A jelspektrum megszerzésének (számításának) feladata sok esetben a következő. Létezik egy ADC, amely Fd mintavételi frekvenciával a T idő alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet digitális leolvasásokká alakítja át - N darab. Ezután a leolvasások tömbje bekerül egy bizonyos programba, amely N/2-t ad ki néhány számértékből (a programozó, aki internetről húzvaírt egy programot, azt állítja, hogy az elvégzi a Fourier-transzformációt).

Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, összeállítunk egy leolvasási tömböt két sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegeként, és becsúsztatjuk a program. A program a következőket rajzolta:

1. ábra A jel időfüggvényének grafikonja

2. ábra A jelspektrum grafikonja

A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V és 10 Hz amplitúdójú - 1 V amplitúdójú, mindezt úgy, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetére, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.

Összesen, a miénk igazi mért jel, időtartam 5 mp, az ADC digitalizálta, azaz képviseli diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus spektrum.

Matematikai szempontból hány hiba van ebben a kifejezésben?

Most a hatóságok úgy döntöttek, úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük meg a jelet 0,5 másodpercben.



3. ábra: sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra

4. ábra Funkcióspektrum

Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több érthetetlen harmonikus is megjelent. Az interneten nézzük, mit és hogyan...

Azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum normális lesz.

5. ábra Kész nullák 5 másodpercig

6. ábra Megkaptuk a spektrumot

Még mindig nem az, ami 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkozni. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.

2. Folyamatos függvény és ábrázolása Fourier-sorral

Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk egy bizonyos f(x) függvény, amely a (0, T) intervallumon adott (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

K - trigonometrikus függvény száma (harmonikus komponens száma, harmonikus szám)
T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama)
Ak - a k-edik harmonikus komponens amplitúdója,
?k - a k-adik harmonikus komponens kezdeti fázisa

Mit jelent "egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni"? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus komponenseinek értékeit minden ponton összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ezen a ponton.

(Szigorúbban elmondható, hogy a sorozat szórása az f(x) függvénytől nulla lesz, de a standard konvergencia ellenére a függvény Fourier-sorának általában nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá. Lásd https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Ezt a sorozatot így is írhatjuk:

(2),
ahol , k-edik komplex amplitúdó.

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:

Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb az imaginárius argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De kényelmes az (1) képlet használata, ahol a Fourier-sort koszinuszhullámok összegeként ábrázoljuk a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy a valós jel Fourier-transzformációjának eredménye a harmonikusok komplex amplitúdója lesz. Ahogy a wiki helyesen mondja: "A Fourier-transzformáció (?) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét képezi le egy másik, szintén valós változó függvényére."

Teljes:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a (0, T) szakaszon definiált folytonos f(x) (jel) függvényt bizonyos amplitúdójú trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz) végtelen számú (végtelen sorozatának) összegeként ábrázoljunk. és fázisok, a (0, T) szakaszon is figyelembe véve. Az ilyen sorozatokat Fourier-sorozatnak nevezik.

Megjegyezzük még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.

Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a szegmensen van definiálva (-T \ 2, + T \ 2), és a Fourier-sor a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.

Ennek az az oka, hogy maguk a szinuszosok periodikus függvények, és összegük periodikus függvény lesz.

7. ábra Egy nem periodikus eredeti függvény ábrázolása Fourier-sorral

Ilyen módon:

Eredeti függvényünk folytonos, nem periodikus, valamilyen T hosszúságú intervallumon definiálva.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus komponensek végtelen sorozataként - a Fourier-sorként - jelenik meg.
Valójában egy bizonyos periodikus függvényt a Fourier-sor határoz meg, ami a (0, T) szakaszon egybeesik a miénkkel, de ez a periodicitás számunkra nem lényeges.

A harmonikus komponensek periódusai annak a (0, T) szakasznak a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szóval, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).

8. ábra A Fourier-sor harmonikus összetevőinek periódusai (frekvenciái) (itt T = 2?)

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól?-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).

Legyen eredeti függvényünk egy T=1 mp-ig rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa megegyezik a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 mp időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 1 Hz frekvenciafelbontással.
A felbontás 2-szeres 0,5 Hz-re növeléséhez a mérés időtartamát kétszeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. Egy 10 másodperces jelet harmonikus komponensekre lehet bontani (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más mód a frekvenciafelbontás növelésére.

Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció

A digitális technika fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban a jelet magnóra lehetett rögzíteni és szalagon analóg formában tárolni, akkor most a jelek digitalizálásra kerülnek és a számítógép memóriájában lévő fájlokban, számok (számlálások) halmazaként tárolódnak.

A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.

9. ábra A mérőcsatorna vázlata

A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (minta) átvitelre kerülnek a számítógépbe és a memóriában tárolódnak.

10. ábra Digitalizált jel - N leolvasás érkezett T időben

Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC, angol Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki) nevezzük.

Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - a mintavételezés során időben folyamatos jelből történő mintavétel gyakorisága. Hertzben mérve. ((Wiki))

A Kotelnyikov-tétel szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyedileg visszaállítható, pl. Fd frekvenciával? 2*Fmax, ahol Fd - mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szóval, a jel mintavételezési frekvenciájának (ADC mintavételezési gyakoriságának) legalább kétszerese a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával mérünk?

Ilyenkor az "aliasing" (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus) hatása lép fel, mely során a digitalizálás után a nagyfrekvenciás jelből egy valójában nem létező alacsony frekvenciájú jel alakul át. ábrán 5 magas frekvenciájú vörös szinuszhullám az igazi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy áljel, amely abból adódik, hogy egy nagyfrekvenciás jel több mint fél periódusának van ideje áthaladni a mintavételi idő alatt.

Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése, ha a mintavételezési frekvencia nem elég magas

Az aliasing hatásának elkerülése érdekében az ADC - LPF (low-pass filter) elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el, amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.

Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Még egyszer megjegyezzük, hogy a diszkrét jel spektrumát "definíció szerint" az Fmax frekvencia korlátozza, amely kevesebb, mint az Fd mintavételi frekvencia fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges sok harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. A Kotelnyikov-tétel szerint a maximális harmonikus frekvenciának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát vegyen figyelembe, tehát a harmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).

Összehasonlítás a Fourier sorozattal

Látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét, és a harmonikusok száma N/2-re korlátozódik - a minták számának felére.

A DFT képleteket k, s dimenzió nélküli egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s értéke a harmonikus teljes rezgésének számát mutatja a T periódusban (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus megkeresésére használjuk, pl. "a számítógépen"

Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periódusos függvényt (a jelünket) Fourier-sorrá bővítjük, az így kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

12. ábra f(x) periódusos függvény Т0 periódussal, Т>T0 mérési periódussal

Ahogy a 12. ábrán látható, az f(x) függvény periodikus Т0 periódussal. Mivel azonban a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvénynek a T pontban megszakadása van. Ennek eredményeként ennek a függvénynek a spektruma meg fog jelenni nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikust tartalmaznak. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrumban csak az első harmonikus (a minta időtartamával megegyező periódusú szinusz) lenne jelen, mivel az f függvény (x) egy szinuszos.

Vagyis a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám darabja", hanem egy periodikus függvényt próbál sorozatként ábrázolni, amiben az egyes darabok inkonzisztenciája miatt rés van. a szinuszhullám.

Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyek összességében a függvény formáját kell, hogy képviseljék, beleértve ezt a diszkontinuitást is.

Így a jel "helyes" spektrumának megszerzéséhez, amely több, különböző periódusú szinusz összege, szükséges, hogy minden szinuszos periódusok egész számú periódusa illeszkedjen a jel mérési periódusára. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.

13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibája jelének funkciójára és spektrumára

Rövidebb időtartammal a kép "rosszabbul" fog kinézni:

14. ábra Példa a forgórész vibrációs jelének funkciójára és spektrumára

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek” és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek periódusainak nem sokfélesége és a jelminta időtartama vagy a jelminta „ugrásai és megszakításai” okoznak. a hullámforma. Természetesen a "valódi komponensek" és a "termékek" szavak nem hiába vannak idézőjelben. A sok felharmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám a 3-as és 4-es számok összegeként is ábrázolható – ez így van.

Ilyen a mi jelünk is... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk megismétlésével összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszoidok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban lehetséges a spektrumban kapott harmonikusokat olyan valós folyamatokhoz kapcsolni, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.

Néhány eredmény

1. Az ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért, T sec időtartamú jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/2 darab). ).

2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák segítségével ábrázolni, még nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig így kell csinálni”.

3. A T időintervallumban mért jelet csak a T időintervallum határozza meg. Mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután - ezt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben - ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je megadja "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.

Használt anyagok és egyéb hasznos anyagok.

A Fourier-transzformáció a legszélesebb körben használt módszer az idő tetszőleges függvényének frekvenciakomponenseinek halmazává történő átalakítására a komplex számsíkon. Ez a transzformáció alkalmazható aperiodikus függvényekre spektrumaik meghatározására, ebben az esetben a komplex operátor s helyettesíthető /co-val:

A legérdekesebb frekvenciák meghatározásához a komplex síkon való numerikus integráció használható.

Ezen integrálok viselkedésének alapjainak megismeréséhez számos példát veszünk figyelembe. ábrán 14.6 (balra) mutatja az egységnyi területimpulzust az időtartományban és annak spektrális összetételét; középen - azonos területű, de nagyobb amplitúdójú impulzus, jobb oldalon pedig az impulzus amplitúdója végtelen, de területe még mindig egyenlő az egységgel. A jobb oldali kép különösen érdekes, mert a nulla szélességű impulzusspektrum minden frekvenciát azonos amplitúdóval tartalmaz.

Rizs. 14.6. Azonos szélességű impulzusok spektrumai, ugyanazon piaosrdi mentén

1822-ben a francia matematikus, J. B. J. Fourier (J. B. J. Fourier) a hővezető képességgel foglalkozó munkájában megmutatta, hogy bármely periodikus függvény felbontható kezdeti komponensekre, beleértve az ismétlési frekvenciát és ennek a frekvenciának a harmonikusait, és mindegyik harmonikusnak megvan a maga amplitúdója és fázisa. az ismétlési arányhoz. A Fourier-transzformációban használt alapképletek a következők:

ahol A() az egyenáramú komponens, A p és B p pedig a rend alapfrekvenciájának harmonikusai, illetve azzal fázisban, illetve ellenfázisban. Az f(*) függvény tehát ezeknek a harmonikusoknak és Lo-

Azokban az esetekben, amikor f(x) szimmetrikus mc/2-hez képest, azaz pl. f(x) az n-től 2n-ig terjedő tartományon = -f(x) a 0-tól n-ig terjedő tartományon, és nincs egyenáramú komponens, a Fourier-transzformációs képleteket leegyszerűsítjük:

ahol n = 1, 3,5, 7…

Minden harmonikus szinuszos, csak egy részük van fázisban, néhány pedig nincs fázisban az alapfrekvenciától. A teljesítményelektronikában előforduló legtöbb hullámforma ilyen módon harmonikusokra bontható.

Ha a Fourier-transzformációt 120°-os téglalap alakú impulzusokra alkalmazzuk, akkor a harmonikusok k = bi ± 1 rendű halmazok lesznek, ahol n az egyik egész szám. Minden h harmonikus amplitúdója az elsőhöz viszonyítva a számához a h = l//e összefüggés alapján kapcsolódik. Ebben az esetben az első harmonikus amplitúdója 1,1-szer nagyobb lesz, mint egy négyszögletes jel amplitúdója.

A Fourier-transzformáció megadja az egyes harmonikusok amplitúdójának értékét, de mivel mindegyik szinuszos, az effektív értéket egyszerűen úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő amplitúdót elosztjuk 2 gyökével. Egy komplex jel effektív értéke az összeg négyzetgyöke. az egyes harmonikusok effektív értékének négyzete, beleértve az elsőt is.

Az ismétlődő impulzusfüggvények kezelésekor hasznos figyelembe venni a munkaciklust. Ha az ismétlődő impulzusok az ábrán. A 14.7 effektív értéke X az A időpontban, akkor az effektív érték B időpontban X(A/B) 1 2 lesz. Így az ismétlődő impulzusok RMS értéke arányos a munkaciklus értékének négyzetgyökével. Ezt az elvet alkalmazva egy 120°-os (kihasználtsági ciklus 2/3) egységamplitúdójú téglalapimpulzusra, az RMS értéke (2/3) 1/2 = 0,8165.

Rizs. 14.7. Az ismétlődő négyzetgyökér (RMS) meghatározása

impulzusok

Érdekes ezt az eredményt az említett négyzethullámsornak megfelelő harmonikusok összegzésével ellenőrizni. táblázatban. A 14.2 mutatja ennek az összegzésnek az eredményeit. Amint látja, minden egyezik.

14.2. táblázat. A harmonikusok összegzésének eredményei megfelelnek

periodikus jel 2/3-os munkaciklussal és egységamplitúdóval

Harmonikus szám

Harmonikus amplitúdó

Teljes RMS

Összehasonlítás céljából a harmonikusok bármely halmaza csoportosítható, és meghatározható a harmonikus torzítás megfelelő általános szintje. Ebben az esetben a jel átlagos négyzetértékét a képlet határozza meg

ahol h\ az első (alap)harmonikus amplitúdója, h„ pedig az n > 1-es rendű harmonikusok amplitúdója.

A torzításért felelős komponensek külön-külön úgy írhatók fel

ahol n > 1. Ekkor

ahol az alap az első harmonikus, és a teljes harmonikus torzítás (THD) egyenlő a D/alappal.

Bár a négyzethullám-elemzés érdekes, a való világban ritkán használják. A kapcsolási effektusok és egyéb folyamatok a téglalap alakú impulzusokat inkább trapéz alakúvá teszik, vagy konverterek esetében az 1 cos(0) kifejezéssel leírható felfutó éllel és a cos(0) kifejezéssel leírható lefutó éllel, ahol 0< 0

logaritmikus skálán a grafikon megfelelő szakaszainak meredeksége -2 és -1. A tipikus reaktancia értékekkel rendelkező rendszerek esetében a meredekség változása megközelítőleg a hálózati frekvencia 11. és 35. harmonikusa közötti frekvenciákon következik be, és egy a reaktancia vagy áramerősség növekedése a rendszerben, a meredekség változásának gyakorisága csökken. Mindennek az a gyakorlati eredménye, hogy a magasabb harmonikusok kevésbé fontosak, mint gondolnánk.

Bár a reaktancia növelése segít csökkenteni a magasabb rendű harmonikusokat, ez általában nem kivitelezhető. Előnyösebb az elfogyasztott áram harmonikus komponenseinek csökkentése az impulzusok számának növelésével az egyenirányítás vagy a feszültségátalakítás során, amit fáziseltolással érnek el. A transzformátorokkal kapcsolatban ezt a témát a fejezetben érintettük. 7. Ha a tirisztoros átalakítót vagy egyenirányítót csillaggal és deltával összekötött transzformátortekercsekről tápláljuk, és az átalakító vagy egyenirányító kimeneteit sorba vagy párhuzamosan kapcsoljuk, akkor 12 impulzusos egyenirányítást kapunk. A halmaz harmonikus számai most k = \2n ± 1 k = 6u + 1 helyett, ahol n az egyik egész szám. Az 5. és 7. rendű harmonikusok helyett most 11. és 13. rendű harmonikusok jelennek meg, amelyek amplitúdója jóval kisebb. Teljesen lehetséges még több hullámzást használni, és például 48 impulzusos rendszereket használnak az elektrokémiai berendezések nagy tápegységeiben. Mivel a nagy egyenirányítók és konverterek párhuzamosan kapcsolt dióda- vagy tirisztor-készleteket használnak, a transzformátor fáziseltoló tekercseinek többletköltsége elsősorban az árát határozza meg. ábrán A 14.8 a 12 impulzusos áramkör előnyeit mutatja a 6 impulzusos áramkörrel szemben. A 11. és 13. rendű harmonikusok egy 12 impulzusos áramkörben tipikus amplitúdóértéke az első harmonikus körülbelül 10%-a. A nagy számú hullámzású áramkörökben a harmonikusok k = pn + 1 nagyságrendűek, ahol p a hullámzások száma.

Érdekességképpen megjegyezzük, hogy az egymáshoz képest 30°-kal egyszerűen eltolt harmonikus halmazok nem semmisítik ki egymást egy 6 impulzusos sémában. Ezek a harmonikus áramok visszafolynak a transzformátoron; így további fáziseltolódás szükséges a kölcsönös megsemmisülésük lehetőségének eléréséhez.

Nem minden harmonikus van fázisban az elsővel. Például egy 120°-os négyzethullámsornak megfelelő háromfázisú harmonikus halmazban a harmonikusok fázisai a -5., +7., -11., +13. stb. sorrend szerint változnak. Ha egy háromfázisú áramkörben kiegyensúlyozatlan, egyfázisú komponensek fordulhatnak elő, ami a felharmonikusok megháromszorozódását vonja maga után nulla fáziseltolás mellett.

Rizs. 14.8. 6 és 12 pulzációs jelátalakító spektruma

A leválasztó transzformátorokat gyakran csodaszernek tekintik a harmonikus problémákra. Ezek a transzformátorok némi reaktanciát adnak a rendszerhez, és ezáltal hozzájárulnak a magasabb harmonikusok csökkentéséhez, azonban a nulla sorrendű áramok elnyomásán és az elektrosztatikus leválasztáson kívül kevés hasznuk van.

Kezdjük egy egyszerű áramkörrel, hogy lefedjük azokat az alapfogalmakat, amelyeket később a bonyolultabb áramkörökhöz fogunk használni. ábrán 7.1 mutatja a bemeneti feszültséget V BX.p = 1 V, ez egy frekvenciájú szinuszhullám f\u003d 1 kHz és maximum 1 V (rms V be=√2). A bemeneti feszültség nemlineáris függvényeként szolgáló kimeneti feszültség biztosítása érdekében egy feszültséggel (VUN) vezérelt E feszültségforrást használnak erősítőként. Ebben a példában a kimeneti feszültség bemenettől való függőségét a függvény jeleníti meg

f(x) = 1 + x + x².

Rizs. 7.1. A bemeneti és kimeneti feszültségek közötti nemlineáris összefüggést tartalmazó séma

Ez a funkcionális kapcsolat az E parancsban jelenik meg polinomiális együtthatók használatával. A polinom általános képe:

f(x) = k 0 + k 1 x + k 2 x².

Példafüggőségünkhöz az E bemeneti parancs utolsó három számát használjuk, harmonikus elemzést szeretnénk végezni, hogy megnézzük, mely harmonikusok vannak jelen a kimeneti feszültségben, de először próbáljuk meg meghatározni, mire számíthatunk.

Mielőtt egy Fourier-sorban az időfüggések bővítésére térnénk át, el kell végezni a tranziens folyamatok elemzését (PSpice tranziens elemző program).

Ezért a .TRAN és a .FOUR parancsokat is használni kell. Jellemzően tranziens elemzést végeznek az alapfrekvencia teljes időtartamára. Ebben a példában f=1 kHz; Következésképpen, T=1/f=1 ms. A harmonikus elemzés a frekvenciakomponenseket a kilencedik harmonikusig tükrözi. A legtöbb célra ez több mint elég. Ha magasabb felharmonikusok jelennek meg, ezek nem sokat számítanak az eredményekben felhalmozódó kerekítési hiba miatt.

A bemeneti feszültség részletesebb leírása V BX, használja az űrlapot bűn a forrás leírására. Paraméterek sin( a, b,Val vel,…) jelentése: a- állandó komponens, b- maximális érték, Val vel- gyakoriság, d- késés, e- csillapítási együttható és f- fázis.

Amikor a .NÉGY parancs szerepel a bemeneti fájlban, egy harmonikus elemzést hajtanak végre, amely a tranziens elemzés eredményeinek Fourier-bővítését adja. A parancs paraméterei magukban foglalják az alapfrekvenciát és azokat a változókat, amelyekhez a bővítést megkapjuk. Ebben a példában ezek a változók a V(1) bemeneti és V(2) kimeneti feszültségek periodikus függvényei. Bemeneti fájl:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); az eltolás, a maximum és a gyakoriság argumentumai

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; a k0, k1, k2 utolsó 3 értéke

Végezze el az elemzést, majd kapja meg a V(1) és (V)2 diagramot. Győződjön meg arról, hogy a V(1) a bemeneti feszültség pontos másolata V VX. A kimeneti feszültségnek egy egyenáramú komponenst és egy maximum 3 V-os komplex hullámot kell mutatnia. A Fourier-sor elméleti vizsgálatából arra a következtetésre juthatunk, hogy ez a grafikon egy periodikus hullámra hasonlít, amely az alap- és a második harmonikusból áll. Célszerű ennek a grafikonnak egy példányát kinyomtatni későbbi tanulmányozás céljából. ábrán A 7.2 ezeket a grafikonokat mutatja.

Rizs. 7.2. Stressz grafikonok v 1 és vábra szerinti áramkörhöz 2. 7.1

Tekintsük ennek az áramkörnek a kimeneti fájlját is (7.3. ábra), amely a következő értékeket mutatja a csomóponti feszültségekhez: V(1)=0 V és V(2)=1 V. Ez azt jelenti, hogy bár a bemeneti jelnek nincs offset, a feszültség kimenete V(2)=1V.

ábrán 7.3. A Fourier-sor V(1) komponenseinek táblázatában nem minden komponens rendelkezik valós értékkel. Így a konstans komponens értékének elméletileg nullának kell lennie, de az elemzés nagyon kicsi, 3,5E-10 értéket ad, ami a kerekítési hibák felhalmozódása miatt nem pontosan egyenlő nullával.

Fourier-analízis; A polinom lebontása

Vin 1 0 sin(0 1 1000); Az argumentumok az eltolás, a csúcs és a gyakoriság

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; az utolsó 3 1 a k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMÓNIKUS FREKVENCIA FOURIER NORMALIZÁLT FÁZIS NORMALIZÁLT

NINCS (HZ) ALKATRÉSZ (DEG) FÁZIS (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

TELJES HARMONIKUS TORZÍTÁS = 4,999939E+01 SZÁZALÉK

Rizs. 7.3. ábrán látható kimeneti fájl az áramkör-elemzés eredményeivel. 7.1

Az első harmonikus az alapharmonikus at f=1 kHz. A Fourier-sor első harmonikusának amplitúdója és 2,4Е-7 (szintén majdnem nulla) fázisa látható. Ha feltételezzük, hogy ezt a komponenst a képlet fejezi ki

b n bűn( nx),

akkor ez azt jelenti b 1 =1, n=1, ahol az 1-es index az alapfrekvenciának felel meg. A többi harmonikus figyelmen kívül hagyható, mivel amplitúdójuk sok nagyságrenddel kisebb, mint az alapharmonikusé. Ez az alapharmonikus, amely tükröződik a Probe V(1) grafikonján, amelyet az 1. ábra adataiból kapunk. 7.3.

Egy másik táblázat a Fourier-összetevőkről az ábrán. A 7.3 az V(2) pontra vonatkozik. A különböző felharmonikusok vizsgálatakor vegye figyelembe, hogy van egy 1,5 V-os egyenáramú alkatrész, Miért 1,5 V? Összetevő k 0 = 1 V ennek az értéknek csak egy részét adja, a maradék 0,5 V a második harmonikushoz kapcsolódik. Az elmélet azt mutatja, hogy harmonikus torzítással a második harmonikusban a kimeneti feszültségben, amellett, hogy maga a második harmonikus amplitúdóval b A 2. ábrán a második harmonikus torzításaihoz kapcsolódó állandó komponens jelenik meg az értékkel együtt b 0 =b 2. Az alapfrekvencia amplitúdója a bővítésben az b 1 \u003d 1 V, a második harmonikus amplitúdója b 2 =0,5 V, fázisszöge -90°. A magasabb harmonikusok sokkal kisebbek, és figyelmen kívül hagyhatók.

Harmonikus szintézis gyakorlatként megrajzolhatja az egyes harmonikusokat, és összeadhatja őket, hogy megjósolhassa a Probe for V(2) programban kapott eredményt. Ne felejtse el figyelembe venni az egyenáramú összetevőt és a megfelelő amplitúdókat és fázisokat az alap- és a második harmonikusok esetében. Miután megrajzolta az eredményül kapott hullámformát, kétségtelenül örömmel fogja tudni, hogy a PSpice elvégzi helyetted az unalmas munkát.

Harmonikusok összeadása és harmonikus komponensekre bontása

Hozzon létre egy új bemeneti fájlt az ábra szerint. ábra diagramjához, amelyen a 7.4. 7.1, további két független áramforrás kerül hozzáadásra.

Csak két forrást használtunk, hogy az alap- és a második felharmonikusokat ugyanazon a területen kapjuk meg a kimeneti feszültséggel. További források egy párhuzamosan kapcsolt 1 ohmos ellenállást táplálnak. Az eredeti séma ilyen változtatása egyáltalán nem szükséges, csak kényelmesnek bizonyult egy adott paraméterkészlettel. Az új bemeneti fájl az előző fájl kiterjesztése, és így néz ki:

Fourier-analízis; A polinom lebontása

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentumok - eltolás, amplitúdó és frekvencia

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; a k0, k1, k2 utolsó 3 rekordja

i2 0 3 sin(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Rizs. 7.4. Séma a felharmonikusok hozzáadásának és kiterjesztésének elemzésére egy Fourier-sorban

Az elemzés elvégzése előtt nézzük meg közelebbről a leírásokat én 1 és én 2. A harmonikus szintézishez az előző feladatból származó Fourier-sor kiterjesztésének eredményeit használjuk. Győződjön meg arról, hogy megértette az összes paraméter jelentését; majd futtassa az elemzést a Probe programban, hogy megkapja az I(i1), I(i2) és I(r) diagramokat. Bár áramokról van szó, számszerűen megegyeznek a feszültségekkel, mivel 1 ohm ellenálláson mennek át. ábrán A 7.5 bemutatja az eredményeket. Most megállapíthatja, hogy az első gráf az alapharmonikus, a második a második felharmonikus, a harmadik pedig ezek összeadásának eredménye egy ellenállásban. r. Természetesen az I(r) helyett kaphat V(3) diagramot. Ugyanakkor a tengely Y feszültség mértékegységében lesz feltüntetve, nem áramban. Ellenőrizze, hogy az első két görbe összege adja-e a harmadik görbét különböző időpontokban. A grafikon kompaktabbá tétele érdekében 1 V-os eltolást használtunk az alapszinthez és 0,5 V-ot a 2. harmonikushoz. Valójában az alapharmonikusnak nulla eltolása van.

Rizs. 7.5. Az alap- és második felharmonikusok és összeadásuk eredménye

Második harmonikus torzítás az erősítőkben

Ha az erősítő működési területe meghaladja a karakterisztika lineáris részét, ez bizonyos torzulásokhoz vezet. A valós kimeneti görbe első közelítését úgy érjük el, hogy a második harmonikust belefoglaljuk a modellbe, ami megmutatja, hogy a tranziens függvény összeköt i cés i b(kollektor és bázisáram) egyfajta parabola. Általában a torzítás sokkal kisebb, mint amit az első bevezető példánkban feltételeztünk, amelyet az 1. ábra mutat be. 7.1. Pontosabb polinomot a képlet ad meg

f(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Elegendő egyszerűen átalakítani az eredeti bemeneti fájlt, hogy tükrözze ezt a helyzetet. Beviteli parancs a függő forráshoz E a következő formában lesz:

E 2 0 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; a k0, k1, k2 utolsó három értéke

és a teljes bemeneti fájl a következő lesz:

Futtassa az elemzést, és kapjon V(1) és V(2) diagramokat a Probe-ban. Látni fogja, hogy mindkét hullám valódi szinuszhullámnak tűnik. A pontosabb összehasonlítás érdekében távolítsa el a V(2) diagramot, és kapjon helyette V(2)–0,1 diagramot. Ezzel a két görbe közelebb kerül egymáshoz. A hullámok összehasonlításakor ne feledje, hogy V(1) csak egy szinuszhullám, a V(2) pedig az alap- és a második harmonikusok kombinációja. Ebben a példában a második harmonikus sokkal kisebb amplitúdójú, mint az előzőben. ábrán látható vizsgálat eredményeit kinyomtathatja. 7.6.

Rizs. 7.6. Az alap- és második felharmonikusok és összeadásuk eredménye

A Probe programból való kilépés után vegye figyelembe a kimeneti fájlt ebben az esetben. A V(1) bemeneti feszültség pontosan ugyanaz, mint az előző példában, de a V(2) természetesen más. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a kimeneti feszültség egyenáramú összetevője 0,2 V, a második harmonikus pedig at f=2 kHz amplitúdója 0,1 V és fázisszöge -90°. Más harmonikusok sokkal kisebbek és figyelmen kívül hagyhatók. Végül határozza meg a teljes harmonikus torzítást, amely nagyon közel van a 10%-hoz, ahogy az várható volt. A második harmonikus torzítást a következőképpen határozzuk meg b 1 /b 2 hol b 1 és b 2 - együtthatók a második és az alapharmonikuson, ill. Ezeket az adatokat a ábra mutatja. 7.7.

Fourier-analízis; Második harmonikus torzítás, teljesítményerősítő

CSOMPONT FESZÜLTSÉG CSOMPONT FESZÜLTSÉG CSOMPONT FESZÜLTSÉG CSOMPONT FESZÜLTSÉG

A TRANZIENS VÁLASZ FOURIER-ALKATRÉSZEI V(1)

HARMÓNIKUS FREKVENCIA FOURIER NORMALIZÁLT FÁZIS NORMALIZÁLT

NINCS (HZ) ALKATRÉSZ (DEG) FÁZIS (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

TELJES HARMONIKUS TORZÍTÁS = 2,208405E-06 SZÁZALÉK

A TRANZIENS VÁLASZ FOURIER-ALKATRÉSZEI V(2)

HARMÓNIKUS FREKVENCIA FOURIER NORMALIZÁLT FÁZIS NORMALIZÁLT

NINCS (HZ) ALKATRÉSZ (DEG) FÁZIS (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

TELJES HARMONIKUS TORZÍTÁS = 9,999880E+00 SZÁZALÉK

Rizs. 7.7. Az erősítők második harmonikus torzításának elemzésének eredményei

Intermodulációs torzítás

Egy egyszerű áramkörrel (7.8. ábra) bemutatjuk, hogyan kombinálódik két szinuszhullám egy nemlineáris eszközben egymáshoz meglehetősen közeli frekvenciák segítségével. f 1 =1 kHz és f 2 = 1,5 kHz. A nemlineáris keverés az e-típustól függő VCVS-ben (INUN) történik. A kapcsolatot leíró polinom több tagot tartalmaz, mint az előző példában:

f(x) = 1 + x + x² + x³.

Rizs. 7.8. Áramkör az intermodulációs torzítás demonstrálására

Az áramlatok, összegezve, létrehoznak R= 1 Ω feszültség V(1), számszerűen egyenlő a bemeneti árammal R.Így a V(1) bemeneti feszültség egy nemlineáris keverőben lévő feszültségként fogható fel. Mivel a szinuszos hullámok különböző frekvenciájúak, összegük egy összetett periodikus rezgés, amelynek frekvenciája különbözik az eredeti komponensek frekvenciájától (verési frekvencia). Bemeneti fájl:

Futtassa le a szimulációt, és lépjen be a Probe V(1)-be. Válassza a Plot, X-Axis Settings…, User Defined lehetőséget, és állítsa be a 0 és 10 ms közötti tartományt az állandó bemeneti feszültség eléréséhez. Ez a grafikon az ábrán látható. 7.9. Annak ellenőrzésére, hogy ez valójában az 1 és 1,5 kHz-es harmonikusok összege, kiválasztjuk a Trace, Fourier-t, az időtartományból a frekvenciatartományba lépve. Változtassuk meg a határokat a tengely mentén x a frekvenciatartomány 4 és 12 kHz közötti beállításával. Győződjön meg arról, hogy a tengely paraméterei megfelelnek a kívánt frekvenciáknak és a várható amplitúdóknak. Sőt, mikor f\u003d 1 kHz, a feszültség 0,991 V, és at f= 1,5 kHz, ez 0,979 V. Ne feledje, hogy a szintézisnél van némi felhalmozási hiba. ábrán A 7.10 a megfelelő frekvenciamenetet mutatja.

Rizs. 7.9. Kimeneti feszültség intermodulációs torzításnál

Rizs. 7.10. A bemeneti feszültség spektrális összetétele

Ezután válassza a Trace, End Fourier lehetőséget az időtartományhoz való visszatéréshez, törölje a V(1) diagramot, és kapja meg a keverő V(2) kimeneti feszültségét. Emlékezzünk vissza, hogy a keverő egy INUN, amelynek polinomiális kapcsolata a függvény által adott f(x). Az időfüggés a V(1) gráfhoz hasonló gráf, de közelebbről megvizsgálva kiderül, hogy a feszültség alakzatok jelentősen eltérnek. Ennek az összetett hullámformának a harmonikus tartalmából néhány nyom kivehető, ezért vissza kell térni a frekvenciatartományba a tengely menti tartomány kiválasztásával. x 0 és 5 kHz között. Javasoljuk a frekvenciaspektrum kinyomtatását további tanulmányozás céljából. A frekvenciamodulációs komponensek elméleti elemzése lehetővé teszi a PSpice-en végzett elemzés eredményeinek előrejelzését és ellenőrzését. Vegye figyelembe, hogy van egy 2 V-os egyenáramú komponens, valamint a 0,5–4,5 kHz tartományban lévő jelentős komponensek (a frekvenciaspektrumot lásd a 7.11. ábrán).

Rizs. 7.11. A kimeneti feszültség spektrális összetétele

Harmonikusok hozzáadása

Az elméleti elemzés legegyszerűbb esete a harmonikus hatás esete egy lineáris komponensekből, például ellenállásokból, kondenzátorokból és induktorokból álló áramkörön, és mint tudod, a válasz harmonikus rezgés a bemeneti jel azonos frekvenciáján. Az áramkör különböző feszültségesései is azonos frekvenciájú harmonikus rezgések, amelyek csak amplitúdójukban és fázisukban különböznek egymástól. Használjunk egy egyszerű diagramot e tulajdonságok némelyikének szemléltetésére. ábrán A 7.12 három feszültségforrást mutat, amelyek egy ellenállást tartalmazó áramkört táplálnak R= 1 ohm és R 1 =R 2 \u003d 0,001 Ohm. Az utolsó két ellenállás szükséges ahhoz, hogy a feszültségforrások ne ideálisak legyenek. Ezzel a diagrammal meg tudjuk mutatni a szinuszhullámok összeadását a Probe-ban. Bemeneti fájl:

Azonos frekvenciájú szinuszhullámok hozzáadása

*A paraméterek sorrendje a harmonikus komplex kifejezésében

*összetevők: eltolás, amplitúdó, frekvencia, késleltetés, csillapítás, fázis

v2 2 0 sin(0 1 1 kHz 0 0 45); fázis = 45 fok

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); fázis = 90 fok

Rizs. 7.12. Egy frekvenciájú harmonikus jelek hozzáadásának sémája

Futtassa a szimulációt és a Probe diagramokat v(1), v(2) és v=v(1)+v(2). A kapott grafikonok a feszültséget mutatják v 2 maximális lemaradással a maximumtól kb. 45°-kal v 1 , és a teljes feszültség v 1 +v 2-es maximum értékük között helyezkedik el. Ügyeljen a maximumra v 1 = 1 V 251 µs-nál (90°), maximum v 2 \u003d 1 V - 131 μs (47,16 °) és maximum időpontban v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - 171 μs (61,56 °) időpontban. Törölje ezeket a grafikonokat, és kapjon időfüggést más feszültségkombinációkhoz, például v(1), v(3) és v(1)+v(3) esetén. A feszültségvektorok összeadásának képessége alapján próbálja meg előre megjósolni a feszültségek összegének amplitúdóértékét, mielőtt megkapja a 2. ábrán látható próbadiagramokat. 7.13.

Rizs. 7.13. Azonos frekvenciájú harmonikus jelek összeadásának eredménye

Alap- és második felharmonikusok hozzáadása

ábra szerinti sémának megfelelő bemeneti fájlban. 7.12, könnyen változtathatja a tápegységek paramétereit és összetételét. Töröljük v 3 és dupla feszültségfrekvencia v 2 lesz a második harmonikus frekvencia v egy . Természetesen a keletkező rezgés azonnal nem szinuszos lesz. Valójában az alakja a fázisszögek arányától függ v 1 és v 2. A vizsgált példában mindkét harmonikus egyszerre érje el maximumát. Bemeneti fájl ehhez az esethez:

Szinuszhullámok hozzáadása; Fundamental és 2nd Harmonic Peaking Together

Futtassa le a szimulációt, és ábrázolja v(1), v(2) és v=v(1)+v(2) a Probe programban. Mert a v 1 és v 2 csúcs egyidejűleg, a keletkező rezgés maximuma 2 V, de amikor az alapharmonikus elér egy negatív maximumot, a második felharmonikus visszatér pozitív maximumra, és ezek összege nullára megy. Nyilvánvaló, hogy a teljes fluktuáció ( v 1 +v 2) nem szinuszos. Ezeket a grafikonokat az ábra mutatja. 7.14.

Rizs. 7.14. Az első és a második harmonikus összeadásának eredménye

Amplitúdó moduláció

A PSpice-ben egy amplitúdómodulált hullámforma érdekes diagramját kaphatjuk meg a jelentősen eltérő frekvenciájú harmonikus hullámok szorzófüggvényének felhasználásával. ábrán A 7.15. ábra egy ilyen eszközt szimuláló áramkört mutat be. Az első harmonikus forrás az v 1 1 kHz frekvenciával. második eredet v 2 frekvenciája 20 kHz. A szorzás a függő e forrásban történik, ami az INUN (VCVS). Ellenállásokra van szükség a lebegő potenciálok elkerülése érdekében. Bemeneti fájl:

e 3 0 poli(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Rizs. 7.15. Szinuszos moduláció szorzója

A polinomiális forrás bemeneti parancs utolsó öt bejegyzése a következő: 0 0 0 0 1. Emlékezzünk vissza, hogy ezek a kifejezésekben szereplő együtthatók értékei k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 és k 4 v 1 v 2. Minden érték 0, kivéve k 4, ami egyenlő 1-gyel.

Futtassa le a szimulációt, és kapjon v(1) és v(3) diagramokat a Probe-ban. A 20 kHz frekvenciájú harmonikus komponens szándékosan nem az általános grafikonra épül, hogy ne nehezítse meg a folyamatok megértését. A kapott v(3) oszcilláció klasszikus formája az amplitúdómodulált rezgés. Ebben a példában mindkét bemeneti harmonikus v 1 és v A 2. ábra amplitúdója 1 V. A grafikonok az 1. ábrán láthatók. 7.16.

Rizs. 7.16. Az amplitúdómodulált jelek vizsgálatának eredménye

Amíg még mindig a szondában van, adjon hozzá egy másik v(2) bemeneti feszültséget az összes feszültség megjelenítéséhez: v(1), v(2) és v(3). Ez a grafikon a másik két hullámmal együtt tartalmazza a hordozót is, amely a teljes képet adja. Szerezzen kinyomatot további tanulmányozáshoz, majd törölje a v(2) diagramot, és válassza a Trace, Fourier lehetőséget. Telepítse a tengely mentén x 0 és 30 kHz közötti tartományhatárok. A frekvenciatartomány most 1,19 kHz-es és 21 kHz-es komponenseket jelenít meg. Az utolsó komponensek az ebből a modulációból származó felső és alsó oldalfrekvenciák. Határozza meg az egyes hullámok amplitúdóját! Emlékezzen a trigonometrikus azonosságra,

(bűn a)(bűn b) = 0.5,

ami megmagyarázza az oldalsávi frekvenciák 0,5 V-os amplitúdóit. Lásd a 3. ábrát. 7.17, amely a frekvencia spektrumot mutatja. (A jelölőket eltávolítottuk a tisztább kép érdekében.) Elemezze a modulációs feszültséget különböző relatív amplitúdókkal v 1, hogy megtudja, milyen hatással van ez a modulációs mélységre t. Például mikor v 1 amplitúdója 0,8, mekkora a modulációs mélység és hogyan néz ki a keletkező rezgés?

Rizs. 7.17. Egy amplitúdómodulált oszcilláció frekvenciaspektruma

Az ebben a fejezetben használt új PSpice parancsok áttekintése

.NÉGY <частота>*<выходные переменные>

Például a bejegyzés

azt mutatja, hogy Fourier kiterjesztést hajtanak végre. A dekompozíciót csak a tranziens elemzése során kapott állandósult állapotra vonatkozó időfüggés megállapítása után lehet elvégezni. Egy ilyen parancsnak jelen kell lennie a bemeneti fájlban:

TRAN <шаг><момент окончания>

Feladatok

A harmonikus elemzés megadja az alap egyenáramú összetevőjét, és az összes harmonikust a kilencedikig. Amplitúdóik és fázisaik aktuális és relatív értékekkel jelennek meg. Az előző példában a V(1) és V(2) és ezek összetevőit elemeztük. Általában a harmonikus elemzés végrehajtásához a parancsot használják .SZONDA: azonban a parancsok is használhatók helyette .NYOMTATÁS vagy .CSELEKMÉNY.

7.1. ábrán 7.18 E polinomjának alakja van

f(x) = x + x².

Rizs. 7.18

Használata v i csúcs= 1 V, f=1 kHz és V= 1 Hasonlítsa össze v 0 s v i. Megjósolni a kimeneti feszültség hozzávetőleges harmonikus tartalmát; majd végezzen elemzést a PSpice-en, amely megmutatja mind a bemeneti, mind a kimeneti feszültség harmonikus tartalmát. A .NÉGY parancsban használja a V(2, 1) és V(3) feszültséget. Vizsgálja meg a kimeneti fájlt, és határozza meg a V(3) harmonikus tartalmát.

7.2. A 7.1 feladatban a Trace, Fourier segítségével kapjuk meg V(3) harmonikus tartalmát. V(2,1) és V(3) megjelenítésével állítsa be a tengelyt x 0 és 5 kHz között korlátozza.

7.3. Végezze el a 7.1-es probléma elemzését a következővel:

f(x) = 2 + 0,1x².

Megjósolni a kimeneti feszültség hozzávetőleges harmonikus tartalmát; majd ábrázolja V(2,1) és V(3) az előrejelzések pontosságát.

7.4. ábrán A 7.4 egy E polinomiális forrást mutat

f(x) = 1 + x + x².

Módosítsa a polinomot erre

f(x) = x + x²,

és változtatással szintézist és lebontást végezni én 1 és én 2 úgy, hogy az I(r) áram követi a V(2) feszültség alakját.

7.5. A fejezet „Második harmonikus torzítása az erősítőkben” szakaszában cserélje ki a polinomot a következőre:

f(x) = 0,05 + x + 0,1x²,

és futtassa az elemzést a PSpice-en a szövegben javasolt módon. Készítsen V(1) és (V)2-0,05 diagramot a változó bemeneti és kimeneti feszültségek összehasonlításához. Jósolja meg a kimeneti feszültség egyenáramú összetevőjének értékét, a második harmonikus amplitúdóját és fázisát, valamint a teljes harmonikus torzítást. Tesztelje előrejelzéseit a Probe és a kimeneti fájl eredményeivel.

7.6. Az Intermodulációs torzítás részben két különböző frekvenciájú szinuszhullámot kombináltunk. Végezzen elemzést a frekvenciákon f 1 =2 kHz és f 2 = 2,5 kHz, meghagyva a kifejezést f(x) változtatás nélkül. Módosítsa a .TRAN parancsot a feladatnak megfelelően. Kövesse a lépéseket ugyanabban a sorrendben, mint a szöveges példában, hogy tesztelje a kimeneti feszültség harmonikus tartalmára vonatkozó előrejelzéseit.

7.7. ábra "Harmonikusok hozzáadása" részben. A 7.12 párhuzamos ágakat mutat három feszültségforrással. A harmonikusok hozzáadása inkább matematikai, mint fizikai volt. Módosítsa az áramkört úgy, hogy az összes feszültségforrás sorba legyen kötve, majd futtassa újra az elemzést. Ugyanazokat az eredményeket érte el?

7.8. Végezzen elemzést a következő egyfrekvenciás harmonikus feszültségek hozzáadásához f=1 kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V és v 23 =1,5∠90° V.

Ahol:

a) Keresse meg a maximális értéket ( v 1 +v 2), valamint azt az időt és fázisszöget, amelynél a maximumot elérjük.

b) Ismételje meg az a) lépést a ( v 1 +v 3).

Ha kurzor módot és több grafikont használ ugyanazon a képernyőn, használja a [ ctrl] és a ← és → nyilak segítségével kiválaszthatja, hogy a kurzor melyik grafikonon mozogjon.

7.9. A felharmonikusok közeli frekvenciájú hozzáadásának hatásának szemléltetéséhez hajtsa végre az elemzést a 7.8. feladatban leírtak szerint a következő paraméterkészletre: v 1 = 1∠0° V, f 1 = 1 kHz, v 1 = 1∠0° V, f 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 =1∠0° V és f 3 = 1,4 kHz:

a) Szerezd meg a diagramokat v 1 , v 2 és ( v 1 +v 2). Keresse meg a maximális értéket ( v 1 +v 2).

b) Szerezzen diagramokat v 1 , v 3 és ( v 1 +v 3). Keresse meg a maximális értéket ( v 1 +v 3).

7.10. Oldja meg a problémát az amplitúdómodulációról szóló részből beállítással v 1 = 1 V 1 kHz-en, és változó v 1 úgy, hogy a modulációs mélység 0,5 legyen. Az eredmények megjelenítéséhez futtassa az elemzést a PSpice-en.

Mint ismeretes, a villamosenergia-iparban az áramok és feszültségek szabványos formájaként szinuszos formát alkalmaznak. Valós körülmények között azonban az áramok és feszültségek görbéinek alakja bizonyos mértékig eltérhet a szinuszostól. A vevőkben ezen függvények görbéinek alakzatában bekövetkező torzulások további energiaveszteségekhez és hatékonyságuk csökkenéséhez vezetnek. A generátor feszültséggörbéjének szinuszos alakja az elektromos energia mint áru minőségének egyik mutatója.

Az áramok és feszültségek görbéinek alakjának torzulásának egy összetett áramkörben a következő okai lehetnek:

1) nemlineáris elemek jelenléte az elektromos áramkörben, amelyek paraméterei az áram és a feszültség pillanatnyi értékétől függenek (például egyenirányítók, elektromos hegesztőegységek stb.);

2) paraméteres elemek jelenléte az elektromos áramkörben, amelyek paraméterei idővel változnak;

3) az elektromos energiaforrás (háromfázisú generátor) a tervezési jellemzők miatt nem tudja biztosítani a kimeneti feszültség ideális szinuszos alakját;

4) befolyás a fent felsorolt ​​tényezők komplexumában.

A nemlineáris és parametrikus áramkörökről a TOE kurzus külön fejezetei szólnak. Ez a fejezet a lineáris elektromos áramkörök viselkedését vizsgálja, ha nem szinuszos hullámformájú energiaforrásoknak vannak kitéve.

A matematika során ismeretes, hogy az f(t) idő bármely periodikus függvénye, amely kielégíti a Dirichlet-feltételeket, leképezhető harmonikus Fourier-sorral:

Itt А0 egy állandó komponens, Ak*sin(kωt+ αk) a k-adik harmonikus komponens vagy röviden k-edik harmonikus. Az 1. felharmonikust alapharmonikusnak nevezzük, és minden további harmonikust a legmagasabbnak.

Az egyes harmonikusok Ak amplitúdói nem függenek az f(t) függvény kiterjesztésének módjától egy Fourier-sorban, ugyanakkor az egyes αk harmonikusok kezdeti fázisai az időreferencia (origita) megválasztásától függenek.

A Fourier-sor egyes harmonikusai a szinusz és a koszinusz komponensek összegeként ábrázolhatók:

Ekkor az egész Fourier-sorozat a következő formát ölti majd:

A Fourier-sor két alakjának együtthatói közötti arányok:

Ha a k-adik harmonikust, valamint szinusz- és koszinusz komponenseit komplex számokkal helyettesítjük, akkor a Fourier-sor együtthatói közötti kapcsolat komplex formában ábrázolható:

Ha egy periodikus nem szinuszos időfüggvényt adunk meg (vagy fejezhetünk ki) analitikusan matematikai egyenlet formájában, akkor a Fourier-sor együtthatóit a matematika tantárgyból ismert képletekkel határozzuk meg:

A gyakorlatban a vizsgált f (t) nem szinuszos függvényt általában grafikus diagram formájában (grafikusan) (46.1. ábra) vagy pontok koordinátáinak táblázata (táblázat) formájában állítják be egy intervallumban. időszak (1. táblázat). Egy ilyen függvény harmonikus elemzésének elvégzéséhez a fenti egyenletek szerint először le kell cserélni egy matematikai kifejezéssel. Egy grafikusan vagy táblázatosan megadott függvény matematikai egyenlettel való helyettesítését függvényközelítésnek nevezzük.

Jelenleg az f(t) idő nem szinuszos függvényeinek harmonikus elemzését rendszerint számítógépen végzik. A legegyszerűbb esetben egy függvény matematikai ábrázolására darabonkénti lineáris közelítést használunk. Ehhez a teljes függvényt egy teljes periódus intervallumában M = 20-30 szakaszra kell felosztani úgy, hogy az egyes szakaszok a lehető legközelebb legyenek az egyenesekhez (1. ábra). Külön szakaszokban a függvény közelítése az fm(t)=am+bm*t egyenes egyenlettel történik, ahol a közelítési együtthatók (am, bm) minden szakaszra a végpontjainak koordinátáin keresztül kerülnek meghatározásra, pl. az 1. részt kapjuk:

A T függvény periódusa nagyszámú N integrációs lépésre van felosztva, az integrációs lépés Δt=h=T/N, az aktuális idő ti=hi, ahol i az integrációs lépés sorszáma. A harmonikus elemzési képletekben bizonyos integrálokat a megfelelő összegekkel helyettesítenek, számítógépen számítják ki trapéz vagy téglalap módszerrel, például:

A magasabb harmonikusok amplitúdóinak megfelelő pontosságú (δ≤1%) meghatározásához az integrációs lépések számának legalább 100k-nak kell lennie, ahol k a harmonikusok száma.

A technikában speciális eszközöket, úgynevezett harmonikus analizátorokat használnak az egyes felharmonikusok elválasztására a nem szinuszos feszültségektől és áramoktól.

Fourier és Hartley az idő függvényeit amplitúdó- és fázisinformációt tartalmazó frekvenciafüggvényekké alakítja át. Az alábbiakban egy folytonos függvény grafikonja látható g(t) és diszkrét g(τ), ahol tés τ az idő pillanatai.

Mindkét függvény nulláról indul, pozitív értékre ugrik, és exponenciálisan csökken. Definíció szerint a Fourier-transzformáció folytonos függvényre a teljes valós tengelyen integrált, F(f), diszkrét függvény esetén pedig a minták véges halmazának összege, F(ν):

ahol f, ν a gyakorisági értékek, n a függvény mintaértékeinek száma, és én=√ –1 a képzeletbeli egység. Elméleti tanulmányokhoz az integrálábrázolás, számítógépes számításokhoz pedig a véges összeg formájú ábrázolás alkalmasabb. Az integrál és a diszkrét Hartley transzformációt hasonló módon határozzuk meg:

Bár a Fourier- és a Hartley-definíciók között az egyetlen különbség a jelölésben a szinusz előtti tényező jelenléte, az a tény, hogy a Fourier-transzformációnak van valós és képzetes része is, a két transzformáció reprezentációját meglehetősen eltérővé teszi. A diszkrét Fourier és Hartley transzformációk lényegében ugyanazt a formát mutatják, mint a folytonos megfelelőik.

Bár a diagramok eltérően néznek ki, ugyanaz az amplitúdó- és fázisinformáció származtatható a Fourier- és Hartley-transzformációból, az alábbiak szerint.

A Fourier-amplitúdót a valós és a képzeletbeli rész négyzetösszegének négyzetgyöke határozza meg. A Hartley-amplitúdót a négyzetösszeg négyzetgyöke adja H(–v) és H(ν). A Fourier-fázis a képzeletbeli rész arctangense osztva a valós résszel, a Hartley-fázis pedig a 45° és a H(–ν) osztva H(ν).