Az elmélet megismétlése és tipikus feladatok megoldása egyenes és sík merőlegességén (folytatás). Az elmélet megismétlése és tipikus feladatok megoldása egyenes és sík merőlegességére (folytatás) Témakör: Egyenesek és síkok merőlegessége

A síkot metsző egyenest erre a síkra merőlegesnek nevezzük, ha az merőleges az ezen egyenes és a sík metszéspontján átmenő síkban lévő bármely egyenesre.

A 131. ábra egy a egyenest mutat, amely merőleges az a síkra.

T.2.9. Ha egy síkot metsző egyenes merőleges a metszésponton átmenő két egyenesre ebben a síkban, akkor az merőleges a síkra.

Ezt a tételt egy egyenes és egy sík merőlegességének kritériumának vagy két merőleges tételének nevezzük.

A 132. ábra a c egyenesre merőleges, az a sík és az a egyenes metszéspontján áthaladó a síkban fekvő egyenest ábrázol. Azon lehet vitatkozni.

A következő két tétel az egyenesek és síkok párhuzamossága és merőlegessége kapcsolatáról beszél.

T.2.10. Ha egy sík merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra.

T. 2.11. Két, ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos.

A 133. ábrán a 2.10. és 2.11. Tételben említett a és az a sík láthatók.

Az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és a síkra való vetülete közötti szög.

A 134. ábra egy síkot és egy a egyenest mutat, amely

átlép rajta. Az a egyenes az a egyenes vetülete az a síkra. Ekkor a szög az a egyenes és az a sík szöge. A párhuzamos egyenes és a sík közötti szöget nullának tekintjük, a merőleges egyenes és a sík közötti szöget pedig 90 °. Mivel az a egyenes, a vetülete az a síkra és az a síkra merőleges az a egyenessel való metszéspontjában ugyanabban a síkban fekszik, az egyenes és a sík közötti szög kiegészíti a ezt az egyenest és a síkra merőlegeset 90°-ra.

Példa. Egy 10 cm-es szakasz metszi a síkot, végei 3 és 2 cm távolságra vannak a síktól. Keresse meg az adott szakasz és a sík szögét!

Feladatok és gyakorlatok kész rajzokon, 10-11. osztály, Geometria, Rabinovich E.M., 2006.

Tartalomjegyzék
Előszó.
A planimetria tanfolyam megismétlése.
1. táblázat Háromszögek megoldása.
2. táblázat: Egy háromszög területe.
3. táblázat. A négyszög területe.
4. táblázat A négyszög területe. Sztereometria. 10. fokozat.
10.1. táblázat. Sztereometriai axiómák és legegyszerűbb következményeik.
10.2. táblázat. Sztereometriai axiómák és legegyszerűbb következményeik.
10.3. táblázat. Egyenesek párhuzamossága a térben. Keresztezett egyenes vonalak.
10.4. táblázat. Egyenesek és síkok párhuzamossága.
10.5. táblázat. Síkok párhuzamossága.
10.6. táblázat. Párhuzamos sík tulajdonságai.
10.7. táblázat. Térbeli alakzatok rajzolása síkra
10.8. táblázat. Térbeli alakzatok rajzolása síkra
10.9. táblázat. Egyenes és sík merőlegessége.
10.10. táblázat. Egyenes és sík merőlegessége.
10.11. táblázat. Merőleges és ferde.
10.12. táblázat. Merőleges és ferde.
10.13. táblázat. Három merőleges tétel.
10.14. táblázat. Három merőleges tétel.
10.15. táblázat. Három merőleges tétel.
10.16. táblázat. A síkok merőlegessége.
10.17. táblázat. A síkok merőlegessége.
10.18. táblázat. A keresztezett vonalak közötti távolság.
10.19. táblázat. Descartes-koordináták a térben.
10.20. táblázat. A keresztezett vonalak közötti szög.
10.21. táblázat. Az egyenes és a sík közötti szög.
10.22. táblázat. A síkok közötti szög.
10.23. táblázat. Sokszög merőleges vetületi terület
10.24. táblázat. Vektorok a térben.Sztereometria. 11. évfolyam.
11.1. táblázat. Kétszögű szög. Háromszög alakú sarok.
11.2. táblázat. Egyenes prizma.
11.3. táblázat. Helyes prizma.
11.4. táblázat. Helyes prizma.
11.5. táblázat. Ferde prizma.
11.6. táblázat. Paralelepipedon.
11.7. táblázat. A prizma szakaszainak felépítése.
11.8. táblázat. Helyes piramis.
11.9. táblázat. Piramis.
11.10. táblázat. Piramis.
11.11. táblázat. Piramis. Csonka piramis.
11.12. táblázat. A piramis egy szakaszának építése.
11.13. táblázat. Henger.
11.14. táblázat. Kúp.
11.15. táblázat. Kohuc. Csonka kohуc.
11.16. táblázat. Labda.
11.17. táblázat. Feliratos és leírt labda.
11.18. táblázat. A paralelepipedon térfogata.
11.19. táblázat. A prizma térfogata.
11.20. táblázat. A piramis térfogata.
11.21. táblázat. A piramis térfogata.
11.22. táblázat. A piramis térfogata. Csonka piramis térfogata.
11.23. táblázat. A henger oldalsó felületének térfogata és területe.
11.24. táblázat. A kúp térfogata és oldalfelülete.
11.25. táblázat. A kúp térfogata. Csonkakúp térfogata. A kúp oldalfelületének területe. A csonka kúp oldalsó felületének területe.
11.26. táblázat. A labda hangereje. A labda felülete. Válaszok, útmutatások, megoldások

Töltsön le ingyenesen egy e-könyvet kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le a Feladatok és gyakorlatok kész rajzokon, 10-11. osztály, Geometria, EM Rabinovich, 2006 - fileskachat.com című könyvet, gyorsan és ingyenesen letölthető.

Letöltés pdf
Az alábbiakban megvásárolhatja ezt a könyvet a legjobb kedvezményes áron, kiszállítással Oroszország egész területén.

6.1 Egy egyenes és egy sík merőlegességének meghatározása

Az egyenes vonalak, vagy inkább a síkra merőleges szegmensek ötletét függőlegesen álló oszlopok adják (melyek merőlegesek a föld felszínére), egy kifeszített zsinór, amelyen a lámpa lóg (merőleges a lámpatestre). mennyezet), asztallábak (merõlegesek a padlóra). A függőleges ajtófélfa a padlóra merőleges, az ajtó padlóval szomszédos alsó széle pedig az ajtó minden helyzetében merőleges az ajtófélfára (73. ábra, a). Ez a tulajdonság határozza meg az egyenes és a sík merőlegességét.

Meghatározás. Egy egyenest a síkra merőlegesnek nevezünk, ha ezt a síkot metszi, és merőleges a metszésponton átmenő bármely egyenesre ebben a síkban (73. ábra, b).

Rizs. 73

Azt is mondják, hogy a sík merőleges egy egyenesre, vagy hogy egymásra merőlegesek. A kölcsönösen merőleges a egyenes és a sík esetén a ⊥ α vagy α ⊥ a jelöléseket használjuk.

Egy szakasz vagy sugár merőleges egy síkra, ha erre a síkra merőleges egyenesen fekszik. Ha egy szakasz merőleges a síkra, és a vége ebben a síkban van, akkor erre a síkra merőlegesnek nevezzük.

6.2 Merőleges és ferde

Az olyan szakaszt, amelynek egy síkkal közös pontja van - a szakasz vége, de nem merőleges erre a síkra, a síkhoz képest ferdenek nevezzük.

Legyen egy, az a síkban nem fekvő A pontból egy merőleges AB és egy ferde AC (74. ábra). A BC szakaszt a ferde AC α síkra való vetületének nevezzük.

Rizs. 74

Az AB merőleges rövidebb, mint a ferde AC, azaz AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Így mondhatjuk: az A pontból az α síkra húzódó AB merőleges az A pontot az α sík pontjaival összekötő szakaszok közül a legrövidebb.

A merőleges tulajdonsága, hogy a legrövidebb egyenes, jellemző tulajdonság. Ez azt jelenti, hogy fordítva is igaz: ha AB az A ponttól az α síkhoz vezető legrövidebb szakasz, akkor AB az α síkra merőleges.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be ezt ellentmondásokkal. Tegyük fel, hogy AB nem merőleges α-ra. Ezután az α síkban lévő B ponton áthalad az a egyenes, amely nem merőleges az AB-re (75. ábra). Dobjuk az AM merőlegest A-ból az a egyenesre. Egy AVM derékszögű háromszögben az AM láb kisebb, mint az AB hipotenusz: AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Rizs. 75

A merőleges hossza az objektum legmagasabb pontjától az alapig leeresztve az objektum magasságát méri. Tehát a piramis magassága a piramis tetejétől az alap síkjába süllyesztett merőleges hossza, valamint maga a merőleges (a 76. ábrán a, b - ez az RO szegmens).

Rizs. 76

6.3 A merőleges jelentéséről

A síkra merőlegesnek nagyon fontos szerepe van, és amellett, hogy ez a legrövidebb a sík adott pontjától a pontokig tartó szakaszok között. Magyarázzuk meg a jelentését is. A sík térbeli helyzete úgy állítható be, hogy megadunk egy rá merőleges egyenest és azt a pontot, ahol ezt az egyenest metszi.

A merőleges legfontosabb tulajdonsága, hogy a sík hozzá képest szimmetrikusan helyezkedik el. Mit jelent? Minden egy adott síkban fekvő sugár egyenlő szöget zár be vele - derékszöget, de egy ferde esetében ez nem így van (77. ábra, a). A merőleges körüli forgáskor a sík magához igazodik: a kereket úgy kell a tengelyre felszerelni, hogy síkja merőleges legyen a tengelyre. A síkra merőleges oldallal rendelkező téglalap az adott oldal körül elforgatható, és a másik oldal a sík mentén csúszik. Ez jól látható egy megfelelően csuklós ajtón. Ha a széle nem függőleges, az ajtó nem nyílik szabadon, és a padlóhoz dörzsölődik.

Rizs. 77

A fizikából példákat véve megállapítható, hogy az edény falára nehezedő folyadék vagy gáz nyomása a falra merőlegesen irányul, ahogy a támasztékra nehezedő terhelés nyomása is merőlegesen irányul rá (77. ábra). b) és 78. pont a) pontja.

Rizs. 78

A felületre merőleges a fény visszaverődésének és törésének törvényeiben jelenik meg. Tehát a visszaverődés törvénye azt mondja: "A beeső sugár és a visszavert sugár ugyanabban a síkban helyezkedik el a tükör felületére merőlegessel a beesési pontban, és egyenlő szöget zárnak be vele." A "beesési szög" és a "visszaverődés szöge" a megadott merőleges és a beeső sugár, valamint a visszavert sugár közötti szögek (78. ábra, b).

De a merőleges fő jelentése a technológiában és egész életünkben betöltött szerepe.

Mondhatjuk, hogy merőlegesek vesznek körül: az asztal lábai merőlegesek a padlóra, a szekrény széle merőleges a falra stb.

A függőleges merőleges a vízszintes síkra. A függőleges helyzetet függővonallal ellenőrizzük (lásd a fotót). A merőlegesség nagy szerepet játszik az építkezésben: a padlóközi mennyezeteket az épületváz pilléreire merőlegesen helyezik el.

Amint a későbbiekben látni fogjuk, a síkok párhuzamossága közös merőlegesek jelenlétével függ össze. Az egyenesek és síkok merőlegessége, párhuzamossága lényeges eleme az építésnek, így a merőlegesek és a párhuzamosok tanát az „építési geometria” alapjainak nevezhetjük.

Kérdések az önkontrollhoz

1. Mi a különbség a síkra merőleges és a síkra ferde között?
2. Milyen definíciót ismersz a síkra merőlegesnek?
3. Mit jelent a síkra merőleges?

A merőlegesség jelei:

A síkra merőleges egyenes , ha ______________________________________________

Az egyenes vonalak merőlegesek , ha _______________________________________________________

A síkok merőlegesek , ha ________________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

1. cél. Szerkesszünk egy golyót, amelynek középpontja az A pontban van, és amely egy adott síkot érint.

Algoritmus:

2. cél. Rajzolj egy pontot a síktól 20 mm távolságra.

Algoritmus:

3. célkitűzés. Határozza meg egy pont és az egyenes távolságát.

Algoritmus:

4. feladat: Egészítse ki a háromszög hiányzó vetületét, ha a szög V egyenes.

Algoritmus:

5. probléma : Szerkesszünk egy négyzetet BC oldallal egy egyenesen l.

Algoritmus:

6. probléma : Egészítse ki a háromszög vetületét, ha merőleges az adott síkra!

Algoritmus:

A tudás önkontrollának kérdései

Milyen esetben vetül egy derékszög torzítás nélkül a vetítési síkra?

Mit nevezünk a legnagyobb lejtő vonalának?

Hogyan helyezkedik el a legnagyobb lejtő vonala a síkban?

Hogyan határozható meg a sík dőlésszöge a vízszintes, frontális, profilvetítési síkhoz képest?

Hogyan fogalmazódik meg egy egyenes és egy sík merőlegességének előjele az elemi geometria szempontjából?

Ha ismert, hogy egy egyenes merőleges a síkra, hány olyan egyenes húzható, amely a rá merőleges síkban fekszik?

A síkban melyik két egymást metsző egyenest kell az egyenesek halmazából kiválasztani, hogy a köztük és egy adott egyenes között elhelyezkedő derékszög torzítás nélkül vetüljön a vetítési síkra?

Ennek alapján fogalmazzunk meg egy egyenes és egy sík merőlegességének jelét a leíró geometria szempontjából!

Hogyan készítsünk merőlegest a síkra általános helyzetben a CP-n?

Hogyan építsünk a CP-n a vetítési síkra merőleges egyenest?

Hogyan vetül a derékszög a vetítési síkra metsző egyenesek között, ha egyik sem párhuzamos ezzel a vetítési síkkal?

Fogalmazzon meg egy kritériumot az általános helyzetben lévő egyenesek merőlegességére!

Fogalmazzuk meg a síkok merőlegességének előjelét!

11. témakör: A vetítési síkok cseréjének módja

A leíró geometria négy fő feladata:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Változatlanul marad a CC _______________________________________________________

________________________________________________________________________________

Ebben a cikkben egy egyenes és egy sík merőlegességéről fogunk beszélni. Először egy síkra merőleges egyenes definícióját adjuk meg, egy grafikus illusztrációt és egy példát, a merőleges vonalak és egy sík jelölését. Ezt követően megfogalmazták az egyenes és a sík merőlegességének jelét. Továbbá olyan feltételeket kapunk, amelyek lehetővé teszik egy egyenes és egy sík merőlegességének bizonyítását, amikor egy egyenest és egy síkot háromdimenziós térben egy téglalap alakú koordináta-rendszerben néhány egyenlet ad meg. A befejezésben tipikus példák és problémák részletes megoldásait mutatjuk be.

Oldalnavigáció.

Merőleges vonal és sík - alapvető információk.

Javasoljuk, hogy először ismételje meg a merőleges egyenesek meghatározását, mivel a síkra merőleges egyenes definíciója az egyenesek merőlegességén keresztül történik.

Meghatározás.

Azt mondják a síkra merőleges egyenes ha merőleges az ebben a síkban fekvő bármely egyenesre.

Azt is mondhatjuk, hogy a sík merőleges az egyenesre, vagy az egyenes és a sík merőlegesek.

A merőlegesség jelzéséhez használja a "" űrlap ikonját. Vagyis ha a c egyenes merőleges a síkra, akkor röviden felírható.

Példa a síkra merőleges egyenesre az az egyenes, amely mentén egy helyiség két szomszédos fala metszi egymást. Ez a vonal merőleges a síkra és a mennyezet síkjára. Az edzőteremben lévő kötelet a padló síkjára merőleges egyenes szakasznak is tekinthetjük.

A cikk ezen bekezdésének végén megjegyezzük, hogy ha egy egyenes merőleges a síkra, akkor az egyenes és a sík közötti szöget kilencven fokkal egyenlőnek tekintjük.

Az egyenes és a sík merőlegessége a merőlegesség előjele és feltételei.

A gyakorlatban gyakran felmerül a kérdés: "Merőleges-e az adott egyenes és sík?" Hogy válaszoljak rá, van egy egyenes és egy sík merőlegességének megfelelő feltétele, vagyis olyan feltétel, amelynek teljesítése garantálja az egyenes és a sík merőlegességét. Ezt az elégséges feltételt egy egyenes és egy sík merőlegességének előjelének nevezzük. Fogalmazzuk meg tétel formájában.

Tétel.

Az adott egyenes és sík merőlegességéhez elegendő, ha az egyenes merőleges két, ebben a síkban elhelyezkedő metsző egyenesre.

Az egyenes és a sík merőlegességének előjelének bizonyítását a 10 -11. osztályos geometria tankönyvben tekintheti meg.

Egy egyenes és sík merőlegességének megállapítási feladatainak megoldása során gyakran alkalmazzák a következő tételt is.

Tétel.

Ha a két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges a síkra, akkor a második egyenes merőleges a síkra.

Az iskola számos problémát figyelembe vesz, amelyek megoldására az egyenes és a sík merőlegességi kritériumát, valamint az utolsó tételt használják. Itt nem foglalkozunk velük. A cikk e bekezdésében az alábbi szükséges és elégséges feltétel alkalmazására összpontosítunk egy egyenes és egy sík merőlegességére.

Ez a feltétel a következőképpen írható át.

Hadd az a egyenes irányvektora, és a sík normálvektora. Az a egyenes és a sík merőlegességéhez szükséges és elegendő, hogy és : , ahol t valami valós szám.

Az egyenes és a sík merőlegességének ezen szükséges és elégséges feltételének bizonyítása az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának definícióin alapul.

Nyilvánvalóan ez a feltétel kényelmesen használható egy egyenes és egy sík merőlegességének bizonyítására, amikor könnyen megtalálhatjuk az egyenes irányítóvektorának koordinátáit és a sík normálvektorának koordinátáit egy fix háromban. -dimenziós tér. Ez igaz azokra az esetekre, amikor azon pontok koordinátái, amelyeken a sík és az egyenes áthalad, valamint azokra az esetekre, amikor az egyenest egy térbeli egyenes néhány egyenlete határozza meg, és a síkot egy valamilyen sík egyenlete.

Nézzük meg több példa megoldását.

Példa.

Igazoljuk az egyenes merőlegességét! és repülőgép.

Megoldás.

Tudjuk, hogy egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteinek nevezőiben szereplő számok ennek az egyenesnek az irányvektorának megfelelő koordinátái. Ily módon - egyenes irányító vektora .

A sík általános egyenletében szereplő x, y és z változók együtthatói ennek a síknak a normálvektorának koordinátái, azaz a sík normálvektora.

Ellenőrizzük az egyenes és a sík merőlegességéhez szükséges és elégséges feltétel teljesülését.

Mivel , akkor a és a vektorokat a reláció kapcsolja össze , azaz kollineárisak. Ezért az egyenes merőleges a síkra.

Példa.

A vonal merőleges és repülőgép.

Megoldás.

Keressük meg az adott egyenes irányvektorát és a sík normálvektorát, hogy ellenőrizzük az egyenes és a sík merőlegességéhez szükséges és elégséges feltétel teljesülését.

Az egyenes irányvektora egy