funcția complexă depinde de una și două variabile. O generalizare se face în cazul unui număr arbitrar de variabile.

Conţinut

Vezi si: Exemple de aplicare a formulării funcției complexe derivate

Formule de bază

Aici aducem încheierea următoarelor formule pentru o funcție complexă derivată.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Daca atunci
.

Funcția complexă derivativă de la o variabilă

Lăsați funcția de la variabila x să poată fi reprezentată ca o funcție complexă după cum urmează:
,
Unde și există câteva funcții. Funcția este diferențiată la o anumită valoare a variabilei X. Funcția este diferențiată atunci când valoarea variabilă este evaluată.
Apoi funcția complexă (compozită) este diferențiată la punctul X și derivatul său este determinat prin formula:
(1) .

Formula (1) poate fi, de asemenea, scrisă după cum urmează:
;
.

Dovezi

Introducem următoarea notație.
;
.
Există o funcție de la variabile și, există o funcție de la variabile și. Dar vom scădea argumentele acestor funcții pentru a nu îmbogăți calculele.

Deoarece funcțiile și diferențiale la punctele X și, în consecință, în aceste puncte există instrumente derivate ale acestor funcții, care sunt următoarele limite:
;
.

Luați în considerare următoarea funcție:
.
Cu o valoare fixă \u200b\u200ba variabilei U, este o funcție de la. Este evident că
.
Atunci
.

Deoarece funcția este diferențiată de funcția la punct, este continuă în acest moment. prin urmare
.
Atunci
.

Acum găsim un derivat.

.

Formula este dovedită.

Corolar

Dacă funcția de la variabila x poate fi reprezentată ca o funcție complexă dintr-o funcție complexă
,
Apoi, derivatul său este determinat prin formula
.
Aici, și există câteva funcții diferențiate.

Pentru a dovedi această formulă, calculăm în mod consecvent derivatul în conformitate cu regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Luați în considerare o funcție complexă
.
Derivatul său
.
Luați în considerare funcția sursă
.
Derivatul său
.

Funcția complexă derivativă din două variabile

Acum, funcția complexă depinde de mai multe variabile. Primul ia în considerare cazul funcției complexe de la două variabile.

Lăsați funcția în funcție de variabila x să poată fi reprezentată ca o funcție complexă de la două variabile în formularul de mai jos:
,
Unde
și există funcții diferențiate cu o anumită valoare a variabilei X;
- Funcția de la două variabile, diferențiate la punct ,. Apoi funcția complexă este determinată în unele vecinătăți a punctului și are un derivat, care este determinat prin formula:
(2) .

Dovezi

Deoarece funcțiile și diferențiază la punct, ele sunt definite în unele împrejurimi ale acestui punct, sunt continue la punct și există derivatele lor la punct, care sunt următoarele limite:
;
.
Aici
;
.
În virtutea continuității acestor funcții la punctul în care avem:
;
.

Deoarece funcția este diferențiată la punct, este definită în unele vecinătate a acestui punct, continuu în acest moment și creșterea acestuia poate fi scrisă în forma următoare:
(3) .
Aici

- creșterea funcției în creșterea argumentelor sale prin magnitudine și;
;

- derivate private pentru variabile și.
La valori fixe și, și există funcții de la variabile și. Ei se străduiesc cu zero și:
;
.
De atunci
;
.

Funcția de protecție:

. :
.
Înlocuitor (3):



.

Formula este dovedită.

Funcția complexă derivativă din mai multe variabile

Ieșirea de mai sus este ușor de generalizată în cazul în care numărul variabilelor funcției complexe este mai mare de două.

De exemplu, dacă F este funcționează de la trei variabileT.
,
Unde
și există funcții diferențiate la o anumită valoare a variabilei X;
- funcția diferențială, de la trei variabile, la punct ,,,.
Apoi, de la determinarea diferențierii funcției, avem:
(4)
.
Deoarece, din cauza continuității,
; ; ,
acea
;
;
.

Împărțirea (4) pe și completarea limitei, obținem:
.

Și în cele din urmă, ia în considerare cel mai frecvent caz.
Lăsați funcția de la variabila X să poată fi reprezentată ca o funcție complexă de la variabilele N în forma următoare:
,
Unde
Există funcții diferențiate cu o anumită valoare a variabilei X;
- funcția diferențială de la variabilele n la punct
, , ... , .
Atunci
.

Vezi si:

Derivații privați sunt aplicați în sarcini cu funcții ale mai multor variabile. Regulile de localizare sunt exact aceleași ca și pentru funcțiile unei variabile, cu diferența numai în faptul că una dintre variabile ar trebui luată în considerare la momentul diferențierii prin constantă (constantă).

Formulă

Derivați privați pentru funcția a două variabile $ z (x, y) $ sunt scrise în formularul de $ Z "_X, Z" _Y $ și sunt situate în conformitate cu formulele:

Derivați privați ai primului ordin

$$ z "_x \u003d \\ frac (\\ parțial z) (\\ parțial x) $$

$$ Z "_Y \u003d \\ frac (\\ parțial z) (\\ parțial y) $$

Denivații privați de ordinul doi

$$ Z "" _ (xx) \u003d \\ frac (\\ parțial ^ 2 z) (\\ parțial x \\ parțial x) $$

$$ Z "" _ (YY) \u003d \\ frac (\\ parțial ^ 2 z) (\\ parțial y \\ parțial y) $$

Derivat mixt

$$ z "_ (xy) \u003d \\ frac (\\ parțial ^ 2 z) (\\ parțial x \\ parțial y) $$

$$ Z "" _ (YX) \u003d \\ frac (\\ parțial ^ 2 z) (\\ parțial y \\ parțial x) $$

Derivat parțial al funcției complexe

a) Lăsați $ z (t) \u003d f (x (t), y (t)) $, atunci derivatul funcției complexe este determinat prin formula:

$$ \\ frac (dz) \u003d \\ frac (\\ parțial z) \\ cdot \\ frac (dx) (dt) + \\ frac (\\ parțial z) \\ cdot \\ frac (Dy) (dt) $$

b) Lăsați $ Z (U, V) \u003d Z (x (u, v), y (u, v)) $, atunci derivații parțiali sunt în formula:

$$ \\ franc (\\ parțial u) \u003d \\ frac (\\ parțial x) \\ cdot \\ frac (\\ parțial x) (\\ parțial u) + \\ frac (\\ parțial z) ( \\ Parțial y) \\ cdot \\ frac (\\ parțial y) $$

$$ \\ frac (\\ parțial v) \u003d \\ frac (\\ parțial x) \\ cdot \\ frac (\\ parțial x) (\\ parțial v) + \\ frac (\\ parțial z) ( \\ Parțial y) \\ cdot \\ frac (\\ parțial y) $$

Derivații privați au specificat implicit funcția

a) Lăsați $ F (x, y (x)) \u003d 0 $, apoi $$ \\ frac (dy) (dx) \u003d - \\ frac (F "_X) (F" _Y) $$

b) Lăsați $ F (x, y, z) \u003d 0 $, apoi $$ z "_x \u003d - \\ frac (F" _x) (F "_z); z" _y \u003d - \\ frac (F "_Y) (F" _Y) F "_z) $$

Exemple de soluții

Exemplul 1.

Găsiți instrumente derivate private ale primului $ z (x, y) \u003d x ^ 2 - y ^ 2 + 4xy + $ 10

Decizie

Pentru a găsi un derivat privat de $ x $, vom considera valoarea constantă $ y $ (număr): $$ Z "_X \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ x \u003d 2x - 0 + 4Y + 0 \u003d 2x + 4Y $$ Pentru a găsi o funcție derivată privată pe $ y $, definim $ y $ constantă: $$ Z "_Y \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ y \u003d -2Y + 4x $$ Dacă este imposibil să vă rezolvați sarcina, apoi să ne trimiteți-o. Vom oferi o decizie detaliată. Vă puteți familiariza cu cursul de calcul și învățați informații. Acest lucru vă va ajuta în timp util la profesor!

Răspuns

$$ Z "_X \u003d 2x + 4Y; Z" _Y \u003d -2Y + 4X $$

Exemplul 2.

Găsiți derivați privați de ordinul al doilea $ Z \u003d E ^ (xy) $

Decizie

La început, trebuie să găsiți primii derivați, iar apoi știind că acestea se găsesc un derivați de ordinul doi. Presupunem $ y $ constantă: $$ z "_x \u003d (e ^ (xy))" _ x \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ x \u003d ye ^ (xy) $$ Acum punem o valoare constantă de $ x $: $$ Z "_Y \u003d (E ^ (xy))" _ y \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d xe ^ (xy) $$ Cunoașterea primelor instrumente derivate sunt similare cu cele care sunt al doilea. Instalați $ y $ constantă: $$ Z "" _ (xx) \u003d (z "_x)" _ x \u003d (Ye ^ (xy)) "_ x \u003d (y)" _ x e ^ (xy) + y (e ^ (xy)) "_ x \u003d 0 + Ye ^ (xy) \\ cdot (xy)" _ x \u003d y ^ 2e ^ (xy) $$ Punem o constantă de $ x $: $$ Z "" _ (YY) \u003d (z "_y)" _ y \u003d (xe ^ (xy)) "_ y \u003d (x)" _ Ye ^ (xy) + x (e ^ (xy)) " _ y \u003d 0 + x ^ 2e ^ (xy) \u003d x ^ 2e ^ (xy) $$ Acum rămâne să găsești un derivat mixt. Este posibilă indiferent de $ z "_x $ pentru $ y $, și este posibil $ z" _y $ la $ x $, deoarece în conformitate cu $ z "" "_ (xy) \u003d z" _ (yx) $. $$ Z "" _ (xy) \u003d (z "_x)" _ y \u003d (ye ^ (xy)) "_ y \u003d (y)" _ Ye ^ (xy) + y (e ^ (xy)) " _ Y \u003d Ye ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d yxe ^ (xy) $$

Răspuns

$$ z "_x \u003d ye ^ (xy); z" _y \u003d xe ^ (xy); z "" _ (xy) \u003d yxe ^ (xy) $$

Exemplul 4.

Lăsați $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ Setează funcția implicită $ F (x, y, z) \u003d 0 $. Găsiți derivați privați de primă comandă.

Decizie

Noi scriem funcția în format: $ f (x, y, z) \u003d 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3Yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ și găsiți derivați: $$ Z "_X (Y, Z - Const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ x \u003d 3 x ^ 2 z - 4 $$ $$ Z "_Y (x, y - const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ y \u003d 3z ^ 2 $$

Răspuns

$$ z "_x \u003d 3x ^ 2 z - 4; z" _y \u003d 3z ^ 2; $.

Să presupunem că funcția Z - / (X, Y) este definită în unele regiuni D pe planul XOW. Luați punctul interior (X, Y) din regiunea D și dați x increment ah astfel încât punctul (x + AH, Y) 6 D (figura 9). Mărimea se numește o creștere privată a funcției Z de-a lungul X. Vom forma o relație pentru acest punct (x, y) Acest raport este o funcție de definiție. Dacă la raportul AH - * 0 are o limită finită, atunci această limită este numită un derivat privat al funcției z \u003d / (x, y) pe o variabilă independentă x la punctul (x, y) și este indicat de către Simbolul JFC (sau / i (x, jj) sau z "x (x, prin aceasta, prin definiție sau, care este cel mai asemănător cu acesta, dacă este o funcție a variabilelor independente, apoi menționați că arz se calculează Cu valoarea constantă a variabilei Y, A ATZ - cu valoarea constantă a variabilei X, definițiile derivatelor private pot fi formulate după cum urmează: derivați privați ai semnificației geometrice a derivaților parțiali ai funcțiilor a două variabile diferențiabilitatea a funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției condiții suficiente pentru funcții diferențiate ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferențiale private derivate de funcționare complexă a derivatului parțial prin X \u003d / (x,) se numește obișnuit derivatul acestei funcții prin x, calculat sub presupunerea că Y este constanta; derivatul privat al funcției Z - / (x , Y) se numește derivatul său în conformitate cu Y, calculat sub presupunerea că X este constantă. Rezultă că regulile de calculare a derivaților privați coincid cu regulile dovedite pentru funcția unei variabile. Exemplu. Găsiți instrumente derivate private 4 Avem înlocuiri *. Din existența funcției r \u003d / (x, y) în acest punct de derivați privați pe toate argumentele nu va șterge continuitatea funcției în acest moment. Astfel, funcția nu este continuă la punctul 0 (0,0). Cu toate acestea, în acest moment, funcția specificată are derivați privați de-a lungul X și de Y. Acest lucru rezultă din faptul că / (x, 0) \u003d 0 și / (0, y) \u003d 0 și, prin urmare, semnificația geometrică a derivaților particulari ai a două variabile lăsate în spațiul tridimensional S suprafesul s s este setat Prin ecuația în care F (x, y) este o funcție, continuă într-o anumită zonă D și având derivați privați acolo de-a lungul X și de Y. Aflăm înțelesul geometric al acestor derivați în punctul de MO (Ho, UO) 6 D, care pe suprafața Z \u003d F (x) y) corespunde punctului F (x0) yo)). Când se găsește derivatul parțial al M0, presupunem că Z este doar funcția argumentului X, în timp ce argumentul Y păstrează valoarea constantă a y \u003d uh, adică funcția Fi (x) este ilometrică descrisă de curba l de-a lungul căruia suprafața se intersectează planul y \u003d u o În virtutea semnificației geometrice a derivatului funcției unei variabile F \\ (xo) \u003d Tg A, în care A este un unghi format de tangentul L la punctul JV0 cu axa Oh (figura 10). Dar, în așa fel, un derivat privat ($ |) este egal cu apoitannesulag și între axa OH și tangentă la punctul N0 până la curba obținută în secțiunea suprafeței Z \u003d / (X, Y) a planului În același mod, obținem că §6. Difuzarea funcției mai multor variabile. Lăsați funcția z \u003d / (x, y) să fie definite în unele regiuni D pe planul XOW. Luați punctul (x, y) € D și valorile selectate ale lui X și oferim orice trepte de ah și du, dar astfel încât punctul. Definiție. Funcția r \u003d / (x, y) se numește un punct diferențial * (w, y) 2 € 2e, dacă creșterea completă a acestei funcții, corespunzătoare creșterii DH, respectiv argumentelor, poate fi reprezentată în forma în care l și B nu depind de DH și D (dar, în general, depind de X și Y), iar A (DH, DU) și /? (DH, DU) tind la zero când rugăciunea pentru zero DH și face. . Dacă funcția z \u003d / (x, y) este diferențiată la punctul (x, y), atunci partea A DH 4- În creșterea unei funcții, liniară față de DC și DF, se numește diferențială completă a acestei funcții La punctul (x, y) și este indicat de simbolul DZ: în acest fel, un exemplu. Lăsați r \u003d x2 + u2. În fiecare punct (G, Y) și pentru orice DC și avem aici. Tech că a și / 3 au tendința de zero cu dorința de zero dh și face. Conform definiției, această caracteristică Diferențiat în orice punct al planului XOW. În același timp, observăm că, în argumentele noastre, cazul nu a fost exclus în mod oficial atunci când creșterea DX, du porno sau chiar ambele sunt imediat egale cu zero. Formula (1) poate fi scrisă mai compactă dacă introduceți expresia (distanța dintre punctele (folosind acestea, putem scrie desemnarea expresiei care stă în cochilii, prin e, vom avea unde depinde de J, DU și tinde să zero dacă J 0 și DU 0, sau mai scurte, dacă P 0. Formula (1), exprimând starea de diferențiere a funcției z \u003d F (xt y) la punctul (f, y), poate fi acum scrisă Forma exemplului 6.1. Condiții preliminare Teorema funcției 2. Dacă funcția r \u003d / (w, y) este diferențiată la un moment dat, atunci este continuu în acest moment. 4 Dacă la un punct (F, Y) Luzya r \u003d / (f, y) se diferențiază, apoi plină creșterea funcției pe care o am în acest punct "" E, care îndeplinește incrementele argumentelor J și suflare, pot fi furnizate în formă (valori ale L, în pentru acest punct sunt constante; de \u200b\u200bunde rezultă că acesta din urmă înseamnă că, la punctul (f, y), g / (bine, y) este continuu. Teorema! B. Dacă funcția r \u003d / (F, Y) Este diferențiată în acest moment, MO Eyets în acest punct de derivați privați $ § și. Lăsați funcția z \u003d / (x, y) să diferențieze punctul (x, y). Este cazul unui dg stimulent al acestei funcții care îndeplinește creșterile DX, Au de argumente pot fi reprezentate ca (1). Luând în egalitatea (1) DH F 0, Do \u003d 0, ajungem de unde ca în partea dreaptă a ultimei valori ale egalității și nu depind de aceasta înseamnă că, la punctul (X, Y), există un derivat privat de Funcția r \u003d / (x, y) cu x, cu argumente similare convinse (x, există un derivat privat al funcției Zo și din teorema rezultă că subliniem că teorema 5 aprobă existența derivate private numai la Punctul (X, Y), dar nimic nu vorbește despre continuitatea lor în acest moment, precum și despre comportamentul lor în vecinătatea punctului (x, y). 6.2. Condiții suficiente Funcțiile diferențiate ale mai multor variabile ca tine știți, o condiție necesară și suficientă pentru diferențierea funcției y \u003d / (x) a unei variabile la punctul HO este un derivat finit finit / "(x) la punctul X0. În cazul în care funcția depinde de mai multe variabile , este mult mai complicat: condițiile necesare și suficiente de diferențiere nu sunt deja pentru funcții z \u003d / (x, y) de două variabile independente x, y; există L. Sunteți necesar individual (consultați Mai sus) și separat - suficient. Aceste condiții suficiente de diferențiere a funcțiilor mai multor variabile sunt exprimate prin următoarea teoremă. Teorema în. Dacă funcția are derivați privați / £ și F "V într-o browning de subțire (Ho, UH) și dacă aceste derivate sunt continue la punctul (Ho, UH), atunci funcția z \u003d f (x, y) este DIFICEIABILĂ LA PUNCT (exemplu. Luați în considerare funcția semnificației geometrice derivate private a derivaților parțiali ai celor două variabile diferențialitatea funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției suficiente condiții diferite ale mai multor variabile diferențiale complete ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferența diferențială Derivații diferențială este definit în întregime. Pe baza definiției derivatelor private, avem pentru Nosaselm * Diferențial ™ Această funcție la punctul 0 (0,0) va găsi și crește această ascuțire pentru diferențierea activului funcției / ( x, y) \u003d ascuțirea 0 (0,0), este necesar ca funcția E (DH, DU) să fie următoarea 6vsconeo 0 și du 0. Puneți D0. Apoi, de la formula (1) vom avea prin urmare Funcții / (x, y) \u003d nu este diferențiată la punctul 0 (0,0), deși are în acest moment producem FA și F "R primit Rezultatul este explicat prin faptul că derivații f "z și f" t punct de spargere §7. Diferențial complet. Diferența privată Dacă funcția R - F (Z\u003e Y) este diferențiată, atunci DZ diferențial scăzut este egal cu faptul că a observat că a \u003d b \u003d uch, scrieți formula (1) în formularul de mai jos pentru a răspândi conceptul de funcție diferențială La variabilele independente, punerea diferențialului variabilelor independente egale cu incrementele lor: după aceasta, formula funcției diferențiale complete a exemplului funcției SPEP. Să fiu 1L (x + U2). Apoi, în același mod, dacă U \u003d) este o funcție diferențiabilă N de variabile independente, expresia se numește o funcție diferențială slabă z \u003d f (x, y) în variabila x; Expresia se numește funcția diferențială privată Z \u003d / (W, Y) alternând. Din formulele (3), (4) și (5) rezultă că funcția diferențială completă este suma diferențelor sale private: observăm că creșterea completă a funcțiilor AZ Z \u003d / (W, Y), în general, este nu egală cu cantitatea de creșteri private. Dacă la punctul (i, y) al funcționării \u003d / (z, y) DZ diferențiat și diferențial DZ despre în acest moment, atunci creșterea sa completă diferă de partea sa liniară numai în cantitatea de ultimii termeni ai AAH 4 - /? Du, care, atunci când este deja 0 și ay - "o sunt infinit mici mai mari decât o comandă de înaltă calitate decât partea sensibilă la caracter. Prin urmare, cu DZ F 0, partea liniară a creșterii funcției diferențiate se numește partea principală a creșterii funcției și a utiliza formula aproximativă care va fi cu atât mai exactă decât cea mai mică în valoarea absolută va fi creșterea argumentelor. §opt. Derivați ai funcției complexe 1. Lăsați funcția să definească într-o anumită regiune D pe planul XOW, fiecare dintre variabile și, la rândul său, este funcția argumentului T: presupunem că atunci când T este schimbat în interval (punctele corespunzătoare (punctele corespunzătoare f, y) nu iesi dincolo de domeniul D. Dacă înlocuiți valorile la funcția z \u003d / (F, Y), obținem funcția complexă a unei variabile t. și cu valorile corespunzătoare ale Funcția / (x, y) diferențiată, apoi funcția complexă, la punctul T are un derivat și m am datim incrementarea la dt. Apoi x și y vor primi unele trepte de ah și du. Ca rezultat al acestui fapt, (J) 2 + (db) 2 F 0 Funcția Z va primi, de asemenea, o creștere a DG, care în virtutea diferendicității funcției z \u003d / (, y) la punctul (x, y) poate fi reprezentată În forma în care a) tind la zero când sarry la zero ah și du. Livrat A și / 3 la Ah \u003d Agu \u003d 0, punerea și apoi a (va fi continuu când J \u003d 0 \u003d 0. Luați în considerare relația pe care o avem în fiecare termen ^ în partea dreaptă (2) Ambii factori au limite cu valabilitate, Derivați privați și ^ Pentru aceasta, ele sunt constante, în condiții, există limite din existența derivatelor și la punctul £ urmează continuitatea în acest punct de funcții x \u003d y (t) și y \u003d prin urmare, la 0 , ei se străduiesc pentru zero și j și fac, la rândul lor, implică o luptă pentru zero a (DH, DU) și P (AH, AY). Astfel, partea dreaptă a egalității (2) la 0 are o limită care înseamnă asta Există la 0 și limita părții din stânga (2), adică există o trecere egală în egalitatea (2) la limita la - "0, obținem formula necesară în cazul particular, când, prin urmare, , Z este o funcție complexă de la bine, ajungem în formula (5) există un derivat privat FunADIG \u003d / (F, Y), cu prezentarea căreia în expresia / (f, y) argumentul y este luate pentru permanent. Dar există un derivat complet al funcției z O variabilă independentă în, atunci când se calculează care este în expresie / (g, y) nu mai este luată pentru constanță și este considerată a fi o funcție de la W: Y \u003d TP (x) t și, prin urmare, este luată dependența Z în considerare complet. Exemplu. Găsiți și JG dacă 2. Luați în considerare diferențierea funcției complexe a mai multor variabile. Să presupunem că, la rândul său, astfel încât să presupunem că la punctul (() există derivați privați continuu, 3? "Și la punctul corespunzător (F, Y), unde funcția / (F, Y) este diferențiată. Arătăm asta În aceste condiții. Complexul Funshiya z \u003d Z (() y) la punctul T7) are derivați și u și găsiți expresii pentru acești derivați. Rețineți că acest caz de la deja studiat nu este semnificativ diferit. Într-adevăr, cu diferențierea lui Z, a doua, variabila independentă RJ este luată pentru constanță, ca urmare a căreia devine funcții ale unei variabile w "\u003d c), y \u003d c) și problema derivatului c este Rezolvată în același mod ca și problema derivatului în derivatul cu formula (3). Folosind formula (3) și înlocuind oficial derivații din acesta § și, în consecință, obținem un exemplu de identificare a unui exemplu. Găsiți derivatele private ^ și ^ Funcțiile R \u003d Z2 Y - Hustli X - Y \u003d Dacă funcția complexă "este definită prin formule, astfel încât atunci când efectuați condițiile corespunzătoare, avem într-un anumit caz atunci când și \u003d în cazul în care semnificația geometrică a derivatelor private a derivatelor parțiale ale a două variabile, diferențierea funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției Condiții suficiente Funcții diferențiate ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferențiale private Derivate de funcții complexe Avem o funcție completă. Funcția derivativă complexă și pe o variabilă independentă X, luând în considerare dependența deplină și de la x, inxcine și v \u003d z (x, y), a ^-in-the-fulledged.

Fie Z \u003d ƒ (x; y) este funcția a două variabile x și y, fiecare dintre acestea fiind funcția unei variabile independente T: x \u003d x (t), y \u003d y (t). În acest caz, funcția z \u003d f (x (t); y (t)) este o funcție complexă a unei variabile independente T; Variabile x și y - variabile intermediare.

Teorema 44.4. Dacă z \u003d ƒ (x; y) este diferențiată la funcția M (x; Y) є D și x \u003d x (t) și y \u003d y (t) - funcții diferențiate ale unei variabile independente T, derivatul Funcția complexă Z (t) \u003d f (x (t); y (t)) este calculată prin formula

Dăm o variabilă independentă T increment Δt. Apoi funcțiile x \u003d x (t) și y \u003d y (t) vor primi incrementarea Δх și ΔU, respectiv. Ele, la rândul lor, vor provoca creșterea funcției AZ Z.

Deoarece, după condiție, funcția z - ƒ (x; y) este diferențiată la punctul m (x; y), atunci creșterea sa completă poate fi reprezentată ca

În cazul în care un → 0, β → 0 la Δх → 0, ΔU → 0 (a se vedea clauza 44.3). Am împărțit expresia Δz pe Δt și deplasați la limita la ΔT → 0. Apoi Δх → 0 și ΔU → 0 în virtutea continuității funcțiilor x \u003d x (t) și y \u003d y (t) (cu starea teoremei, acestea sunt diferențiate). Primim:

Cutie privată: z \u003d ƒ (x; y), unde y \u003d y (x), adică z \u003d ƒ (x; y (x) este o funcție complexă a unei variabile independente x. Acest caz este redus la cel precedent, iar rolul variabilei T joacă x. Conform formulei (44.8), avem:

Formula (44.9) se numește formula derivată completă.

Cauza generală: z \u003d ƒ (x; y), unde x \u003d x (u; v), y \u003d y (u; v). Apoi z \u003d f (x (u; v); y (u; v)) - funcția complexă a variabilelor independente U și V. Derivații săi privați pot fi găsiți utilizând formula (44,8) după cum urmează. Fixarea V, înlocuiți-o în ea derivații privați corespunzători

În mod similar, obținem:

Astfel, derivatul funcției complexe (Z) pentru fiecare variabilă independentă (U și V) este egală cu cantitatea de lucrări de derivați particulari ai acestei funcții (Z) prin variabilele intermediare (x și y) pe derivații lor în funcție de Variabila independentă corespunzătoare (U și V).

Exemplul 44.5. Găsiți dacă z \u003d ln (x 2 + în 2), x \u003d u v, y \u003d u / v.

Soluție: Găsiți Dz / du (DZ / DV - independent) utilizând formula (44.10):

Simplificăm partea dreaptă a egalității obținute:

40. Derivații privați și funcția diferențială completă a mai multor variabile.

Să fie administrat funcția z \u003d ƒ (x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, atunci unul dintre ei se poate schimba, iar celălalt să-și salveze valoarea. Oferim o creștere a variabilei independente x Δх, păstrând valoarea în neschimbată. Apoi Z va primi o creștere, ceea ce se numește incrementarea privată a lui Z de-a lungul și este notată cu δ x z. Asa de,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δh; y) -ƒ (x; y).

În mod similar, obținem o creștere privată la z de:

Δ în z \u003d ƒ (x; y + ΔU) -ƒ (x; y).

Funcția de Δz de creștere completă Z este determinată de egalitate

Δz \u003d ƒ (x + ΔH; y + ΔU) - ƒ (x; y).

Dacă există o limită

se numește derivatul privat al funcției z \u003d ƒ (x; y) la punctul m (x; y) în variabila x și este indicat de unul dintre caractere:

Derivații privați în X la punctul M 0 (x 0; Y 0) sunt, de obicei, denotați prin simboluri

Derivatul individual de la Z \u003d ƒ (x; y) pe variabila Y este același și denotă.

Astfel, derivatul special al funcției mai multor (două, trei și mai multe) variabile este definit ca un derivat al uneia dintre aceste variabile, cu condiția ca valorile variabilelor independente rămase să fie constante. Prin urmare, derivații privați de funcții ƒ (x; y) se găsesc în conformitate cu formulele și regulile de calculare a derivaților funcțiilor unei variabile (în același timp, respectiv, X sau Y este considerată o valoare permanentă).

Exemplul 44.1. Găsiți derivați privați Z \u003d 2U + E X2-Y +1. Decizie:

Semnificația geometrică a derivaților privați a două variabile

Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y) este o suprafață (vezi clauza 12.1). Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu avionul y \u003d y despre. Pe baza semnificației geometrice a derivatului pentru funcția unei variabile (a se vedea clauza 20.2), concluzionăm că ƒ "x (xo; yo) \u003d Tg A, în care A este un unghi între axa lui OH și tangenta, transportată la curba Z \u003d ƒ (x; y 0) în punctul de mo (Ho, uo; ƒ (Ho, UH)) (vezi fig.208).

În mod similar, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Funcția z \u003d F (x, y) se numește diferențiată la punctul P (x, y) dacă creșterea totală Δz poate fi reprezentată ca Δz \u003d a ∙ Δx + b ∙ Δy + ω (Δx, Δy), unde Δx și ΔY - orice incremente ale argumentelor corespunzătoare x și y în unele vecini ale punctului P, A și B - Constant (independent de Δx, Δy),

Ω (Δx, Δy) este infinit de mic mai mare decât distanța:

Dacă funcția este diferențiată la punct, atunci creșterea completă a acestuia în acest moment constă din două părți:

1. Partea principală a creșterii funcției A ∙ Δx + B ∙ Δy este liniară relativă la Δx, Δy

2. și neliniar ω (Δx, Δy) este o ordine infinit de mică mai mare decât partea principală a creșterii.

Partea principală a funcției de creștere este liniară față de Δx, ΔY se numește diferențială completă a acestei funcții și este indicată: Δz \u003d a ∙ Δx + b ∙ Δy, Δx \u003d dx și Δy \u003d d sau funcția diferențială completă a două variabile:

Afișaj diferențial. Diferențial și derivat al funcției numerice a unei variabile. Derivate de masă. Diferențialitate. ) - funcția argumentului, care este infinit de mic la → 0, adică.

Acum aflăm relația dintre diferențiere la punctul și existența derivatului în același punct.

Teorema. Pentru a funcționa f.(x.) a fost diferențiată în acest moment h. , este necesar și suficient pentru ca aceasta să aibă un derivat finit în acest moment.

Derivate de masă.