Dans de nombreux cas, la tâche d'obtention (de calcul) du spectre du signal est la suivante. Il y a un ADC, qui, avec une fréquence d'échantillonnage Fd, convertit un signal continu arrivant à son entrée pendant le temps T en lectures numériques - N pièces. Ensuite, le tableau de lectures est introduit dans un certain programme qui donne N / 2 de certaines valeurs numériques (le programmeur qui extrait d'internet a écrit un programme, prétend qu'il fait la transformée de Fourier).

Pour vérifier si le programme fonctionne correctement, nous allons former un tableau de lectures comme la somme de deux sinusoïdes sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) et le glisser dans le programme. Le programme a attiré ce qui suit:

fig.1 Graphique de la fonction temporelle du signal

fig.2 Graphique du spectre du signal

Sur le graphique du spectre, il y a deux bâtons (harmoniques) 5 Hz avec une amplitude de 0,5 V et 10 Hz - avec une amplitude de 1 V, le tout comme dans la formule du signal d'origine. Tout va bien, bravo programmeur ! Le programme fonctionne correctement.

Cela signifie que si nous appliquons un signal réel provenant d'un mélange de deux sinusoïdes à l'entrée de l'ADC, nous obtiendrons un spectre similaire composé de deux harmoniques.

Au total, notre réel signal mesuré, durée 5 s, numérisé par l'ADC, c'est-à-dire représenté discret compte, a discret non périodique spectre.

D'un point de vue mathématique, combien d'erreurs y a-t-il dans cette phrase ?

Maintenant que les autorités ont décidé que nous avons décidé que 5 secondes c'est trop long, mesurons le signal en 0,5 seconde.



fig.3 Graphique de la fonction sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) pour une période de mesure de 0.5 sec

fig.4 Spectre de fonctions

Quelque chose ne tourne pas rond! L'harmonique 10 Hz est tracée normalement, mais au lieu d'un stick 5 Hz, plusieurs harmoniques incompréhensibles sont apparues. Nous regardons sur Internet, quoi et comment ...

Dans, ils disent que des zéros doivent être ajoutés à la fin de l'échantillon et le spectre sera tracé normal.

fig.5 Zéros finis jusqu'à 5 secondes

fig.6 Nous avons obtenu le spectre

Toujours pas ce que c'était à 5 secondes. Il faut composer avec la théorie. Allons à Wikipédia- source de connaissances.

2. Une fonction continue et sa représentation par une série de Fourier

Mathématiquement, notre signal d'une durée de T secondes est une certaine fonction f(x) donnée sur l'intervalle (0, T) (X dans ce cas est le temps). Une telle fonction peut toujours être représentée comme une somme de fonctions harmoniques (sinus ou cosinus) de la forme :

K - numéro de la fonction trigonométrique (numéro de composante harmonique, numéro harmonique)
T - segment où la fonction est définie (durée du signal)
Ak - amplitude de la composante k-ième harmonique,
?k - phase initiale de la k-ième composante harmonique

Que signifie "représenter une fonction comme la somme d'une série" ? Cela signifie qu'en additionnant les valeurs des composantes harmoniques de la série de Fourier en chaque point, nous obtiendrons la valeur de notre fonction en ce point.

(Plus strictement, l'écart type de la série de la fonction f(x) tendra vers zéro, mais malgré la convergence quadratique moyenne, la série de Fourier de la fonction, d'une manière générale, n'est pas obligée de converger ponctuellement vers elle . Voir https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series .)

Cette série peut aussi s'écrire :

(2),
où , k-ième amplitude complexe.

La relation entre les coefficients (1) et (3) s'exprime par les formules suivantes :

Notez que ces trois représentations de la série de Fourier sont complètement équivalentes. Parfois, lorsque vous travaillez avec des séries de Fourier, il est plus pratique d'utiliser les exposants de l'argument imaginaire au lieu des sinus et des cosinus, c'est-à-dire d'utiliser la transformée de Fourier sous forme complexe. Mais il nous convient d'utiliser la formule (1), où la série de Fourier est représentée comme une somme d'ondes cosinus avec les amplitudes et phases correspondantes. Dans tous les cas, il est faux de dire que le résultat de la transformée de Fourier du signal réel sera les amplitudes complexes des harmoniques. Comme le wiki l'indique correctement, "La transformée de Fourier (?) Est une opération qui mappe une fonction d'une variable réelle à une autre fonction, également d'une variable réelle."

Total:
La base mathématique de l'analyse spectrale des signaux est la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier permet de représenter une fonction continue f(x) (signal) définie sur le segment (0, T) comme la somme d'un nombre infini (une série infinie) de fonctions trigonométriques (sinus et/ou cosinus) avec certaines amplitudes et phases, également considérées sur le segment (0, T). Une telle série est appelée série de Fourier.

Nous notons quelques points supplémentaires, dont la compréhension est nécessaire pour l'application correcte de la transformée de Fourier à l'analyse du signal. Si nous considérons la série de Fourier (la somme des sinusoïdes) sur tout l'axe X, alors nous pouvons voir qu'en dehors du segment (0, T) la fonction représentée par la série de Fourier répétera périodiquement notre fonction.

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction d'origine est définie sur le segment (-T \ 2, + T \ 2) et la série de Fourier représente une fonction périodique définie sur l'ensemble de l'axe des x.

En effet, les sinusoïdes elles-mêmes sont respectivement des fonctions périodiques et leur somme sera une fonction périodique.

fig.7 Représentation d'une fonction originale non périodique par une série de Fourier

De cette façon:

Notre fonction originale est continue, non périodique, définie sur un intervalle de longueur T.
Le spectre de cette fonction est discret, c'est-à-dire qu'il se présente comme une série infinie de composantes harmoniques - la série de Fourier.
En fait, une certaine fonction périodique est définie par la série de Fourier, qui coïncide avec la nôtre sur le segment (0, T), mais cette périodicité n'est pas essentielle pour nous.

Les périodes des composantes harmoniques sont des multiples du segment (0, T) sur lequel la fonction originale f(x) est définie. En d'autres termes, les périodes harmoniques sont des multiples de la durée de la mesure du signal. Par exemple, la période de la première harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T sur lequel la fonction f(x) est définie. La période de la deuxième harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T/2. Et ainsi de suite (voir Fig. 8).

fig.8 Périodes (fréquences) des composantes harmoniques de la série de Fourier (ici T = 2 ?)

Ainsi, les fréquences des composantes harmoniques sont des multiples de 1/T. C'est-à-dire que les fréquences des composantes harmoniques Fk sont égales à Fk = k\T, où k varie de 0 à ?, par exemple, k = 0 F0 = 0 ; k=1 F1=1\T ; k=2F2=2\T ; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (à fréquence nulle - composante constante).

Soit notre fonction originale un signal enregistré pendant T=1 sec. Alors la période de la première harmonique sera égale à la durée de notre signal T1=T=1 sec et la fréquence de l'harmonique est de 1 Hz. La période de la deuxième harmonique sera égale à la durée du signal divisée par 2 (T2=T/2=0,5 sec) et la fréquence est de 2 Hz. Pour la troisième harmonique T3=T/3 sec et la fréquence est de 3 Hz. Etc.

Le pas entre les harmoniques dans ce cas est de 1 Hz.

Ainsi, un signal d'une durée de 1 sec peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 1 Hz.
Pour augmenter la résolution de 2 fois à 0,5 Hz, il est nécessaire d'augmenter la durée de mesure de 2 fois - jusqu'à 2 secondes. Un signal d'une durée de 10 secondes peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 0,1 Hz. Il n'y a pas d'autres moyens d'augmenter la résolution en fréquence.

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la durée du signal en ajoutant des zéros au tableau d'échantillons. Mais cela n'augmente pas la résolution en fréquence réelle.

3. Signaux discrets et transformée de Fourier discrète

Avec le développement de la technologie numérique, les modes de stockage des données de mesure (signaux) ont également changé. Si auparavant le signal pouvait être enregistré sur un magnétophone et stocké sur bande sous forme analogique, maintenant les signaux sont numérisés et stockés dans des fichiers dans la mémoire de l'ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (comptes).

Le schéma habituel de mesure et de numérisation d'un signal est le suivant.

fig.9 Schéma du canal de mesure

Le signal du transducteur de mesure arrive au CAN pendant une durée T. Les échantillons de signal (échantillon) obtenus pendant la durée T sont transférés à l'ordinateur et stockés en mémoire.

fig.10 Signal numérisé - N lectures reçues dans le temps T

Quelles sont les exigences pour les paramètres de numérisation du signal ? Un appareil qui convertit un signal analogique d'entrée en un code discret (signal numérique) est appelé un convertisseur analogique-numérique (ADC, en anglais Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

L'un des principaux paramètres de l'ADC est le taux d'échantillonnage maximal (ou taux d'échantillonnage, taux d'échantillonnage en anglais) - la fréquence de prélèvement d'échantillons d'un signal continu dans le temps pendant son échantillonnage. Mesuré en hertz. ((wiki))

Selon le théorème de Kotelnikov, si un signal continu a un spectre limité par la fréquence Fmax, alors il peut être complètement et uniquement restauré à partir de ses échantillons discrets prélevés à des intervalles de temps , c'est-à-dire de fréquence Fd ? 2*Fmax, où Fd - fréquence d'échantillonnage ; Fmax - fréquence maximale du spectre du signal. En d'autres termes, le taux d'échantillonnage du signal (taux d'échantillonnage ADC) doit être au moins 2 fois la fréquence maximale du signal que l'on veut mesurer.

Et que se passera-t-il si nous prenons des lectures avec une fréquence inférieure à celle requise par le théorème de Kotelnikov ?

Dans ce cas, l'effet de "crénelage" (alias effet stroboscopique, effet moiré) se produit, dans lequel le signal haute fréquence après numérisation se transforme en un signal basse fréquence qui n'existe pas réellement. Sur la fig. 5 onde sinusoïdale rouge haute fréquence est le signal réel. L'onde sinusoïdale bleue de fréquence inférieure est un signal fictif résultant du fait que pendant le temps d'échantillonnage, plus d'une demi-période du signal haute fréquence a le temps de s'écouler.

Riz. 11. L'apparition d'un faux signal basse fréquence lorsque le taux d'échantillonnage n'est pas assez élevé

Pour éviter l'effet d'aliasing, un filtre anti-aliasing spécial est placé devant l'ADC - LPF (filtre passe-bas), qui laisse passer les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage ADC et coupe les fréquences plus élevées.

Afin de calculer le spectre d'un signal à partir de ses échantillons discrets, la transformée de Fourier discrète (DFT) est utilisée. On note encore une fois que le spectre d'un signal discret est "par définition" limité par la fréquence Fmax, qui est inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fd. Ainsi, le spectre d'un signal discret peut être représenté par la somme d'un nombre fini d'harmoniques, contrairement à la somme infinie pour la série de Fourier d'un signal continu, dont le spectre peut être illimité. Selon le théorème de Kotelnikov, la fréquence harmonique maximale doit être telle qu'elle comporte au moins deux échantillons, de sorte que le nombre d'harmoniques est égal à la moitié du nombre d'échantillons du signal discret. Autrement dit, s'il y a N échantillons dans l'échantillon, alors le nombre d'harmoniques dans le spectre sera égal à N/2.

Considérons maintenant la transformée de Fourier discrète (DFT).

Comparaison avec la série de Fourier

On voit qu'ils coïncident, sauf que le temps dans la DFT est discret et que le nombre d'harmoniques est limité à N/2 - la moitié du nombre d'échantillons.

Les formules DFT sont écrites en variables entières sans dimension k, s, où k sont les nombres d'échantillons de signal, s sont les nombres de composantes spectrales.
La valeur de s indique le nombre d'oscillations complètes de l'harmonique dans la période T (la durée de la mesure du signal). La transformée de Fourier discrète est utilisée pour trouver numériquement les amplitudes et les phases des harmoniques, c'est-à-dire "sur l'ordinateur"

Revenons aux résultats obtenus au début. Comme mentionné ci-dessus, lors de l'expansion d'une fonction non périodique (notre signal) en une série de Fourier, la série de Fourier résultante correspond en fait à une fonction périodique avec une période T. (Fig. 12).

fig.12 Fonction périodique f(x) avec période Т0, avec période de mesure Т>T0

Comme on peut le voir sur la figure 12, la fonction f(x) est périodique de période Т0. Cependant, du fait que la durée de l'échantillon de mesure T ne coïncide pas avec la période de la fonction T0, la fonction obtenue en série de Fourier présente une discontinuité au point T. Par conséquent, le spectre de cette fonction sera contiennent un grand nombre d'harmoniques à haute fréquence. Si la durée de l'échantillon de mesure T coïncidait avec la période de la fonction T0, alors seule la première harmonique (une sinusoïde de période égale à la durée de l'échantillon) serait présente dans le spectre obtenu après la transformée de Fourier, puisque la fonction f (x) est une sinusoïde.

En d'autres termes, le programme DFT "ne sait pas" que notre signal est un "morceau d'une onde sinusoïdale", mais essaie de représenter une fonction périodique comme une série, qui a un écart en raison de l'incohérence des différents morceaux de l'onde sinusoïdale.

En conséquence, des harmoniques apparaissent dans le spectre, qui au total devrait représenter la forme de la fonction, y compris cette discontinuité.

Ainsi, pour obtenir le spectre "correct" du signal, qui est la somme de plusieurs sinusoïdes de périodes différentes, il faut qu'un nombre entier de périodes de chaque sinusoïde s'ajuste sur la période de mesure du signal. En pratique, cette condition peut être remplie pendant une durée suffisamment longue de la mesure du signal.

Fig.13 Un exemple de la fonction et du spectre du signal de l'erreur cinématique de la boîte de vitesses

Avec une durée plus courte, l'image paraîtra "pire":

Fig.14 Un exemple de la fonction et du spectre du signal de vibration du rotor

En pratique, il peut être difficile de comprendre où sont les "composantes réelles" et où sont les "artefacts" causés par la non-multiplicité des périodes des composantes et la durée de l'échantillon du signal ou les "sauts et ruptures" de la forme d'onde. Bien sûr, les mots "composants réels" et "artefacts" ne sont pas entre guillemets pour rien. La présence de nombreuses harmoniques sur le graphique du spectre ne signifie pas que notre signal en "se compose" réellement. C'est comme penser que le nombre 7 "se compose" des nombres 3 et 4. Le nombre 7 peut être représenté comme la somme des nombres 3 et 4 - c'est correct.

Il en va de même pour notre signal ... ou plutôt, même pas "notre signal", mais une fonction périodique compilée en répétant notre signal (échantillonnage) peut être représentée comme une somme d'harmoniques (sinusoïdes) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est en effet possible de relier les harmoniques obtenues dans le spectre à des processus réels qui sont de nature cyclique et contribuent de manière significative à la forme du signal.

Quelques résultats

1. Le signal mesuré réel, de durée T sec, numérisé par le CAN, c'est-à-dire représenté par un ensemble d'échantillons discrets (N morceaux), a un spectre non périodique discret, représenté par un ensemble d'harmoniques (N/2 morceaux ).

2. Le signal est représenté par un ensemble de valeurs réelles et son spectre est représenté par un ensemble de valeurs réelles. Les fréquences harmoniques sont positives. Le fait qu'il soit plus pratique pour les mathématiciens de représenter le spectre sous une forme complexe en utilisant des fréquences négatives ne signifie pas que « c'est juste » et « qu'il faut toujours faire ainsi ».

3. Le signal mesuré sur l'intervalle de temps T est déterminé uniquement sur l'intervalle de temps T. Ce qui s'est passé avant que nous commencions à mesurer le signal, et ce qui se passera après cela, est inconnu de la science. Et dans notre cas - ce n'est pas intéressant. La DFT d'un signal limité dans le temps donne son spectre "réel", dans le sens où, sous certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fréquence de ses composantes.

Matériaux usagés et autres matériaux utiles.

La transformée de Fourier est le moyen le plus largement utilisé pour convertir une fonction arbitraire du temps en un ensemble de ses composantes de fréquence dans le plan des nombres complexes. Cette transformation peut être appliquée à des fonctions apériodiques pour déterminer leurs spectres, auquel cas l'opérateur complexe s peut être remplacé par /co :

Afin de déterminer les fréquences les plus intéressantes, une intégration numérique sur le plan complexe peut être utilisée.

Pour se familiariser avec les bases du comportement de ces intégrales, nous considérons plusieurs exemples. Sur la Fig. 14.6 (à gauche) montre l'impulsion de surface unitaire dans le domaine temporel et sa composition spectrale ; au centre - une impulsion de même surface, mais de plus grande amplitude, et à droite - l'amplitude de l'impulsion est infinie, mais sa surface est toujours égale à l'unité. L'image de droite est particulièrement intéressante car le spectre d'impulsions de largeur nulle contient toutes les fréquences d'amplitudes égales.

Riz. 14.6. Spectres d'impulsions de même largeur, le long du même piaosrdi

En 1822, le mathématicien français J. B. J. Fourier (J. B. J. Fourier) a montré dans ses travaux sur la conductivité thermique que toute fonction périodique peut être décomposée en composantes initiales, comprenant la fréquence de répétition et un ensemble d'harmoniques de cette fréquence, et chacune des harmoniques a sa propre amplitude et phase par rapport à au taux de répétition. Les formules de base utilisées dans la transformée de Fourier sont :

où A() est la composante continue, et A p et B p sont des harmoniques de la fréquence fondamentale d'ordre et, respectivement, en phase et en antiphase avec elle. La fonction f(*) est donc la somme de ces harmoniques et Lo-

Dans les cas où f(x) est symétrique par rapport à mc/2, c'est-à-dire e. f(x) sur la région de n à 2n = -f(x) sur la région de 0 à n, et il n'y a pas de composante continue, les formules de transformée de Fourier sont simplifiées en :

où n = 1, 3,5, 7…

Toutes les harmoniques sont des sinusoïdes, seules certaines d'entre elles sont en phase et certaines sont en décalage avec la fréquence fondamentale. La plupart des formes d'onde rencontrées en électronique de puissance peuvent être décomposées en harmoniques de cette manière.

Si la transformée de Fourier est appliquée à des impulsions rectangulaires d'une durée de 120°, alors les harmoniques seront un ensemble d'ordre k = bi ± 1, où n est l'un des nombres entiers. L'amplitude de chaque harmonique h par rapport à la première est liée à son numéro par la relation h = l//e. Dans ce cas, la première harmonique aura une amplitude 1,1 fois supérieure à l'amplitude d'un signal rectangulaire.

La transformée de Fourier donne la valeur d'amplitude pour chaque harmonique, mais comme elles sont toutes sinusoïdales, la valeur efficace s'obtient simplement en divisant l'amplitude correspondante par la racine de 2. La valeur efficace d'un signal complexe est la racine carrée de la somme de les carrés des valeurs efficaces de chaque harmonique, y compris la première.

Lorsqu'il s'agit de fonctions impulsionnelles répétitives, il est utile de considérer le rapport cyclique. Si les impulsions répétées de la Fig. 14.7 ont une valeur efficace X à l'instant A, alors la valeur efficace à l'instant B sera X(A/B) 1 2 . Ainsi, la valeur RMS des impulsions répétitives est proportionnelle à la racine carrée de la valeur du rapport cyclique. L'application de ce principe à une impulsion rectangulaire d'amplitude unitaire de 120° (rapport cyclique 2/3) donne la valeur efficace (2/3) 1/2 = 0,8165.

Riz. 14.7. Détermination de la racine carrée moyenne (RMS) pour les répétitions

impulsions

Il est intéressant de vérifier ce résultat en sommant les harmoniques correspondant au train d'onde carré mentionné. Dans le tableau. 14.2 montre les résultats de cette sommation. Comme vous pouvez le voir, tout correspond.

Tableau 14.2. Les résultats de la sommation des harmoniques correspondant à

signal périodique avec rapport cyclique 2/3 et amplitude unitaire

Numéro harmonique

Amplitude harmonique

Valeur efficace totale

À des fins de comparaison, tout ensemble d'harmoniques peut être regroupé et le niveau global correspondant de distorsion harmonique déterminé. Dans ce cas, la valeur quadratique moyenne du signal est déterminée par la formule

où h\ est l'amplitude de la première harmonique (fondamentale) et h„ est l'amplitude des harmoniques d'ordre n > 1.

Les composants responsables de la distorsion peuvent être écrits séparément comme

où n > 1. Alors

où Fund est la première harmonique et la distorsion harmonique totale (THD) est égale à D/Fund.

Bien que l'analyse des ondes carrées soit intéressante, elle est rarement utilisée dans le monde réel. Les effets de commutation et d'autres processus rendent les impulsions rectangulaires plus trapézoïdales ou, dans le cas des convertisseurs, avec un front montant décrit par l'expression 1 cos(0) et un front descendant décrit par cos(0), où 0< 0

sur une échelle logarithmique, la pente des sections correspondantes de ce graphique est de -2 et -1. Pour les systèmes avec des valeurs de réactance typiques, le changement de pente se produit approximativement aux fréquences de la 11e à la 35e harmonique de la fréquence du secteur, et avec une augmentation de la réactance ou du courant dans le système, la fréquence de changement de pente diminue . Le résultat pratique de tout cela est que les harmoniques supérieures sont moins importantes qu'on ne le pense.

Bien que l'augmentation de la réactance aide à réduire les harmoniques d'ordre supérieur, cela n'est généralement pas faisable. Il est plus préférable de réduire les composantes harmoniques dans le courant consommé en augmentant le nombre d'impulsions lors du redressement ou de la conversion de tension, réalisée par déphasage. Concernant les transformateurs, ce sujet a été abordé au Chap. 7. Si le convertisseur ou le redresseur à thyristors est alimenté par les enroulements du transformateur connectés par une étoile et un triangle et que les sorties du convertisseur ou du redresseur sont connectées en série ou en parallèle, un redressement à 12 impulsions est obtenu. Les nombres harmoniques dans l'ensemble sont maintenant k = \2n ± 1 au lieu de k = 6u + 1, où n est l'un des entiers. Au lieu d'harmoniques d'ordre 5 et 7, apparaissent maintenant des harmoniques d'ordre 11 et 13, dont l'amplitude est bien moindre. Il est tout à fait possible d'utiliser encore plus d'ondulations et, par exemple, les systèmes à 48 impulsions sont utilisés dans les grandes alimentations pour les installations électrochimiques. Étant donné que les grands redresseurs et convertisseurs utilisent des ensembles de diodes ou de thyristors connectés en parallèle, le surcoût des enroulements déphaseurs dans un transformateur détermine principalement son prix. Sur la Fig. 14.8 montre les avantages d'un circuit à 12 impulsions par rapport à un circuit à 6 impulsions. Les harmoniques de rang 11 et 13 dans un circuit à 12 impulsions ont une valeur d'amplitude typique d'environ 10 % de la première harmonique. Dans les circuits à grand nombre d'ondulations, les harmoniques sont de l'ordre k = pn + 1, où p est le nombre d'ondulations.

Pour l'intérêt, nous notons que les paires d'ensembles harmoniques qui sont simplement décalés les uns par rapport aux autres de 30° ne s'annulent pas dans un schéma à 6 impulsions. Ces courants harmoniques refluent à travers le transformateur ; ainsi, un déphasage supplémentaire est nécessaire pour obtenir la possibilité de leur annihilation mutuelle.

Toutes les harmoniques ne sont pas en phase avec la première. Par exemple, dans un jeu d'harmoniques triphasé correspondant à un train d'onde carré de 120°, les phases des harmoniques changent selon la séquence -5ème, +7ème, -11ème, +13ème, etc. En cas de déséquilibre dans un circuit triphasé, des composantes monophasées peuvent apparaître, ce qui entraîne un triplement des harmoniques avec un déphasage nul.

Riz. 14.8. Spectres de 6 et 12 transducteurs de pulsation

Les transformateurs d'isolement sont souvent considérés comme une panacée pour les problèmes d'harmoniques. Ces transformateurs ajoutent une certaine réactance au système et aident ainsi à réduire les harmoniques plus élevées, cependant, à part la suppression des courants homopolaires et l'isolation électrostatique, ils sont peu utiles.

Commençons par un circuit simple pour couvrir les concepts de base que nous utiliserons plus tard pour des circuits plus complexes. Sur la fig. 7.1 montre la tension d'entrée V BX.p = 1 V, c'est une onde sinusoïdale de fréquence F\u003d 1 kHz et une valeur maximale de 1 V (rms V dans=√2). Afin de fournir une tension de sortie fonction non linéaire de la tension d'entrée, une source de tension E commandée en tension (VUN) est utilisée comme amplificateur. Dans cet exemple, la dépendance de la tension de sortie sur l'entrée est affichée par la fonction

F(X) = 1 + X + X².

Riz. 7.1. Schéma avec une relation non linéaire entre les tensions d'entrée et de sortie

Cette relation fonctionnelle est affichée dans la commande E à l'aide de coefficients polynomiaux. Vue générale du polynôme :

F(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Pour arriver à notre exemple de dépendance, nous utilisons les trois derniers chiffres de la commande d'entrée E. Nous voulons faire une analyse harmonique pour voir quelles harmoniques sont présentes dans la tension de sortie, mais essayons d'abord de déterminer ce à quoi nous devons nous attendre.

Avant de procéder à l'expansion des dépendances temporelles dans une série de Fourier, il est nécessaire d'effectuer une analyse pour les processus transitoires (programme d'analyse transitoire dans PSpice).

Par conséquent, les commandes .TRAN et .FOUR doivent être utilisées. Typiquement, une analyse transitoire est effectuée pour une période complète de la fréquence fondamentale. Dans cet exemple F=1 kHz ; Par conséquent, J=1/F=1 ms. L'analyse harmonique reflète les composantes de fréquence jusqu'à la neuvième harmonique. Dans la plupart des cas, cela devrait être plus que suffisant. Si des harmoniques plus élevés sont affichés, ils n'auront pas beaucoup d'importance en raison de l'accumulation d'erreurs d'arrondi dans les résultats.

Pour donner une description plus détaillée de la tension d'entrée VBX, utilisez le formulaire péché pour décrire la source. Paramètres sin( un, b,Avec,…) moyenne: un- composante constante, b- valeur maximum, Avec- la fréquence, ré- retard, e- coefficient d'atténuation et F- phase.

Lorsqu'elle est incluse dans le fichier d'entrée, la commande .FOUR produit une analyse harmonique qui produit une expansion de Fourier des résultats de l'analyse transitoire. Les paramètres de cette commande comprennent la fréquence fondamentale et les variables pour lesquelles l'expansion sera obtenue. Dans cet exemple, ces variables seront des fonctions périodiques des tensions d'entrée V(1) et de sortie V(2). Fichier d'entrée :

Vin 1 0 sin(0 1 1000); arguments pour le décalage, le maximum et la fréquence

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; 3 dernières valeurs pour k0, k1, k2

Faites l'analyse, puis obtenez les tracés V(1) et (V)2. Assurez-vous que V(1) est une copie exacte de la tension d'entrée V VX. La tension de sortie doit montrer une composante continue et une onde complexe avec un maximum de 3 V. D'après une étude théorique de la série de Fourier, on peut conclure que ce graphique ressemble à une onde périodique constituée des harmoniques fondamentales et secondes. Il est conseillé d'imprimer une copie de ce graphique pour une étude future. Sur la fig. 7.2 montre ces graphiques.

Riz. 7.2. Graphiques de contraintes v 1 et v 2 pour le circuit de la fig. 7.1

Considérez également le fichier de sortie de ce circuit (Figure 7.3), qui affiche les valeurs suivantes pour les tensions de nœud : V(1)=0 V et V(2)=1 V. Cela signifie que bien que le signal d'entrée n'ait pas décalage, la tension de sortie a un décalage V(2)=1V.

Sur la fig. 7.3 dans le tableau des composantes de la série de Fourier pour V(1), toutes les composantes n'ont pas de valeurs réelles. Ainsi, la valeur de la composante constante devrait théoriquement être égale à zéro, mais l'analyse donne une très petite valeur de 3,5E-10, qui n'est pas exactement égale à zéro en raison de l'accumulation des erreurs d'arrondi.

analyse de Fourier ; Décomposition du polynôme

Vin 1 0 sin(0 1 1000); les arguments sont décalage, crête et fréquence

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; les 3 derniers 1 sont pour k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

FRÉQUENCE HARMONIQUE FOURIER NORMALISÉE PHASE NORMALISÉE

NO (HZ) COMPOSANT COMPOSANT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

DISTORSION HARMONIQUE TOTALE = 4,999939E+01 POUR CENT

Riz. 7.3. Le fichier de sortie avec les résultats de l'analyse du circuit dans la fig. 7.1

La première harmonique est l'harmonique fondamentale à F=1kHz. L'amplitude de la première harmonique de la série de Fourier et sa phase 2,4Е-7 (également presque nulle) sont indiquées. Si nous supposons que cette composante est exprimée par la formule

b n péché( nx),

alors cela signifie que b 1 =1, n=1, où l'indice 1 correspond à la fréquence fondamentale. D'autres harmoniques peuvent être ignorées, car leurs amplitudes sont inférieures de plusieurs ordres de grandeur à l'harmonique fondamentale. C'est l'harmonique fondamentale qui est reflétée dans le graphique V(1) de Probe, obtenu à partir des données de la Fig. 7.3.

Un autre tableau des composants de Fourier dans la fig. 7.3 fait référence à V(2). En regardant les différentes harmoniques, notez qu'il y a une composante continue de 1,5 V. Pourquoi 1,5 V ? Composant k 0 = 1 V ne donne qu'une partie de cette valeur, les 0,5 V restants sont associés à la seconde harmonique. La théorie montre qu'avec une distorsion harmonique dans la deuxième harmonique de la tension de sortie, en plus de la deuxième harmonique elle-même avec une amplitude b 2, une composante constante associée aux distorsions de la deuxième harmonique apparaît avec la valeur b 0 =b 2. L'amplitude de la fréquence fondamentale dans l'expansion est b 1 \u003d 1 V, amplitude de la deuxième harmonique b 2 = 0,5 V, son angle de phase est de -90°. Les harmoniques supérieures sont beaucoup plus petites et peuvent être ignorées.

En tant qu'exercice de synthèse harmonique, vous pouvez dessiner les harmoniques individuelles et les additionner pour prédire le résultat que vous obtenez dans Probe for V(2). N'oubliez pas de prendre en compte la composante continue et les amplitudes et phases correspondantes pour les harmoniques fondamentales et secondes. Une fois que vous avez dessiné la forme d'onde résultante, vous serez sans aucun doute ravi de savoir que PSpice peut faire le travail fastidieux pour vous.

Addition d'harmoniques et décomposition en composantes harmoniques

Créons un nouveau fichier d'entrée correspondant à la Fig. 7.4, sur lequel figure le schéma de la Fig. 7.1, deux autres sources de courant indépendantes sont ajoutées.

Nous avons utilisé deux sources uniquement afin que vous puissiez obtenir les harmoniques fondamentales et secondes sur le même tracé avec la tension de sortie. Des sources supplémentaires alimentent une résistance de 1 ohm connectée en parallèle. Un tel changement dans le schéma d'origine n'est pas du tout nécessaire, il s'est simplement avéré pratique avec un ensemble de paramètres donné. Le nouveau fichier d'entrée est une extension du fichier précédent et ressemble à ceci :

analyse de Fourier ; Décomposition du polynôme

Vin 1 0 sin(0 1 1000); arguments - décalage, amplitude et fréquence

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; 3 derniers enregistrements pour k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0.5 0.5 2000 0 0 -90)

Riz. 7.4. Schéma d'analyse de l'addition d'harmoniques et de l'expansion dans une série de Fourier

Avant d'effectuer l'analyse, examinons de plus près les descriptions de je 1 et je 2. Pour la synthèse harmonique, les résultats du développement en série de Fourier du problème précédent sont utilisés. Assurez-vous de comprendre la signification de tous les paramètres ; puis exécutez l'analyse dans Probe pour obtenir les tracés I(i1), I(i2) et I(r). Bien qu'il s'agisse de courants, ils sont numériquement égaux à des tensions, puisqu'ils traversent une résistance de 1 ohm. Sur la fig. 7.5 présente les résultats. Vous pouvez maintenant établir que le premier graphique est l'harmonique fondamentale, le second est la deuxième harmonique et le troisième est le résultat de leur addition dans une résistance r. Bien sûr, vous pouvez obtenir un tracé de V(3) au lieu de I(r). En même temps, l'axe Oui seront étiquetés en unités de tension, pas de courant. Vérifiez que la somme des deux premières courbes donne la troisième courbe à différents moments. Pour rendre le graphique plus compact, nous avons utilisé un décalage de 1V pour le fondamental et de 0,5V pour la 2ème harmonique. En fait, l'harmonique fondamentale a un décalage nul.

Riz. 7.5. Les harmoniques fondamentales et secondes et le résultat de leur addition

Deuxième distorsion harmonique dans les amplificateurs

Lorsque la zone de fonctionnement de l'amplificateur dépasse la partie linéaire de la caractéristique, cela entraîne une certaine distorsion. La première approximation de la courbe de sortie réelle est obtenue en incluant la deuxième harmonique dans le modèle, montrant que la fonction de transition reliant je c et je b(collecteur et courant de base) est une sorte de parabole. En règle générale, la distorsion est beaucoup plus faible que celle supposée dans notre premier exemple d'introduction, qui a été illustré à la Fig. 7.1. Un polynôme plus précis est donné par la formule

F(X) = 0,1 + X + 0,2X².

Il suffit de transformer simplement le fichier d'entrée d'origine pour refléter cette situation. Commande d'entrée pour la source dépendante E prendra la forme :

E 2 0 poly(1) 1,0 0,1 1 0,2; trois dernières valeurs pour k0, k1, k2

et le fichier d'entrée entier sera :

Exécutez l'analyse et obtenez les tracés V(1) et V(2) dans Probe. Vous verrez que les deux ondes ressemblent à de véritables ondes sinusoïdales. Pour une comparaison plus précise, supprimez le graphique V(2) et obtenez un graphique V(2)–0,1 à la place. Cela rapprochera les deux courbes. Lorsque vous comparez des ondes, rappelez-vous que V(1) n'est qu'une onde sinusoïdale et que V(2) est une combinaison d'harmoniques fondamentales et secondes. Dans cet exemple, la deuxième harmonique est beaucoup plus petite en amplitude que dans le précédent. Vous pouvez imprimer les résultats de l'étude illustrée à la fig. 7.6.

Riz. 7.6. Les harmoniques fondamentales et secondes et le résultat de leur addition

Après avoir quitté le programme Probe, considérez le fichier de sortie pour ce cas. La tension d'entrée V(1) est exactement la même que dans l'exemple précédent, mais V(2) est bien entendu différente. Veuillez noter que la composante CC de la tension de sortie est de 0,2 V et que la deuxième harmonique à F=2 kHz a une amplitude de 0,1 V et un angle de phase de -90°. Les autres harmoniques sont beaucoup plus petites et peuvent être négligées. Enfin, déterminez la distorsion harmonique totale, qui est très proche de 10 %, comme prévu. La deuxième distorsion harmonique est définie comme b 1 /b 2 où b 1 et b 2 - coefficients aux deuxième et fondamentale harmoniques, respectivement. Ces données sont présentées sur la fig. 7.7.

analyse de Fourier ; Deuxième distorsion harmonique, amplificateur de puissance

TENSION DE NŒUD TENSION DE NŒUD TENSION DE NŒUD TENSION DE NŒUD

COMPOSANTES DE FOURIER DE LA RÉPONSE TRANSITOIRE V(1)

FRÉQUENCE HARMONIQUE FOURIER NORMALISÉE PHASE NORMALISÉE

NO (HZ) COMPOSANT COMPOSANT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

DISTORSION HARMONIQUE TOTALE = 2,208405E-06 POUR CENT

COMPOSANTES DE FOURIER DE LA RÉPONSE TRANSITOIRE V(2)

FRÉQUENCE HARMONIQUE FOURIER NORMALISÉE PHASE NORMALISÉE

NO (HZ) COMPOSANT COMPOSANT (DEG) PHASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

DISTORSION HARMONIQUE TOTALE = 9,999880E+00 POUR CENT

Riz. 7.7. Les résultats de l'analyse de la deuxième distorsion harmonique dans les amplificateurs

Distorsion d'intermodulation

Nous utilisons un circuit simple (fig. 7.8) pour montrer comment deux ondes sinusoïdales sont combinées dans un dispositif non linéaire en utilisant des fréquences assez proches l'une de l'autre, à savoir F 1 =1kHz et F 2 = 1,5 kHz. Le mélange non linéaire a lieu dans le VCVS source dépendant du type e (INUN). Le polynôme décrivant la relation a plus de termes que dans l'exemple précédent :

F(X) = 1 + X + X² + X³.

Riz. 7.8. Circuit de démonstration de la distorsion d'intermodulation

Les courants, s'additionnant, créent dans R= 1 Ω tension V(1), numériquement égale au courant dans R Ainsi, la tension d'entrée V(1) peut être considérée comme la tension dans un mélangeur non linéaire. Étant donné que les ondes sinusoïdales ont des fréquences différentes, leur somme est une oscillation périodique complexe avec une fréquence différente de la fréquence des composants d'origine (fréquence de battement). Fichier d'entrée :

Exécutez la simulation et accédez à la sonde V(1). Sélectionnez Plot, X-Axis Settings…, User Defined et définissez la plage de 0 à 10 ms pour obtenir une tension d'entrée stable. Ce graphique est représenté sur la Fig. 7.9. Pour confirmer qu'il s'agit bien de la somme des harmoniques 1 et 1,5 kHz, nous sélectionnons Trace, Fourier, en passant du domaine temporel au domaine fréquentiel. Modifions les bordures le long de l'axe X en réglant la plage de fréquence de 4 à 12 kHz. Assurez-vous que les paramètres d'axe correspondent aux fréquences souhaitées et aux amplitudes attendues. En fait, quand F\u003d 1 kHz, la tension est de 0,991 V, et à F= 1,5 kHz, c'est 0,979 V. Gardez à l'esprit qu'il y a une erreur d'accumulation avec cette synthèse. Sur la fig. 7.10 montre la réponse en fréquence correspondante.

Riz. 7.9. Tension de sortie à la distorsion d'intermodulation

Riz. 7.10. Composition spectrale de la tension d'entrée

Sélectionnez ensuite Trace, End Fourier pour revenir au domaine temporel, supprimez le tracé V(1) et obtenez la tension de sortie du mélangeur V(2). Rappelons que le mélangeur est un INUN avec une connexion polynomiale donnée par la fonction F(X). La dépendance temporelle est un graphique similaire au graphique V (1), mais un examen plus approfondi révèle que les formes de contrainte sont significativement différentes. Quelques indices peuvent être tirés du contenu harmonique de cette forme d'onde complexe, il faudra donc remonter dans le domaine fréquentiel en sélectionnant une plage le long de l'axe X de 0 à 5 kHz. Nous vous recommandons d'imprimer le spectre de fréquences pour une étude plus approfondie. L'analyse théorique des composants de modulation de fréquence vous permet de prédire et de vérifier les résultats de l'analyse sur PSpice. Notez qu'il existe une composante 2 V CC ainsi que des composantes significatives dans la plage de 0,5 à 4,5 kHz (voir Figure 7.11 pour le spectre de fréquences).

Riz. 7.11. Composition spectrale de la tension de sortie

Ajout d'harmoniques

Le cas le plus simple pour l'analyse théorique est le cas d'un effet harmonique sur un circuit composé de composants linéaires tels que des résistances, des condensateurs et des inductances, et, comme vous le savez, la réponse est une oscillation harmonique à la même fréquence du signal d'entrée. Différentes chutes de tension dans le circuit sont également des oscillations harmoniques de même fréquence, ne différant que par l'amplitude et la phase. Utilisons un schéma simple pour illustrer certaines de ces propriétés. Sur la fig. 7.12 montre trois sources de tension alimentant un circuit contenant des résistances R= 1 ohm et R 1 = R 2 \u003d 0,001 Ohm. Les deux dernières résistances sont nécessaires pour rendre les sources de tension non idéales. À l'aide de ce diagramme, nous pouvons montrer l'ajout d'ondes sinusoïdales dans Probe. Fichier d'entrée :

Addition d'ondes sinusoïdales de même fréquence

*L'ordre des paramètres dans une expression complexe pour les harmoniques

*composantes : décalage, amplitude, fréquence, retard, atténuation, phase

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); phase=45 degrés

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); phase=90 degrés

Riz. 7.12. Schéma d'ajout de signaux harmoniques d'une fréquence

Exécutez la simulation et Probe plots v(1), v(2) et v=v(1)+v(2). Les graphiques résultants montrent la tension v 2 avec un retard maximum d'environ 45° par rapport au maximum v 1 , et la tension totale v 1 +v 2 avec un maximum situé entre leurs valeurs maximales. Assurez-vous que le maximum v 1 = 1 V atteint à 251 µs (90°), maximum v 2 \u003d 1 V - au moment de 131 μs (47,16 °) et maximum v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - au moment de 171 μs (61,56 °). Supprimez ces graphiques et obtenez les dépendances temporelles pour d'autres combinaisons de tensions, par exemple, pour v(1), v(3) et v(1)+v(3). En fonction de votre capacité à ajouter des vecteurs de contrainte, essayez de prédire la valeur d'amplitude de la somme des contraintes avant d'obtenir les tracés de sonde illustrés à la figure 2. 7.13.

Riz. 7.13. Le résultat de l'addition de signaux harmoniques de même fréquence

Addition des harmoniques fondamentales et secondes

Dans le fichier d'entrée correspondant au schéma de la Fig. 7.12, vous pouvez facilement faire varier les paramètres et la composition des alimentations. supprimons v 3 et doubler la fréquence de tension v 2 pour devenir la deuxième fréquence harmonique pour v une . Bien entendu, l'oscillation résultante deviendra immédiatement non sinusoïdale. En fait, sa forme dépendra du rapport des angles de phase v 1 et v 2. Laissez les deux harmoniques atteindre leur maximum simultanément dans l'exemple considéré. Fichier d'entrée pour ce cas :

Ajout d'ondes sinusoïdales ; Fondamental et 2nd Harmonic Peaking Ensemble

Exécutez la simulation et tracez v(1), v(2) et v=v(1)+v(2) dans Probe. Parce que le v 1 et v 2 crête en même temps, le maximum de l'oscillation résultante est de 2 V, mais lorsque l'harmonique fondamentale atteint un maximum négatif, la deuxième harmonique revient à un maximum positif et leur somme passe à zéro. Il est clair que la fluctuation totale ( v 1 +v 2) non sinusoïdale. Ces graphiques sont représentés sur la fig. 7.14.

Riz. 7.14. Le résultat de l'addition des première et deuxième harmoniques

La modulation d'amplitude

Un graphique intéressant d'une forme d'onde modulée en amplitude peut être obtenu dans PSpice en utilisant la fonction de multiplication des ondes harmoniques avec des fréquences significativement différentes. Sur la fig. 7.15 montre un circuit simulant un tel dispositif. La première source d'harmonique est v 1 avec une fréquence de 1 kHz. deuxième origine v 2 a une fréquence de 20 kHz. La multiplication est effectuée dans la source dépendante e, qui est l'INUN (VCVS). Des résistances sont nécessaires pour éviter les potentiels flottants. Fichier d'entrée :

e 3 0 poly(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Riz. 7.15. Multiplicateur pour modulation sinusoïdale

Les cinq dernières entrées de la commande d'entrée source polynomiale sont : 0 0 0 0 1. Rappelez-vous que ce sont les valeurs des coefficients dans les termes k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 et k 4 v 1 v 2. Toutes les valeurs sont 0 sauf k 4 , qui est égal à 1.

Exécutez la simulation et obtenez les tracés v(1) et v(3) dans Probe. La composante harmonique de fréquence 20 kHz n'est volontairement pas construite sur le graphe général, afin de ne pas compliquer la compréhension des processus. L'oscillation résultante v(3) a la forme classique d'une oscillation modulée en amplitude. Dans cet exemple, les deux harmoniques d'entrée v 1 et v 2 ont une amplitude de 1 V. Les graphiques sont représentés sur la fig. 7.16.

Riz. 7.16. Le résultat de l'étude des signaux modulés en amplitude

Toujours dans Probe, ajoutez une autre tension d'entrée v(2) tracée pour afficher toutes les tensions : v(1), v(2) et v(3). Or ce graphique contient, avec les deux autres ondes, la porteuse, donnant l'image complète. Obtenez une impression pour une étude plus approfondie, puis supprimez le tracé v(2) et sélectionnez Trace, Fourier. Installer le long de l'axe X limites de gamme de 0 à 30 kHz. Le domaine fréquentiel affiche désormais les composantes 1,19 kHz et 21 kHz. Les dernières composantes sont les fréquences latérales supérieure et inférieure résultant de cette modulation. Déterminez l'amplitude de chacune de ces ondes. Rappelez-vous l'identité trigonométrique,

(péché un)(péché b) = 0.5,

ce qui explique les amplitudes de 0,5 V pour les fréquences de la bande latérale. Reportez-vous à la fig. 7.17, qui montre le spectre de fréquences. (Les marqueurs ont été supprimés pour une image plus claire.) Analysez avec différentes amplitudes relatives pour la tension de modulation v 1 pour voir quel effet cela a sur la profondeur de modulation t. Par exemple, lorsque v 1 a une amplitude de 0,8, quelle est la profondeur de modulation et à quoi ressemble l'oscillation résultante ?

Riz. 7.17. Spectre de fréquence d'une oscillation modulée en amplitude

Un aperçu des nouvelles commandes PSpice utilisées dans ce chapitre

.QUATRE <частота>*<выходные переменные>

Par exemple, l'entrée

montre qu'un développement de Fourier est en cours. La décomposition ne peut être effectuée qu'après avoir obtenu la dépendance temporelle de l'état stationnaire obtenue lors de l'analyse du transitoire. Une telle commande doit être présente dans le fichier d'entrée :

TRANS <шаг><момент окончания>

Tâches

L'analyse harmonique donne la composante continue de la fondamentale et toutes les harmoniques jusqu'à la neuvième incluse. Leurs amplitudes et phases sont affichées avec des valeurs réelles et relatives. Dans l'exemple précédent, V(1) et V(2) et leurs composants ont été analysés. Habituellement, pour effectuer une analyse harmonique, la commande est utilisée .SONDE: cependant, les commandes peuvent également être utilisées à la place .IMPRIMER ou .TERRAIN.

7.1. Sur la fig. 7.18 le polynôme pour E a la forme

F(X) = X + X².

Riz. 7.18

Utilisant v je pointe=1 V, F=1 kHz et V= 1 Comparer v 0 s v je. Prédire le contenu harmonique approximatif de la tension de sortie ; puis effectuez une analyse sur PSpice qui montrera le contenu harmonique des tensions d'entrée et de sortie. Dans la commande .FOUR, utilisez les tensions V(2, 1) et V(3). Examinez le fichier de sortie et déterminez le contenu harmonique de V(3).

7.2. Dans le problème 7.1, utilisez Trace, Fourier pour obtenir le contenu harmonique de V(3). Affichage V(2,1) et V(3), régler l'axe X limites de 0 à 5 kHz.

7.3. Effectuez l'analyse du problème 7.1 avec

F(X) = 2 + 0,1X².

Prédire le contenu harmonique approximatif de la tension de sortie ; puis tracez V(2,1) et V(3) pour vérifier l'exactitude de vos prédictions.

7.4. Sur la fig. 7.4 montre une source polynomiale E. Elle a été donnée par

F(X) = 1 + X + X².

Changez le polynôme en

F(X) = X + X²,

et effectuer la synthèse et la décomposition en changeant je 1 et je 2 pour que le courant I(r) suive l'allure de la tension V(2).

7.5. Dans la section "Second Harmonic Distortion in Amplifiers" de ce chapitre, remplacez le polynôme par ce qui suit :

F(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

et exécutez l'analyse sur PSpice comme suggéré dans le texte. Obtenez un tracé de V(1) et (V)2-0,05 pour comparer les tensions d'entrée et de sortie variables. Prédisez les valeurs de la composante continue de la tension de sortie, l'amplitude et la phase de la deuxième harmonique et la distorsion harmonique totale. Testez vos prédictions par rapport aux résultats de Probe et au fichier de sortie.

7.6. Dans la section Intermodulation Distortion, nous avons combiné deux ondes sinusoïdales de fréquences différentes. Effectuer des analyses à des fréquences F 1 =2 kHz et F 2 = 2,5 kHz, laissant l'expression pour F(X) sans changement. Modifiez la commande .TRAN en fonction de la tâche. Suivez les étapes dans le même ordre que dans l'exemple de texte pour tester vos prédictions sur le contenu harmonique de la tension de sortie.

7.7. Dans la section "Ajout d'harmoniques" de la fig. 7.12 montre des branches parallèles avec trois sources de tension. L'addition des harmoniques était plus mathématique que physique. Modifiez le circuit de sorte que toutes les sources de tension soient connectées en série, puis relancez l'analyse. Avez-vous obtenu les mêmes résultats ?

7.8. Effectuer une analyse pour ajouter les tensions harmoniques à fréquence unique suivantes F=1 kHz :

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V et v 23 =1.5∠90° V.

Où:

a) Trouver la valeur maximale ( v 1 +v 2), ainsi que le temps et l'angle de phase auquel le maximum est atteint.

b) Répétez l'étape a) pour ( v 1 +v 3).

Lorsque vous utilisez le mode curseur et plusieurs graphiques sur le même écran, utilisez les touches [ ctrl] et les flèches ← et → pour sélectionner sur lequel des graphiques le curseur doit se déplacer.

7.9. Pour illustrer l'effet de l'ajout d'harmoniques avec des fréquences proches, effectuez l'analyse comme dans le problème 7.8 pour l'ensemble de paramètres suivant : v 1 =1∠0°V, F 1 =1kHz, v 1 =1∠0°V, F 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 =1∠0°V et F 3=1,4 kHz :

a) Obtenir les graphiques v 1 , v 2 et ( v 1 +v 2). Trouver la valeur maximale ( v 1 +v 2).

b) Obtenir des graphiques v 1 , v 3 et ( v 1 +v 3). Trouver la valeur maximale ( v 1 +v 3).

7.10. Résolvez le problème de la section sur la modulation d'amplitude en réglant v 1 = 1 V à 1 kHz, et changeant v 1 pour que la profondeur de modulation soit de 0,5. Exécutez l'analyse sur PSpice pour afficher vos résultats.

Comme vous le savez, dans l'industrie de l'énergie électrique, une forme sinusoïdale est adoptée comme forme standard pour les courants et les tensions. Cependant, dans des conditions réelles, les formes des courbes de courants et de tensions peuvent différer dans une certaine mesure de celles sinusoïdales. Des distorsions dans les formes des courbes de ces fonctions dans les récepteurs entraînent des pertes d'énergie supplémentaires et une diminution de leur efficacité. La forme sinusoïdale de la courbe de tension du générateur est l'un des indicateurs de la qualité de l'énergie électrique en tant que marchandise.

Les raisons suivantes de la distorsion de la forme des courbes de courants et de tensions dans un circuit complexe sont possibles :

1) la présence dans le circuit électrique d'éléments non linéaires dont les paramètres dépendent des valeurs instantanées de courant et de tension (par exemple, redresseurs, postes de soudage électrique, etc.);

2) la présence dans le circuit électrique d'éléments paramétriques dont les paramètres évoluent dans le temps ;

3) la source d'énergie électrique (générateur triphasé), en raison des caractéristiques de conception, ne peut pas fournir une forme sinusoïdale idéale de la tension de sortie ;

4) influence dans le complexe des facteurs énumérés ci-dessus.

Les circuits non linéaires et paramétriques sont traités dans des chapitres distincts du cours TOE. Ce chapitre étudie le comportement des circuits électriques linéaires lorsqu'ils sont exposés à des sources d'énergie avec une forme d'onde non sinusoïdale.

Il est connu du cours de mathématiques que toute fonction périodique du temps f(t) qui satisfait les conditions de Dirichlet peut être représentée par une série de Fourier harmonique :

Ici А0 est une composante constante, Ak*sin(kωt+ αk) est la composante k-ième harmonique ou k-ième harmonique en bref. La 1ère harmonique est appelée la fondamentale et toutes les harmoniques suivantes sont appelées les plus hautes.

Les amplitudes des harmoniques individuelles Ak ne dépendent pas de la méthode de développement de la fonction f(t) dans une série de Fourier, en même temps, les phases initiales des harmoniques individuelles αk dépendent du choix de la référence temporelle (origine).

Les harmoniques individuels de la série de Fourier peuvent être représentés comme la somme des composantes sinus et cosinus :

Alors toute la série de Fourier prendra la forme :

Les rapports entre les coefficients des deux formes de la série de Fourier sont :

Si la k-ième harmonique et ses composantes sinus et cosinus sont remplacées par des nombres complexes, alors la relation entre les coefficients de la série de Fourier peut être représentée sous forme complexe :

Si une fonction périodique non sinusoïdale du temps est donnée (ou peut être exprimée) analytiquement sous la forme d'une équation mathématique, alors les coefficients de la série de Fourier sont déterminés par les formules connues du cours de mathématiques :

En pratique, la fonction non sinusoïdale étudiée f (t) est généralement définie sous la forme d'un diagramme graphique (graphiquement) (Fig. 46.1) ou sous la forme d'un tableau de coordonnées de points (tabulaire) dans l'intervalle d'un période (tableau 1). Pour effectuer une analyse harmonique d'une telle fonction selon les équations ci-dessus, il faut d'abord la remplacer par une expression mathématique. Le remplacement d'une fonction donnée graphiquement ou tabulairement par une équation mathématique est appelé approximation de fonction.

Actuellement, l'analyse harmonique des fonctions non sinusoïdales du temps f(t) est effectuée, en règle générale, sur un ordinateur. Dans le cas le plus simple, une approximation linéaire par morceaux est utilisée pour la représentation mathématique d'une fonction. Pour ce faire, la fonction entière dans l'intervalle d'une période complète est divisée en M = 20-30 sections afin que les sections individuelles soient aussi proches que possible des lignes droites (Fig. 1). Dans des sections séparées, la fonction est approximée par l'équation de ligne droite fm(t)=am+bm*t, où les coefficients d'approximation (am, bm) sont déterminés pour chaque section par les coordonnées de ses extrémités, par exemple, pour la 1ère section nous obtenons:

La période de la fonction T est divisée en un grand nombre de pas d'intégration N, le pas d'intégration Δt=h=T/N, le temps courant ti=hi, où i est le nombre ordinal du pas d'intégration. Certaines intégrales dans les formules d'analyse harmonique sont remplacées par les sommes correspondantes, elles sont calculées sur ordinateur selon la méthode du trapèze ou du rectangle, par exemple :

Pour déterminer les amplitudes des harmoniques supérieures avec une précision suffisante (δ≤1%), le nombre d'étapes d'intégration doit être d'au moins 100k, où k est le nombre d'harmoniques.

En technologie, des dispositifs spéciaux appelés analyseurs d'harmoniques sont utilisés pour isoler les harmoniques individuelles des tensions et courants non sinusoïdaux.

Fourier et Hartley transforment les fonctions de transformation du temps en fonctions de fréquence contenant des informations d'amplitude et de phase. Voici les graphiques d'une fonction continue g(t) et discret g(τ), où t et τ sont des instants de temps.

Les deux fonctions commencent à zéro, passent à une valeur positive et décroissent de manière exponentielle. Par définition, la transformée de Fourier d'une fonction continue est une intégrale sur tout l'axe réel, F(F), et pour une fonction discrète, la somme sur un ensemble fini d'échantillons, F(ν):

où F, ν sont des valeurs de fréquence, n est le nombre de valeurs d'échantillon de la fonction, et je=√ –1 est l'unité imaginaire. La représentation intégrale est plus adaptée aux études théoriques, et la représentation sous forme de somme finie est plus adaptée aux calculs informatiques. Les transformées intégrales et discrètes de Hartley sont définies de manière similaire :

Bien que la seule différence de notation entre les définitions de Fourier et de Hartley soit la présence d'un facteur devant le sinus, le fait que la transformée de Fourier ait à la fois une partie réelle et une partie imaginaire rend les représentations des deux transformées assez différentes. Les transformées discrètes de Fourier et de Hartley ont essentiellement la même forme que leurs homologues continues.

Bien que les tracés semblent différents, les mêmes informations d'amplitude et de phase peuvent être dérivées des transformées de Fourier et de Hartley, comme indiqué ci-dessous.

L'amplitude de Fourier est déterminée par la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. L'amplitude de Hartley est donnée par la racine carrée de la somme des carrés H(–v) et H(ν). La phase de Fourier est déterminée par l'arc tangente de la partie imaginaire divisée par la partie réelle, et la phase de Hartley est déterminée par la somme de 45° et l'arc tangente de H(–ν) divisé par H(ν).