Máximo sistema de propiedades del sistema de valores. Tikhon Tarnavsky. Maxima es la máxima libertad de cálculos simbólicos. Tarea en casa

Dado que en este ciclo de artículos, hablaremos sobre un programa matemático para cálculos simbólicos, para comenzar algunas palabras sobre el hecho de que estos son los más simbólicos o, a medida que también se llaman, los cálculos analíticos, en contraste con los cálculos numéricos. Se sabe que las computadoras operan con números (enteros y punto y coma flotantes). Por ejemplo, las soluciones de la ecuación x 2 \u003d 2 x + 1 se pueden obtener como -0.41421356 y 2.41421356, y 3 x \u003d 1 - como 0.33333333. Pero me gustaría ver no un registro digital aproximado, sino un valor preciso, es decir, 1 ± √2 en el primer caso y 1/3 en el segundo. Desde este ejemplo más sencillo, comienza la diferencia entre los cálculos numéricos y simbólicos. Pero además de esto, todavía hay tareas que generalmente son imposibles de resolver numéricamente. Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas donde en forma de una solución deben expresarse por un desconocido por parámetro; o encontrar un derivado de la función; Sí, casi cualquier tarea suficientemente común puede resolverse solo en forma simbólica. Por lo tanto, no es sorprendente que, para tal clase de tareas, aparecieran programas informáticos, operando no solo por números, y por casi cualquier objeto matemático, desde vectores hasta tensores, desde funciones hasta ecuaciones diferenciales integrales, etc.

MAXIM EN CIENCIA Y EDUCACIÓN

Entre el software matemático para la computación analítica (simbólica) es el comercial más conocido ( Arce., Mathematica.) Esta es una herramienta muy poderosa para un científico o maestro, estudiante de posgrado o estudiante, que le permite automatizar la mayor parte de la rutina y requiere un mayor aumento de la atención del trabajo que opera el registro de datos analíticos, es decir, las fórmulas matemáticas. Este programa se puede llamar un medio de programación, con la diferencia de que las designaciones matemáticas se utilizan como elementos del lenguaje de programación.

El programa que se ha convertido en el tema del artículo funciona en los mismos principios y proporciona una funcionalidad similar; La diferencia más radical es que no es ni comercial ni cerrado. En otras palabras, estamos hablando de un programa gratuito. De hecho, el uso libre de libre para la ciencia fundamental que el comercial, ya que el modelo que se usa en el software libre es un modelo de apertura y accesibilidad de todos los desarrollos. Obviamente, las mismas propiedades son inherentes a la investigación científica. Usando dichos enfoques similares, en realidad puede considerar las extensiones de la funcionalidad del programa gratuito o las bibliotecas adicionales que se pueden crear para sus necesidades en el proceso de investigación científica, como parte integral de los resultados de dichos estudios. Y estos resultados pueden usarse y propagarse a discreción del usuario sin tener en cuenta las limitaciones impuestas por las licencias del software original. En el caso de software comercial, que es propiedad de su fabricante, este tipo de libertad es significativamente limitada, de la imposibilidad de transmitir libremente (y legalmente) para transmitirse a dicho software junto con los desarrollos y hasta las posibles demandas de patentes del desarrollador. Empresa en el caso de la distribución de bibliotecas adicionales caseras.

Por otro lado, la dirección principal, excepto los desarrollos científicos, donde dichos programas están en demanda, esta es una educación superior; Y el uso de software libre para las necesidades de capacitación es una oportunidad real para la universidad, y para que los estudiantes y maestros tengan copias legales de dicho software a su disposición, e incluso con costos significativos y en efectivo.

Este artículo abre un ciclo dedicado a un programa gratuito de computación analítica. Maxima.. Este ciclo intentaré darle la impresión más completa del programa: se dedicará a los principios y lo básico de trabajar con Maxima y la descripción de sus oportunidades más amplias y ejemplos prácticos.

Un poco de historia

La historia del proyecto, conocida bajo el nombre de Maxima, comenzó a fines de los años 60 en el legendario MIT (Instituto de Tecnología de Massachusetts - Instituto de Tecnología de Massachusetts), cuando, en el marco del gran proyecto MAC que existía en esos años. , el trabajo comenzó en el programa de cálculo simbólico que recibió el nombre de MacSyma (desde la manipulación simbólica de Mac). La arquitectura del sistema fue desarrollada en julio de 1968, la programación directamente comenzó en julio de 1969. Lisp fue elegido como un lenguaje para el desarrollo del sistema, y \u200b\u200bla historia ha demostrado cómo es la elección correcta: desde los idiomas de programación existentes, es el único Uno continúa desarrollándose y ahora, casi medio siglo después del inicio del proyecto. Los principios basados \u200b\u200ben el proyecto fueron prestados más tarde por los programas comerciales más activamente desarrollados, Mathematica y Maple; Así, MacSyma en realidad se convirtió en una fuente de todas las direcciones de los programas de matemáticas simbólicas. Naturalmente, MacSyma fue un proyecto comercial cerrado; Fue financiado por organizaciones públicas y privadas, entre las que se incluyeron en la historia de ARPA (Agencia avanzada de proyectos de investigación; ¿Recuerdas a ARPANET - ANTINET ANCESTOR?), Departamentos de Energía y Defensa (Departamentos de Energía y Defensa, Doe y DoD). El proyecto se desarrolló activamente, y las organizaciones que controlan la cambiaron más de una vez, ya que siempre sucede con proyectos cerrados de larga duración. En 1982, el profesor William Shelter comenzó a desarrollar su versión en función del mismo código llamado Maxima. En 1998, el estante logró obtener el derecho de publicar el código bajo la licencia GPL. El proyecto inicial MacSyma dejó de existir en 1999. William Shender continuó desarrollando Maxima hasta su muerte en 2001. Pero lo que es característico del software abierto, el proyecto no murió con su autor y curador. Ahora el proyecto continúa desarrollándose activamente, y la participación en ella es la mejor tarjeta de presentación para matemáticos y programadores de todo el mundo.

Unas pocas palabras sobre el programa.

En este momento, Maxima está disponible en dos plataformas: sistemas compatibles con Unix, I.E. Linux y * BSD, y MS Windows. Por supuesto, hablaré de la versión de Linux.

Maxima en sí es un programa de consola, y todas las fórmulas matemáticas rinden con símbolos de texto convencionales. Hay al menos dos ventajas en esto. Por un lado, Maxima en sí puede usarse como un kernel, tracción de las interfaces gráficas en la parte superior para cada gusto. Hoy existen mucho; Esta vez, me centraré en los dos más populares (ver el inserto), y el más visual y conveniente en el trabajo, y sobre el resto, hagamos en los siguientes problemas; También son interesantes por su cuenta, aunque más específicos.

Por otro lado, por sí mismo, sin complementos de interfaz, Maxima no está involucrando a la glándula y puede trabajar en computadoras que nadie se considere ahora para las computadoras (esto puede ser relevante, por ejemplo, para una universidad o un laboratorio científico , Que no tiene dinero para actualizar el estacionamiento de automóviles, y puede ocurrir la necesidad de cálculos simbólicos).

Los nombres de las funciones y variables en la máxima son sensibles al registro, es decir, las letras mayúsculas y minúsculas difieren en ellas. Esto no estará en una novedad, a nadie que ya haya tratado con sistemas compatibles con POSIX o con tales lenguajes de programación, como decir, C o Perl. Convenientemente, desde el punto de vista de las matemáticas, para las cuales también es familiar que los objetos diferentes se pueden designar en letras mayúsculas y minúsculas (por ejemplo, los conjuntos y sus elementos, respectivamente).

Para empezar a trabajar con el programa, necesitará Maxima; Si no estará en los repositorios estándar de su distribución, puede llevarlo en el sitio del proyecto, cuya dirección se da en la inserción.

Los principios de trabajar con el programa no dependen de qué interfaz, elegirá, por lo que intentaré abstractar lo más posible de una interfaz específica, limitado a pequeños comentarios en los casos en que se comportan de manera diferente.

En este momento, la última versión del programa - 5.9.3, hablaré de ello; Si una versión anterior todavía está presente en su distribución, puede usarla en principio: y relevante hace unos meses más de meses 5.9.2, y a fines del año pasado 5.9.1 No tiene las diferencias fundamentales actuales.

Interfaces gráficos para maxim

Desde el punto de vista de la familiarización con Maxima en sí, dos interfaces son de mayor interés.

El primero es un programa gráfico independiente independiente por nombre. . Ella, como Maxima, además de Linux / * BSD, también está en la versión para MS Windows. En WXMAXIMA, ingresa fórmulas en forma de texto, y la salida máxima se muestra los símbolos matemáticos gráficamente familiares. Además, el gran énfasis aquí se hace en la conveniencia de ingresar: la línea de comandos se separa de la ventana de E / S, y los botones opcionales y el sistema de menú le permiten ingresar comandos no solo en texto, sino también en el cuadro de diálogo modo. El llamado "Autocillamiento" en la línea de comandos está en realidad con tal solo la similitud, que se llama la tecla TAB. Lamentablemente, se dirige, al igual que una historia del equipo inteligente, es decir, causa que el comando de la ya ingrese en esta sesión, que comienza con los caracteres especificados en la línea de comandos, pero no complementa los nombres de comandos y sus parámetros. Por lo tanto, esta interfaz es más conveniente cuando necesita calcular mucho y ver los resultados en la pantalla; Y más, tal vez, si no le gusta ingresar todos los comandos desde el teclado. Además, WXMAXIMA proporciona una interfaz conveniente para la documentación del sistema; Aunque, dado que la documentación viene en formato HTML, se puede usar un navegador ordinario.

El segundo es una interfaz bastante interesante para Maxima: este es un modo adicional en el editor . Aunque este editor tiene un pasado histórico general con emacs ampliamente conocidos, que está claro desde el nombre, pero hay poca similitud práctica entre ellos. Se está desarrollando TexMacs para la edición visual de los textos de los temas científicos en los que ves el texto editable en la pantalla en casi la misma forma en que se imprimirá. En particular, tiene el llamado Modo de entrada matemático, muy conveniente para trabajar con las fórmulas más diversas, y puede importar / exportar texto en látex y XML / HTML. Son las posibilidades de trabajar con fórmulas usando Maxima, causadas por Texmacs'a. De hecho, las fórmulas se muestran en la notación matemática habitual, pero se puede editar y copiar a otros documentos como texto ordinario. La sesión Maxima se llama desde el menú: " insertar → Sesión → Maxima."Esto aparece un menús adicional con los comandos de Maxim. Después de comenzar la sesión, ya puede ingresar al modo de entrada matemático dentro de ella (el menú del modo de entrada se llama el primer botón en el panel de entrada) y al ingresar elementos de la notación matemática. Esta interfaz será más conveniente para aquellos que desean utilizar los resultados de los cálculos en sus textos y le gusta editarlos en modo visual.

Llegando al trabajo

Después de lanzar la sesión de Maxima, vemos tales líneas frente a ellos:

Maxima se reinició. (% I1)

El primero es un mensaje que el kernel de la máxima acaba de comenzar (en lugar de él, dependiendo de la versión y una asamblea específica, se puede mostrar información breve sobre el programa; El segundo es una invitación para ingresar al primer equipo. Un equipo máximo es cualquier combinación de expresiones matemáticas y funciones incorporadas, completadas, en el caso más sencillo, con un punto de coma. Después de ingresar el comando y presione "ENTER" MAXIMA, emitirá el resultado y esperará el siguiente comando:

Para las acciones aritméticas, se utilizan designaciones tradicionales: -, +, *, /; ** O ^ para el ejercicio, SQRT () para una raíz cuadrada.

Si para algunas designaciones no será obvio cómo grabarlas en la cadena, lo explicaré en el curso de la presentación.

Como puede ver, cada celda tiene su propia etiqueta; Esta etiqueta es un nombre de celda encerrado entre paréntesis. Las celdas de entrada se denominan% i con un número (I de aporte - Entrada), células de salida, como% O con el número correspondiente (O de producción. - producción). Desde el marco%, inicie todos los nombres de servicio incorporados: de modo que, por un lado, hágalos lo suficiente y cómodos de usar, y, por otro lado, para evitar posibles superposiciones con nombres personalizados, que a menudo son convenientes para hacer corto. Gracias a esta uniformidad, no tiene que memorizar, como ocurre a menudo en otros sistemas, cuáles de estos nombres cortos y convenientes están reservados por el programa, y \u200b\u200bque puede usar para sus necesidades. Por ejemplo, los nombres internos de% E y% PI están indicados por constantes matemáticas conocidas; Y hasta% C con el número se denota por las constantes utilizadas en la integración, para la cual el uso de la letra "C" es tradicionalmente en matemáticas.

Cuando ingrese, podemos contactar a cualquiera de las celdas anteriores por su nombre, sustituyéndolo en cualquier expresión. Además, la última celda de salida se denota en%, y la última celda de entrada es a través de _. Esto le permite recurrir al último resultado, sin distraer cuál es su número.

Aquí% + 47/59 es el mismo que% O1 + 47/59.

La salida de los resultados del cálculo no siempre se necesita en la pantalla; Se puede ahogarse, completando el comando al símbolo de $ en su lugar; . El resultado robado aún se calcula; Como puede ver, en este ejemplo, la celular% O1 y% O2 está disponible, aunque no se muestra (al celular% O2, la apelación pasa a través del símbolo%, cuyo significado se descifra anteriormente):

Cada nuevo comando no es necesario escribir desde una nueva línea; Si ingresa múltiples comandos en una sola línea, cada uno de ellos seguirá coincidirá con su nombre de celda. Por ejemplo, aquí en la fila después de la etiqueta% I1 se introdujeron de% I1 a% I4; En la celda% I3, se usan% I1 y% I2 (designado como _ - Entrada anterior):

En WXMAXIMA y TEXMACS, el último o único comando en la línea no se puede suministrar con el símbolo final, funcionará de la misma manera que se completará; , es decir. La conclusión no estará borracha. En otros ejemplos, a menudo omitiré; . Si elige otra interfaz, no olvide agregarlo.

Además de usar los nombres de las celdas, naturalmente podemos y darles nombres a cualquier expresión. De una manera diferente, podemos decir que asignamos valores de variables, con la diferencia de que cualquier expresión matemática puede actuar como el valor de tal variable. Esto se hace con la ayuda de un colon: el signo de igualdad se deja a las ecuaciones que, dado el contexto matemático general de la grabación, es más sencillo y más familiar. Y además, dado que el Mack principal de Maxima es el registro simbólico y los cálculos analíticos, las ecuaciones a menudo se usan con bastante frecuencia. Por ejemplo:

En cierto sentido, el colon es aún más visualmente en este contexto que el signo de igualdad: se puede entender que esto establecemos un tipo de designación, y luego desciframos a través del colon que indica. Después de nombrar la expresión, podemos llamarlo en cualquier momento por nombre:

Cualquier nombre puede ser limpiado por la función Matar () asignada, y libera la memoria ocupada por esta expresión. Para hacer esto, simplemente escriba matar (nombre), donde el nombre es el nombre de la expresión destruida; Además, puede ser tanto el nombre asignado para usted como para ninguna celda de entrada o salida. De la misma manera, puede borrar toda la memoria y liberar todos los nombres ingresando a Matar (todos). En este caso, todas las células de E / S se limpian, y su numeración comenzará nuevamente de la unidad. En el futuro, si el contexto debe deberse a la continuación lógica de las líneas de E / S anteriores, continuaré la numeración (ya he aprovechado esta recepción arriba). Cuando la nueva "Sesión" no está de ninguna manera conectada con la anterior, comenzaré la renovación de numeración; Será una indicación indirecta de hacer "Matar (todos), si escribe ejemplos en Maxima, ya que se pueden repetir los nombres de las variables y las células en tales" sesiones ".

Acceso a la documentación de Maxim.

En los ejemplos anteriores, usamos dos características incorporadas. Como es fácil adivinar desde el contexto, resolver es la función de resolver la ecuación, y la diferencia es la función de diferenciación. Casi todas las funciones máximas se implementan a través de tales funciones incorporadas. La función Maxima puede tener un número variable de argumentos. Por ejemplo, la función de resolución que utilizamos con un argumento se llama más a menudo con dos argumentos. El primero establece la ecuación o función cuyas raíces se deben encontrar; El segundo es una variable en relación con la cual se debe resolver la ecuación:

Si la fórmula que especifica la ecuación resuelta contiene solo un carácter, como en el ejemplo anterior, entonces se puede omitir el segundo argumento, ya que la elección, con respecto a la cual es necesario resolver la ecuación, sigue siendo inequívoca.

La segunda función de nuestros nuevos conocidos, Diff, también puede tomar un argumento; En este caso, encuentra el diferencial de la expresión especificada:

A través de Del (X) y del (Y), los diferenciales de los caracteres correspondientes se indican aquí.

Para cada función incrustada hay una descripción en la documentación de Maxima. Contiene información sobre qué argumentos y en los que se acepta las opciones, así como una descripción de su acción en diferentes casos y ejemplos específicos de aplicación. Pero, por supuesto, la búsqueda de una descripción de cada función deseada en la documentación de HTML o las páginas de información no siempre es conveniente, especialmente porque se necesita esta información, como regla general, justo en el proceso. Por lo tanto, Maxima tiene una función especial: describir (), que emite información de la documentación de palabras específicas. Además, especialmente para la conveniencia de obtener información de referencia, hay una versión abreviada de la llamada de esta función :? Nombre en lugar de describir (nombre). ¿Aquí? - Este es el nombre del operador, y el argumento debe estar separado de él un espacio (expresión? El nombre se usa para llamar a la función Lisp en nombre del nombre). Describir la función y el operador? Dé una lista de las particiones de los nombres de ayuda y nombre que contienen el texto especificado, después de lo cual ofrecen ingresar el número de la partición o la descripción de las funciones que desea ver:

Cuando elige una sección, se emitirá su contenido:

Si por la palabra que ingresaste después? o describa, se encontró una sola coincidencia, su descripción se mostrará de inmediato.

Además de la referencia, en muchas funciones de Maxima hay ejemplos de su uso. Un ejemplo se puede descargar a la función Ejemplo (). Llamar a esta función sin un argumento mostrará una lista de todos los nombres de los ejemplos disponibles; Llamar a la vista Ejemplo (nombre) descargará a la sesión actual y ejecutará el ejemplo especificado del ejemplo:

Resolviendo un problema con el lanzamiento desde debajo de Texmacs

Si tiene algún problema con el lanzamiento de la sesión de Maxima de TexMacs, preste atención a la OMS en su sistema actúa bajo el nombre / bin / sh. El hecho es que la inicialización de todas las sesiones diversas se implementa en TexMacs a través de los scripts de cáscara causados \u200b\u200bprecisamente con / bin / sh. Y en el script que cumple con la sesión máximo se utiliza, lo que no está estandarizado como obligatorio para / bin / sh, pero está presente en su emulación bash. En otras palabras, si usted / bin / sh no es referencia a / bash, y algo más, puede ser la razón de la imposibilidad de abrir una sesión máxima (por ejemplo, en Debian y las distribuciones según ello, excepto Bash Link / Bin / sh puede querer poner más fácil más fácil; En este caso, es posible restaurar el status quo usando DPKG-Reconfigure Dash). Si lo hace / bin / sh, a / bin / bash, no es posible, ¡puede intentar cambiar #! / Bin / sh en #! / Bin / bash en el / usr / lib / texmacs / texmacs / bin / maxima_detect expediente. Escribí sobre este problema a los desarrolladores de Texmacs, pero no he recibido ninguna de sus reacciones, por lo que no puedo decir aún, ya sea que esta falla se fije en las versiones más cercanas.

Principios básicos

El hecho de que Maxim está escrito en Lisp, una persona familiarizada con este lenguaje queda claro ya al comienzo de trabajar con el programa. De hecho, Maxime claramente trazó "LiPovsky", el principio de trabajar con datos, lo que resulta ser muy útil en el contexto de las matemáticas simbólicas y los cálculos analíticos. El hecho es que en Lisp, en general, no hay separación para objetos y datos: los nombres de la variable y la expresión se pueden usar en casi el mismo contexto. En Maxima, esta propiedad se desarrolla aún más fuerte: de hecho, podemos usar cualquier carácter, independientemente de si se le asigna alguna expresión. De forma predeterminada, un símbolo asociado con cualquier expresión enviará esta expresión; Un símbolo que no está conectado con nada se representará, se interpretará de nuevo como una expresión. Expliquemos en el ejemplo:

A partir de esto, en particular, en particular, que el valor del símbolo incluido en él se sustituye automáticamente en la expresión solo si este valor se ha atribuido al símbolo hasta que se determina la expresión:

Si algún carácter ya tiene algún valor, ¿podemos usar este símbolo en la expresión, y no su valor? Seguro. Puede hacer esto usando el signo del apóstrofe, ingresado frente a cualquier símbolo o expresión, evita su cálculo:

El resultado de la expresión% I12 sería similar y si B y Y no tuvieran valores en ese momento; Por lo tanto, podemos bloquear audazmente el cálculo del símbolo, ni siquiera recordar (o no saber), si se les da expresiones en absoluto.

De la misma manera, puede hacerlo con cualquier función incorporada si queremos no cumplirlo, sino para usarlo en nuestro contexto matemático. Por ejemplo, la función de diferenciación ya mencionada puede ser útil para designar el derivado en la ecuación diferencial; En este caso, por supuesto, no es necesario calcularlo:

Gracias a las características descritas, el trabajo en Maxim, por un lado, se aplica en gran medida al trabajo tradicional "manual" con fórmulas matemáticas, que prácticamente niega la barrera psicológica al comienzo de trabajar con el programa. Por otro lado, incluso en esta etapa inicial, en realidad se deshace de la más rutina hecha a mano, como rastrear los valores de los caracteres actuales, y puede enfocarte completamente en la tarea en sí. Por supuesto, el bloqueo de cálculo no es la única forma de influir en cómo la máxima calculará esta o esa expresión; Este proceso puede ser controlado bastante flexible.

Al ingresar a cada equipo y el resultado, como ya se señaló anteriormente, se asigna el número de secuencia.

El estilo de designación utilizado le permite referirse a los resultados obtenidos previamente, por ejemplo, de esta manera (%o 1) * (% o 2) - Se requieren los resultados para multiplicarse.

Para la última respuesta enMaxima. Hay una designación especial%. Y para el último comando _ (signo de adhesión).

Ejemplo: Calcular el valor de la funciónen los puntos x.= uNA., y calcular.

Se completó el comando (% I1) (apareció el resultado del% O1) y se determinó la función. Por lo tanto, los siguientes dos comandos (% I2) y (% i3) causaron (aunque de manera diferente) esta función para calcular los valores en los puntos específicos. Desde (% I4) se puede ver que la referencia a la línea de resultados (% O2) se puede escribir sin soportes ().

Operaciones matemáticas principales en Maxima se designan de la manera habitual: +,-, *, /. Se proporciona el ejercicio por conveniencia para registrar tres métodos diferentes ^, ^^, **. La señal de asignación es un colon« : ", Equipo para Maxima" A: 2; " Se debe leer de la siguiente manera: "Variable pero Asignar un número 2 ". Al final del equipo, excepto el punto con una coma " ; »Está permitido poner un signo de dólar $. Si hay un punto con un punto y coma, el resultado se muestra en la pantalla, si tiene un dólar, el resultado no se muestra en la pantalla, la excepción son los comandos para mostrar los gráficos que terminan con el dólar, pero mostrando el gráfico.

3.1. Variables en Maxim

Variables B.Maxima. Podría almacenar caracteres, expresiones analíticas, definiciones de funciones, valores lógicos "verdaderos", "falsos", listas, ecuaciones, líneas de texto celebradas en comillas dobles, como parte de las cuales son caracteres cirílicos y, por supuesto, números: todo , fracciones racionales, precisión fija real y sustancial con un punto flotante de precisión ilimitada de tipo% PI.

Del siguiente ejemplo se puede ver queMaxima es un matemático completamente terminado, por su variable. h. Y algo, ningún objeto incomprensible "Peter", no hay diferencia. Maxima.

En este ejemplo, Maxima se dividió ("Peter" 2-4) / ("Pete" -2) y recibió "Peter" +2. Luego, de Petya +2 \u200b\u200bMaxima, se quitó "Peter" y finalmente recibió un entero 2.

3.2. Posibles errores de cálculo.

Desde el siguiente ejemplo, se deduce que en las operaciones con números.Maxima "JUSTO" Solo para 16 números significativos y "Nada, la computadora no es ajena a ella", también tiene problemas puramente computacionales (ver% O3) con redondeo al calcular.

El hecho es que en los ejemplos dados.Maxima. Las calculas no son enteros, pero con aproximadas. Los cálculos no se realizan en el sistema decimal y no por el reemplazo formal de la división por la introducción de un multiplicador de 10 -5. La división se realiza real en el sistema binario. Los números aproximados tienen una coma flotante de longitud estándar. Los resultados se redondean de modo que quedan 16 dígitos significativos.

En este ejemplo, lo inesperado."Aditivo "Menor y es solo 0.3 * 10 -21.

En el siguiente ejemplo, es mucho más grande. Pero, como en el caso anterior, también es una consecuencia de las capacidades técnicas de la computadora en la implementación de operaciones aritméticas de punto flotante.

Debido a lo real realización de la computación aritmética, los resultados son inexactos: las respuestas% O3 y% O4 difieren de cero.

3.3. Registros

Si el comando grabado contiene un signo de igualdad,Maxima lo considera como una ecuación, desde la parte izquierda y derecha, de la cual se puede quitar un mismo y el mismo valor, y ambas partes de la ecuación se pueden multiplicar por el mismo valor, con multiplicación de dos ecuaciones, sus partes izquierdo y derecho son variables

3.4. Forma incierta de expresiones

Expresiones en Maxima. Puede tener dos formas: interino y incierto. En los casos en que la expresión solo debe mostrarse, no calcular ( forma incierta ), antes de que siga adelante poner un signo ′ (Cita simple). Por ejemplo, deseamos mostrar la misma tarea que vimos el primero en la ventana.Xmaxima. Por lo tanto, copie el texto del trabajo, agregue cotizaciones y llame al intérprete. Recibir

donde vemos que el primer ejemplo en la ventana.Xmaxima. Está dedicado al cálculo de la integral presentada aquí.

Sin embargo, el método especificado no funcionará si la expresión es un valor explícito, por ejemplo, la expresión ′ pecado (π ) Maxima. Considera cero y en presencia de un apóstrofe. Respectivamente ′ cO S (2 π ) Para Maxima. exactamente igual a uno.

Por otro lado, forzar la fuerza para forzar la expresión para calcular, es decir, traducirlo en la forma de actuación, debe colocar una sola cotización con dos veces (aplicar el operador del formulario activo. ′′ ).

3.5. Certificado de llamadas

Es difícil proporcionar una variedad de opciones posibles para la grabación de comandos para su usoMaxima. Para calcular o convertir expresiones. En casos difíciles, puede intentar obtener un certificado en inglés.

Llamar certificados ¿Debería escribir?tema y llame a un intérprete presionandoCambiar.+ Entrar.dónde tema - Esta palabra clave (tema) de referencias.

¿¿Equipo?? tema llamadas a la búsqueda en todos los temas de referencia que contengan una palabra clavetema.

En el siguiente ejemplo, queríamos preguntar sobre el signo factorial, pero no puso la brecha después de la cuestión de la pregunta (errónea).Maxima. respondió que no existe exactamente lo mismo que en la solicitud, (temas de coincidencia exacta).

Y aconsejado a probar (Intentar.) En segundo lugar (??) Pregunte con el propósito de obtener una respuesta completamente precisa. Que la respuesta fue insatisfactoriaMaxima informó en el formulario. falso En la línea de respuesta (% O1).

En la siguiente pregunta, también nos equivocamos (de nuevo no pusimos un espacio), pero quería preguntar por la funcióncos x.) Resultó poco claro para el programa y, por lo tanto, no recibió ninguna respuesta.

En el caso de Factorial (!) Con una consulta secundaria, Maxima dio una respuesta exhaustiva (que redujimos un poco)

En respuesta, Maxima creó por primera vez una lista numerada de respuestas (en este caso, ella tiene dos números 0 y 1), luego sugirió ingresar separados por un espacio (espacio - separado ) Números de sección o especificar todos (todo o nada ) de ellos. Después de la aclaración ( pero) que ella entendido como (todas. ), Maxima imprimió un certificado para el "factorial" solicitado.

3.6. Ingresando información numérica

Reglas de entrada de números enMaxima. exactamente, como para muchos otros programas similares. Una parte integral y fraccional de las fracciones decimales se divide por un símbolo. punto. Antes de que los números negativos pongan un signo. menos. El numerador y denominador de fracciones ordinarias se dividen utilizando un símbolo / barra directa).

Tenga en cuenta que si se obtiene una cierta expresión simbólica como resultado de la operación, y es necesario obtener un valor numérico específico en forma de una fracción decimal, resolverá esta tarea. numero. En particular, la opción. numero Le permite pasar de fracciones ordinarias a decimal:

AQUÍ MAXIMA En primer lugar, operado por defecto. Dobló la fracción 3/7 y 5/3 de acuerdo con las reglas de aritmética con precisión: se encuentra y llevó a la Frarávía al denominador general y dobló los números. Como resultado, ella recibió 44/21. Solo después de que le pedimos que obtenga una respuesta numérica, ella trajo una aproximación, con una precisión de 16 caracteres, una respuesta numérica 2.095238095238095.

3.7. Establecimiento y antigüedad de las operaciones.

Como se señaló anteriormente, la designación de operaciones aritméticas enMaxima. No difieren de la presentación clásica, se utilizan los mismos signos matemáticos: + - * /. Pero el ejercicio se proporciona a denotar de tres maneras: ^, ^^, **.

La extracción de raíz cuadrada produce la función SQRT (), la extracción de la raíz del grado nORTE. Escribe en un grado ^^ (1 / nORTE.).

En maxima. Se definen las operaciones estándar: encontrar un número factorial, (por ejemplo, 6! \u003d 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 \u003d 120) y el hallazgo de un doble factorial (por ejemplo, 6 !! \u003d 2· 4 · 6 = 48; 7! = 1 · 3 · 5 · 7.= 105).

Para aumentar la prioridad de la operación al recibir comandos de grabación para maximios, se usan soportes redondos ().

Como se puede ver en los resultados de los resultados del cálculo (% O13) - (% IO5), Maxima entiende correctamente la antigüedad de las operaciones: primero abogó por la construcción de la división en el grado y solo luego la operación de la división. Al ejecutar el comando (% I13), se elevó al grado 1 y dividió el resultado por 3, pero al ejecutar el equipo (% I14), se calculó la raíz del tercer grado, el resultado (% O15) es igual al trabajo (% O13) y (% O14).

3.8. Constantes

En maxima. Para la comodidad de los cálculos, hay una serie de constantes incorporadas, las más comunes de ellas se muestran en la siguiente tabla (Tabla 1):

tabla 1

Los nombres de las constantes y su designación en Maxima.

Nombre	Designacion
π (Número de pitagórica)
mI. (Número de Eulero)
Unidad imaginaria ()
+ ∞ (más infinito)
- ∞ (menos infinito)	minf.
Cierto	cierto.
Falso	falso
Complejo infinito	infinito.
izquierda (en relación con los límites)	menos.
derecha (en relación con los límites)	más.
Sección dorada ()	% phi.

3.9. Variables y expresiones.

Las variables se utilizan para almacenar los resultados de los cálculos intermedios. Tenga en cuenta que al ingresar los nombres de las variables, funciones y constantes, un registro de letras es importante. Así, variables X. yX. - Estas son dos variables diferentes.

La asignación del valor de la variable se lleva a cabo utilizando un símbolo. : (colon), por ejemplo, x: 5.

Si necesita eliminar el valor de la variable (limpiarla), se aplica el método.matar: Matar (x ) - Borra el valor de la variable X, y el comando Matar (Todos) elimina los valores de todas las variables utilizadas anteriormente. Y, además, el método de matanza comienza una nueva numeración para los comandos ejecutables (tenga en cuenta que la respuesta al comando (% i3) a continuación resultó ser una respuesta al número cero (% O0) hecho, y luego la numeración de los comandos comenzó de nuevo de la unidad).

Recordemos también que en una línea (ver%i. 1), puedes escribir varios comandos, dividiendo el último símbolo. ; (Punto con una coma) o un signo de $ (dólares), si no necesitamos mostrar el resultado en el monitor.

Las operaciones matemáticas en Maxima se utilizan para grabar expresiones. Todo en Maxima es expresiones, incluidas las expresiones matemáticas como tales, así como los objetos y los bloques de software. La expresión más simple es un átomo o un operador con argumentos.

Átomo - Símbolo (nombre), fila en comillas dobles, o un número (punto entero o flotante).Todas las expresiones de los no átomos están representados como oper.(a1. ,.., uN.), dónde oper -nombre del operador, A1, ..., uN -sus argumentos. Las expresiones se pueden mostrar de diferentes maneras, pero la representación interna es siempre la misma. Los argumentos de expresión pueden ser átomos o expresiones de no-átomos.

Equipo op.devuelve el operador, args. Devuelve los argumentos. átomodetermina si la expresión es un átomo.

Por ejemplo :

Función simbolyp. Devuelve "verdadero" si su argumento es un símbolo.

La función de dos argumentos FREEOF (,) () devuelve "verdadero" si su segundo argumento es gratuito (no contiene) el primer argumento.

La función de ZoeAquiv (,) comprueba si su argumento es -Function de un argumento - cero. ZEOQUIV vuelve "verdadero" si su argumento es cero y "falso" de lo contrario.

La función de ZoeAquiv puede ser útil en los casos en que el resultado de una serie de transformaciones no es la confianza de que la función resultante sea idéntica en la fuente.

3.10. Funciones matemáticas

Maxima tiene un gran conjunto de funciones matemáticas incorporadas. Los utilizados más frecuentemente se muestran en la tabla. 2.

Tabla 2

Funciones matemáticas incorporadas. Maxima.

Funciones	Designacion
Trigonométrico	pecado (seno), cos (cosine), tan (tangente), cuna (Cotangent)
Inverso trigonométrico	asin (Arksinus), acos (arkkosinus), atan (arcanens), acot (Arkkothangence)
Busca, kosyosons	sec (x) \u003d 1 / cos (x), (secciones), cSC (X) \u003d 1 / SIN (X), (COSAC)
Logaritmo natural	iniciar sesión ()
raíz cuadrada	sqrt ()
módulo	aBDOMINALES ()
resto de la división	modificación (,)
Mínimo de la lista	min (x1, ..., xn)
Máximo de la lista	max (x1, ..., xn)
Signo de argumento	Pos (x\u003e 0), Cero (x \u003d 0), firmar (x); \u003d Neg (x<0), PNZ - (no definido)
Número aleatorio	al azar (N. ) - todo, desde el intervalo si n-pista aleatorio (flotador (p )) - Un número de punto flotante

Debe tenerse en cuenta que algunos nombres de funciones difieren de los nombres utilizados en la literatura doméstica. Maxima se usa en lugar de TG - Tan, en lugar de CTG - COT, en lugar de ArcSin - ASIN, en lugar de Arccos - ACOS, en lugar de Arctg - Atan, en lugar de ArcCTG - ACOT, en lugar de LN - Log, en lugar de COSEC - CSC .

Ejemplos de uso de funciones:

3.11. Funciones de registro de reglas

Para escribir una función, debe especificar su nombre, y luego, entre paréntesis, escriba a través de la coma de los argumentos. Si el valor del argumento es la lista, consiste en corchetes, y los elementos de la lista también están separados por comas.

3.12. Funciones personalizadas

El usuario puede especificar sus propias funciones. Para hacer esto, primero indica el nombre de la función, los nombres de los argumentos se enumeran entre paréntesis, después de los signos := (colon e igual) sigue una descripción de una función que puede ser no inmadura. Después de la tarea, la función del usuario se llama exactamente como funciones incorporadas.Maxima.

Debe recordarse que no debe usar para los nombres del nombre reservado para las características integradasMaxima. (registrado arriba en la tabla. 2).

3.13. Traducción de expresiones complejas en la forma lineal.

Una de las clases más difíciles para usuarios principiantes del sistema.Maxima. es el registro de expresiones complejas que contienen grados, fracciones y otros diseños en forma lineal (en la forma de texto de grabación, conASCII. Símbolos, en una línea).

Para facilitar este proceso, son noteles dar varias recomendaciones:

1. ¡No olvides poner un signo de multiplicación! En una ventana gráficaMaxima. Según las reglas de las matemáticas dos veces el valor de la variable. h. escribe en forma de 2 x.Pero al grabar un equipo paraMaxima. debe parecerse a 2 * x.

2. Pero entre el nombre de la función y el soporte con el argumento, el signo de multiplicación no está escrito;pecado * (x ) - Aquí hay una señal de multiplicación adicional.

3. En caso de duda, siempre es mejor reorganizar y poner "extra", adicional soportes (). El denominador de numerador y expresión siempre necesita entrar en paréntesis. Al grabar el final del grado, la base y el grado es mejor tomar siempre entre paréntesis.

4. La función no existe por separado de sus argumentos (si corresponde). Por lo tanto, por ejemplo, cuando está incorporado en el grado de función de algún argumento, debe tomar toda la función con argumentos entre paréntesis, y luego construir el diseño resultante al grado deseado: (pecado (x. )) ** 2. Muy a menudo, los usuarios novatos están intentando tomar en un grado solo el nombre de la función, olvidando de los argumentos:pecado ** 2 (x ) - ¡no está bien!

5. También es necesario recordar que varios argumentos de función se registran entre paréntesis, a través de una coma, por ejemplo,min (x 1, x 2, x 3, x NORTE. ).

6. Grabación de función no válidapecado (2 * x) como pecado * 2 * x o sin 2 x . Recuerda cómoMaxima. Al escribir paréntesis: Tan pronto como intente escribir un soporte de descubrimiento, inmediatamente escribe la segunda sala de vapor: un soporte de cierre. Por lo tanto, al escribir funciones, escriba el nombre de la función, luego coloque los soportes vacíos después de ella y solo luego escriba todos sus argumentos en estos soportes, separándolos con comas. ¡No debe haber un diseño entre el nombre de la función y el soporte de apertura!

7. En el caso de registrar una expresión compleja, desplácese a varios componentes simples, ingrese por separado y luego combine utilizando la notación mencionada anteriormente.

Ejemplos de comandos simples para Maxima. :

Grabación matemática	Equipo para Maxima.
	(x + 2) / (y-7)
	(x + 3) ** (2 * y)
	pecado ((x-2) / (a \u200b\u200b+ 3))
	((X-2) / (A + 3) +2) / (4- (Y-7) / (B + 4)) + 12 * x

El ejercicio: NORTE. es necesario introducir la siguiente expresión:

Pautas: Dividimos esta expresión en tres componentes: consideraremos el numerador por separado, la expresión en el denominador entre paréntesis y el grado. Presentamos cada componente con nombre y nos unemos en la expresión.

Al ingresar al comando, la entrada errónea del comando paraMaxima. Puede seleccionar y eliminar de la pantalla gráfica (desde el teclado) y escriba y ejecutelo en su lugar (con el teclado presionandoCambiar.+ INGRESAR) Se debe esperar el comando correcto que el número de respuesta cambie.

Si hace clic en el triángulo de ABRAde con el mouse, el triángulo pintará, y la cadena estará oculta, y aparecerá el registro (1 líneas ocultas). Para eliminar de la pantalla y la respuesta, y el comando (bloque marcado en el soporte cuadrado izquierdo), sigue el mouse para seleccionar el soporte cuadrado en la entrada-respuesta, llame al botón derecho del mouse en el menú contextual y seleccione la opción Eliminar selección . Así que en ejemplos anteriores de la cadena con el comando (% i4) y con la respuesta (% O4) no, se eliminan.

Tenga en cuenta también que al grabar un equipo paraMaxima. (% O1) / (% O2) ** (% O3) En la línea (% i5), es bastante aceptable ser renovado y escribir de otro modo usando soportes adicionales para el denominador: (% O1) / ((% O2) ** (% O3)). PeroMaxima. Nos entendió correctamente sin estos "corchetes extras" y calculó la expresión introducida matemáticamente correctamente, porque entiende las matemáticas operaciones de inicio: En primer lugar, se calculan los argumentos (ya que están entre paréntesis) y las funciones, se realiza el ejercicio, luego el funcionamiento de la división y la multiplicación y solo luego la adición y la resta.

por 0):
a) y: 2 / x; x: 0; b) U: 0; V: 2 / u; c) z: 0; T: 2 / z; ¿y por qué?
3. ¿Cuál es el operador en las expresiones A) x ^ y; b) - t; c) x + y ;?

4. Qué responderá, si cumple con el comando: U - V; Op (%) ;?

5. ¿Qué es la ecualización? A) 4 * - 2; b) 4 * + 2; c) 4 ** - 2;?

6. ¿Cuáles son los argumentos en la expresión?fAS (P, Q): \u003d P - Q?

7. ¿Es un átomo de expresión ABC?

8. ¿Por qué en los siguientes ejemplosMaxima logró calcular numérica TG (π / 2) y, pero se negan a hacer cálculos numéricos para CTG (0)?

9. Qué respuesta le dará a Maxima si el equipo por ello será así:

10. ¿Qué es más? mI. π o π. MI.?

11. ¿Cuánto porcentaje más de los números comparados exceden los más pequeños?

12. ¿Qué responderá a Maxima si el equipo para ella será así:

Matemáticas completas

Alexander Bikmeev Se desmonta qué tan gratuito es la matemática informática y cómo el software gratuito es matemático.

Cualquier ciencia, de la física a la filología, utiliza los logros de las matemáticas. En relación con estos especialistas, los no matemáticos necesitan fondos que permiten establecer tareas en forma matemática y obtener soluciones en la fórmula o conjunto de valores, es decir, se necesitan sistemas de matemáticas informáticas, capaces de hacer soluciones laborales a los problemas matemáticos con varios métodos. .

Desafortunadamente, en nuestro país, dichos programas se distribuyen en un campo bastante estrecho de actividad científica, y no menos importante, esto se debe al hecho de que los escolares y los estudiantes no introducen paquetes matemáticos profesionales, el costo de una sola licencia a menudo es a menudo Calculado por miles y decenas de miles de rublos.

Lo invitamos a buscar en el mundo de los paquetes matemáticos gratuitos que se pueden descargar gratuitamente de Internet para usar para cualquier tipo de investigación (a veces con reservas), así como, debido a la presencia de textos de origen, estudiar su dispositivo interno y , Si lo desea, expanda su funcionalidad fuerzas propias.

Cálculos simbólicos

Los sistemas de matemáticas informáticos (SCM) están desarrollados durante mucho tiempo, y Maxima. () Fue uno de los primeros. Inicialmente, era un producto comercial, pero, sin mantener la competencia, el sistema se movió a la descarga libre.

Cáscara wxmaxima. y elemento de menú que le permite generar o eliminar de la pantalla del panel de operaciones matemáticas.

La ventaja principal Maxima. Antes de que otros sistemas gratuitos sean compatibles con cálculos simbólicos. Es decir, ingresar una expresión o ecuación analítica, puede obtener el resultado también en forma analítica.

Maxima. Le permite resolver las ecuaciones algebraicas, el sistema de ecuaciones, realizar la integración, las operaciones de diferenciación, la descomposición en una fila y así sucesivamente. Además, sabe cómo resolver ecuaciones diferenciales, tareas límite, desafíos de Cauchy, realizar cálculos algebraicos con matrices, construir gráficos y superficies especificadas por varias funciones en sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Todas las posibilidades son difíciles de enumerar.

Para scm Maxima. Desarrolló varias conchas, más convenientes de las cuales (para un usuario novato) es wxmaxima. (Ver Fig. 1). A partir de la versión 0.8.0, cambia rápidamente para mejor. La última versión (0.8.3) contiene características de los paquetes comerciales tan conocidos como Arce. y Mathcad.. El trabajo en este shell es bastante simple y le permite obtener resultados aceptables después de unos minutos de uso. Muchas operaciones cuyos nombres están presentes en el menú y en las barras de herramientas están equipadas con maestros convenientes que le permiten resolver tareas, ni siquiera conocer el idioma y los equipos incorporados. Maxima.. Bueno, otro hecho importante: todas las conchas para este SCM son russificadas. Además, habiendo estudiado el paquete gratuito. Maxima., los estudiantes podrán ser masterizados más fácilmente en paquetes comerciales, que se debe a la similitud de la interfaz relativa y la sintaxis utilizada (esto se aplica Maxima. y Arce.).

El sistema está perfectamente documentado, pero el material de referencia se representa solo en inglés. Nuestra revista publicó materiales educativos sobre el trabajo en SCM. Maxima. (LXF81-86). Siendo una aplicación de consola, Maxima. Puede funcionar en modo por lotes, es decir, se puede transmitir para procesar un archivo de texto con una lista de mensajes y recibir un archivo de texto nuevamente, y si consideramos que la salida se puede decorar con medios de sistema de marcado Texas.Esto le permite usarlo como base para construir sus propias aplicaciones. Un ejemplo de tal desarrollo es la expansión. Texmacs..

Sobre la base de la experiencia de aprendizaje existente, se puede decir que los estudiantes de cursos junior están dominando el trabajo en Maxima.rápidamente rápidamente y comienza a usarlo al realizar tareas para otros temas. Pero con cada curso tienen más y más problemas.

El hecho es que junto con una gran cantidad de momentos positivos. Maxima. También hay negativo. Primero, el resultado final, especialmente al resolver tareas complejas, depende en gran medida del nivel de conocimiento de las matemáticas y la experiencia de usar este SCM, porque a veces es necesario realizar transformaciones preliminares por su cuenta. En segundo lugar, Maxima. Funciona muy bien con expresiones algebraicas, pero trascendentales, logarítmicas y similares a ellos causan dificultades significativas. Sin embargo, si no puede obtener una solución analítica, siempre puede usar el cálculo numérico. Tercero, oportunidades Maxima. En la construcción de gráficos complejos o visualización, por ejemplo, campo vectorial, no vaya ninguna comparación con las posibilidades Arce.. Y, finalmente,, en cuarto lugar, para el trabajo completo, es necesario estudiar numerosos equipos y constantes. Maxima., Y esto requiere tiempo y paciencia.

Scm Maxima. Incluido en muchas distribuciones de Linux o al menos necesariamente presente en los repositorios. Está incluido en los productos educativos, como la Escuela Altlinux, Edubuntu y Edumandriva.

Ventana Smath Studio., en el que se define la función, se calcula su derivado y se construye el calendario.

Cabe señalar que los ingenieros todavía están acostumbrados a trabajar con una aplicación de calculadora tan poderosa como Mathcad.. Este es un sistema de cálculo de ingeniería disponible para cualquier plataforma (consulte los paquetes comerciales), pero para un dinero grave. Sin embargo, los empleadores requieren que los graduados puedan trabajar en este sistema. ¿Cómo ser instituciones educativas?

El proyecto de ahorro nació en nuestro país: Smath Studio. (http://ru.smath.info/forum/). Esto es gratis, pero, desafortunadamente, aún no es un producto gratuito, cuyo desarrollador, Andrei Ivashov, está tratando de crear una alternativa al monstruo. Mathcad., Y resulta esto (ver Fig. 2). La aplicación está diseñada para el medio ambiente. .Netoy luego adaptado para Mononucleosis infecciosa..

Smath Studio. Permite cálculos analíticos, operaciones con matrices, construir gráficos y calcular derivados, e incluso soporta funciones de programación. Desafortunadamente, la integración analítica aún no se ha apoyado, pero el producto está evolucionando con éxito, y en la caída de 2009, el autor termina el desarrollo de una infraestructura que permitirá el uso de módulos conectados a terceros. Quizás entonces el desarrollo de la solicitud entrará en un nuevo nivel, y obtendremos una alternativa completa. Mathcad..

También se debe tener en cuenta que en la primavera de 2009, por acuerdo con el autor, el producto se incluyó en la distribución educativa de EDUMANDRIVA. A pesar de la funcionalidad limitada, esta solicitud le permite realizar cálculos diarios a nivel de los escolares y cursos junior, así como los simples cálculos de ingeniería. Y si consideras que Smath Studio. Perfectamente se siente en las computadoras de bolsillo y los teléfonos inteligentes administrados por Windows Mobile, el conocido con él para los escolares y los estudiantes es simplemente necesario.

En el sitio web oficial, siempre hay documentación en los formatos DOC y ODT, y en el Foro Oficial, puede hacer preguntas al desarrollador o comunidad y discutir los algoritmos utilizados en el desarrollo de una solicitud.

Ventana wxmaxima. Con los resultados de los cálculos simbólicos y el gráfico de gráficos.

Al final de esta sección, quiero enfocarme en el hecho de que los paquetes de matemáticas simbólicas se emiten como resultado, y no el número. Considere el ejemplo que se muestra en la FIG. 3, en el que se define la función de usuario y se encuentra la segunda derivada para ello; Entonces la función está integrada. Al mismo tiempo se construyó el calendario. Por lo tanto, los escolares y los estudiantes pueden cumplir claramente el análisis completo de la función. Y esto no es todo: Maxima. Capaz de simplificar las expresiones al revelar soportes, brindar términos similares, realizar sustituciones y establecer ciertas condiciones y suposiciones impuestas a la expresión. Agregue aquí la posibilidad de soluciones simbólicas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, así como ecuaciones diferenciales, y usted entenderá que el estudiante moderno sin estas herramientas no puede hacer, y los maestros de disciplinas naturales pueden revivir las lecciones y las clases prácticas a través de la entrada de Tareas interactivas o material de demostración.

Cálculos numéricos

Como saben, no todas las tareas se pueden resolver analíticamente, es decir, para obtener una solución en forma de una determinada fórmula. Luego, varios métodos numéricos llegan al rescate, para obtener una solución con alguna precisión. El representante más famoso de las solicitudes para cálculos numéricos es el sistema de álgebra informática (SKA) Matlab.

Matlab Ampliamente distribuido en todo el mundo (consulte la comparación en LXF109), pero el costo de las licencias uniformes no es asequible no solo para las escuelas, sino también a muchas universidades rusas. En el extranjero también prefieren considerar el dinero, e investigar los recursos humanos en el desarrollo de análogos libres. Matlab. Considera algunos de ellos.

En primer lugar, en mi opinión, vale la pena detenerse en el proyecto. Gnu oxtave (http://www.gnu.org/software/octave/). Los desarrolladores están posicionando este sistema como un "lenguaje de programación de alto nivel para los cálculos numéricos". Como muchos proyectos gratuitos * NIX con una larga tradición, proporciona la interfaz de línea de comandos. Entrar en terminal oCTAVA - y (si, por supuesto, Gnu octava. Instalado en una computadora) Invitará a este sistema frente a usted. Comience a ingresar comandos, y los resultados de los cálculos se mostrarán en el terminal.

La interfaz de la línea de comandos tiene sus ventajas, ya que prácticamente no toma recursos informáticos informáticos, dejando toda la potencia del procesador al cálculo en sí, y no en una hermosa visualización de texto de texto y el resultado de los cálculos. Sin embargo, el usuario moderno rara vez está listo para aguantarlo.

. Cáscara qtoctave. Con la computación realizada.

Por mucho tiempo Gnu octava. No tenía una interfaz gráfica, hasta que finalmente no apareciera. qtoctave. (Ver Fig. 4). Esta cáscara le recuerda a la interfaz. Matlab y le permite automatizar la ejecución de algunas operaciones de rutina (por ejemplo, la construcción de gráficos) con la ayuda de maestros.

El lenguaje del sistema se hace similar al idioma. Matlab; En consecuencia, un hombre que ha dominado. Gnu octava.Será capaz de trabajar casi sin reentrenamiento. Matlab, a saber, es necesario para los empleadores. Además, los entusiastas del movimiento del software libre para el sistema crearon un número suficiente de paquetes de extensión. Debido a esto, las funciones de la SK en sí está creciendo constantemente. Bueno, y la presencia de documentación integral (aunque en inglés) tanto para el sistema como para los paquetes de extensión hace que este producto no solo sea rentable, sino también accesible para estudiar.

Las desventajas incluyen no una interfaz de concha conveniente. qtoctave.Además, la versión no se ha actualizado desde la caída de 2008 (la impresión se crea que el proyecto está abandonado). Los paquetes de extensiones no son ricos en características y no brillas con capacidades gráficas; Además, no son equivalentes, ya que la situación es tal que un proyecto es desarrollado por un estudiante de primer año, y el segundo, por ejemplo, un equipo de maestros de la universidad. Pero este es un proyecto completamente gratuito, con el que no puede preocuparse por la limpieza con licencia de las soluciones obtenidas.

El siguiente paquete que me gustaría tener en cuenta se llama. Scilab. (http://www.scilab.org), cuyo nombre en sí indica similitud Matlab. Inicialmente, también fue un producto comercial, y fue llamado Blaise, y entonces Basil. Sus creadores inspiraron las primeras versiones. MatlabY durante algún tiempo compitieron. Sin embargo, a principios de los 90, Simulog dejó de haberlo vendido, y luego seis desarrolladores del Instituto Nacional de Investigación Francés (INRIA) fundaron el proyecto. Scilab..

Scilab. Es ventajoso de su compañero en el taller por la interfaz desarrollada, la presencia de un número suficientemente grande de paquetes de expansión especializados, así como el hecho de que es apoyado por un consorcio. Scilab.que incluye importantes instituciones educativas y científicas de todo el mundo.

Interfaz Scilab 5.

Scilab. - El único sistema gratuito similar. MatlabTener su propia herramienta para modelos de bloques llamados SCIICOS.. En la distribución del producto, hay un editor de scripts incorporado y las funciones con la posibilidad de depuración. Scilab. Ha desarrollado posibilidades gráficas para crear aplicaciones de alta tecnología. Con la funcionalidad del sistema, puede leer, examinó los ejemplos de demostración, algunos de ellos son muy impresionantes (seleccione los elementos del menú ? \u003e Demostración de oportunidades.).

Scilab. Tiene una función en su composición, no solo para realizar todo tipo de operaciones en matrices, sino también para construir gráficos y superficies tridimensionales en varios sistemas de coordenadas, funciones para trabajar con algoritmos genéticos, resolviendo problemas en gráficos, funciones estadísticas, modelado de imitación Herramientas y mucho más. Cada año varias conferencias dedicadas al uso de ska. Scilab. En ciencia, educación y producción.

Hay varios libros en el mundo en la descripción de la obra en Scilab., así como resolver una serie de tareas especializadas. Lamentablemente, ninguno de ellos ha sido traducido al ruso. En Rusia, solo salieron dos libros, uno, en el marco del proyecto nacional, y en el segundo Scilab. Describe junto con paquetes no libres. Nuestra revista también ha impreso repetidamente libros de texto sobre el trabajo en Scilab. (LXF106-109 y), y, sin embargo, la documentación no es suficiente, y los materiales de referencia no siempre le permiten comprender cómo funciona una u otra función.

Freemat. - Un impresionante resultado de lo que un equipo es capaz de tres personas afines.

Quinta version Scilab. Marcó el comienzo de una nueva etapa en el desarrollo del sistema. La interfaz de aplicación ha cambiado (los desarrolladores rechazados GTK.-Enterface), comenzó a cambiar la herramienta de modelado de bloques. SCIICOS.que en octubre de 2009 debería cambiar su nombre en Xcos..

Otra variación sobre el tema. Matlab es un Freemat. (); Este paquete tiene otra característica general importante con MatlabA saber, el apoyo a la programación orientada a objetos. La interfaz del programa es suficientemente agradable. En la ventana principal implementó comandos automáticos. El sitio oficial tiene una guía completa para trabajar con el sistema (en inglés). La distribución del programa tiene una pequeña, según las normas actuales, el volumen es de 18 MB.

El sistema permite la solución numérica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, tanto lineal como no lineal, y procesamiento numérico de señales (ver Fig. 6); Es capaz de trabajar con matrices multidimensionales. Los principales momentos positivos. Freemat.en comparación con Scilab. y OCTAVASon una gran compatibilidad del sistema de idioma interno con el idioma. Matlab y use Open Para construir gráficos y superficies, como resultado de lo que se ven mejor.

Menos de lo mismo Freemat. son de baja velocidad (algunas tareas se resuelven a veces más lentas que en otros paquetes) y la falta de paquetes de expansión. Este sistema se está desarrollando solo por los esfuerzos del equipo de tres. El proyecto no tiene una comunidad grande.

Matemáticas remotas

Los sistemas mencionados anteriormente son proyectos locales, es decir, el trabajo con ellos se realiza en una máquina. Pero esto sucede inconveniente, por ejemplo, cuando se aprende de forma remota; Además, no todos los estudiantes estarán de acuerdo (y, a veces, pueden) poner estas aplicaciones en sus computadoras domésticas. En este caso, se necesitan fondos para el trabajo remoto con paquetes matemáticos.

Smath Studio vive.: Considere sin dejar el navegador (aunque no sea muy rápido).

Entre los considerados esta oportunidad proporciona Smath Studio.. En capitulo Vivir. El sitio oficial (http://smath.info/live) es una lista de trabajo virtual, en la que cualquiera puede realizar sus cálculos. El sistema es muy conveniente, aunque no brilla la velocidad.

Y, sin embargo, más profesional en este sentido. sabio (http://www.sagemath.org/). Este sistema consiste en un servidor web que proporciona una interfaz gráfica para interactuar con el código. Pitónen el que está escrito su núcleo. Cualquier usuario con su navegador web favorito puede conectarse al servidor, registrarse y recibir espacio personal por su cuenta. Puede ser abierto, y cerrarse, es decir, solo accesible para el administrador del servidor y al propio propietario. Las hojas de trabajo se pueden crear en el espacio personal, y se realizan todos los cálculos.

Dentro de la hoja de trabajo, puede usar cualquier idioma disponible, y tal mucho. Sistema predeterminado sabio Combina los siguientes productos: Gap, Maxima, Python, R, Látex. Además, se puede conectar. Octava, Axioma, Magma, Mathematica, Matlab, Maple, MUPAD otro. Como resultado, obtenemos un único servidor de trabajo remoto que le permite capacitar a los paquetes matemáticos y realizar cálculos utilizando sistemas de matemáticas de computadoras gratuitas y comerciales.

. Por razones incomprensibles sabio se niega a trabajar en Firefox.Pero de lo contrario, esta es una buena solución para el trabajo remoto.

El sistema de derechos de acceso a espacios personales y la posibilidad de colaborar con una hoja de trabajo de varios usuarios a la vez permite organizar la capacitación remota con una hoja de explicación del currículo que contiene ejemplos de resolución de problemas y hojas de asignación personal para cada estudiante.

Actualmente, hay varios públicos. sabio-Servicios: puede conectarse a ellos, consulte las hojas diseñadas en el acceso común, para tener su propio espacio personal y, en caso de dificultades, solicitar ayuda de la comunidad. Para hacer esto, simplemente haga pública una hoja de trabajo. Le aseguro: Desee ayudar mucho, el único problema es que el idioma de trabajo es el inglés.

Hay enlaces a un servidor público de prueba en el sitio web oficial (http://www.sagenb.org), así como en materiales de capacitación y libros creados utilizando este sistema. Regístrate y prueba sabio - Tal vez esto sea lo que estás buscando? También vale la pena señalar que no logramos ingresar al servidor en Firefox.Pero en otros navegadores no hubo problemas.

Entonces, revisamos los sistemas de matemáticas informáticos gratuitos más populares. Es posible usarlos en entrenamiento y trabajar, para resolverlo. Ya hemos hecho su elección, y no lo lamentamos.

Sistemas comerciales

Entre los sistemas comerciales son los tres más populares: Matlab (cálculos numéricos) Arce. (El principal énfasis está en cálculos simbólicos) y Mathematica. (Combina con éxito las aspiraciones de los dos primeros). Potente paquete de ingeniería se encuentra Mathcad.Dado que es más bien una calculadora de ingeniería grande, y no está destinada a resolver tareas complejas de física matemática o la teoría del cifrado, procesamiento de señales, etc.

Todos estos paquetes tienen versiones para las plataformas más comunes: Windows, Linux y Mac OS X. Damos el costo de una licencia de estos paquetes para instituciones académicas, según la lista de precios de la línea de software:

Matlab - 30 765 rublos;
Mathematica. - 9002 RUB;
Arce. - 36 286 rublos;
Mathcad. - 5290 rublos.

Conclusiones que puedes hacer nosotros mismos.

Operador de ciclo

El operador del ciclo se puede establecer de varias maneras. El método de ajuste depende de si se conoce de antemano cuántas veces es necesario realizar el cuerpo del ciclo.

Ejemplo: dejar de fumar el ciclo para emitir valores variables y en el rango de -3 a 10 en incrementos de 5:

Ejemplo: el ciclo para encontrar la suma de todos los números naturales al número 50 inclusive:

La siguiente posibilidad importante del sistema Maxima es trabajar con listas y matrices..

El comando Makelist se utiliza para generar listas. Por ejemplo, usando el comando

formamos una lista con el nombre X, que consta de diez elementos, válidos

El comando de matriz se usa para generar matrices. Por ejemplo, con la ayuda del comando,

formamos una matriz bidimensional A, que consta de 10 líneas y 5 columnas. Para llenar la matriz por elementos, usamos el ciclo con el parámetro. Por ejemplo,

Así llamado Gubina, E.V. Andropov

Para mostrar los elementos de la matriz en la pantalla, puede usar el comando:

Se puede formar una matriz sin anuncio previo. En el siguiente ejemplo, formamos una matriz unidimensional X, que consiste en 5 elementos, cuyos valores se calculan por la Fórmula X i \u003d Sin I.

El inconveniente de trabajar con matrices es que la salida de los valores de los elementos de la matriz se realiza en la columna. Es mucho más conveniente si los valores de la matriz (bidimensional) se muestran en forma de matriz. Para estos fines, puede utilizar el comando GenMatrix. Por ejemplo, para formar una matriz bidimensional (matriz), debe especificar el comando de la siguiente manera:

Retirar la matriz resultante:

1.7. Gestionar el proceso de computación en Maxima

El sistema Matemáticos de Maxima Computer se refiere a los sistemas de matemáticas simbólicas. Por lo tanto (por defecto) el sistema emite el resultado en forma simbólica. Es decir, si no especifica un comando especial, sistema

Capítulo 1 Conceptos básicos del trabajo en la computadora Matemáticas Mates Maxima

nunca presente los resultados obtenidos durante los cálculos en forma de un patrimonio aproximado. Por ejemplo, si ingresamos el comando para ingresar al comando2, obtendremos:

Si es necesario presentar el resultado en el curso de los cálculos en forma de un número real, entonces, en este caso, debe dar un sistema especial al sistema. Por ejemplo, puede hacerlo: Si desea obtener un valor aproximado de 2, luego seleccione el elemento del menú Cálculos numéricos → para flotar(incluyendo una precisión única) (orto bigfloat

(incluyendo la doble precisión)). El resultado se verá así:

El signo "%" en Maxima se utiliza para apelar al resultado obtenido en la última sesión del trabajo. Esto es conveniente si no es necesario ingresar a las variables de usuario y utilizar aún más los valores obtenidos.

Para controlar el proceso de cálculo, el llamado "Bloqueo de cálculo". El bloqueo se realiza utilizando un solo signo del apóstrofe. Su esencia:

– si pone la señal de apóstrofe antes del nombre o el nombre de la variable, entonces se bloquea el cálculo de la función en sí (pero no sus argumentos) o la variable;

– si pone un apóstrofe antes de que la expresión concluya en los paréntesis, entonces toda esta expresión seguirá siendo toda la expresión, es decir, todas las funciones que son parte de ella y todos los argumentos de estas funciones.

Por ejemplo, configure la función F X y compare los resultados obtenidos cuando intenta calcular el valor de la función en PointX \u003d 0.

Como puede ver, el signo de la apóstrofe ha bloqueado un intento de calcular el valor de la función en el primer caso.

Otro ejemplo:

Así llamado Gubina, E.V. Andropov

A diferencia de bloquear la computación utilizando dos signos del apóstrofe, por el contrario, puede hacer el sistema de computación. "Cálculo forzado". Por ejemplo,

aK se puede ver, el sistema se negó a calcular la integral, aunque no le dimos el comando para bloquear los cálculos. Si entregamos un doble apóstrofe frente al equipo, obtendremos el siguiente resultado:

Tenga en cuenta que en el sistema Maxima de forma predeterminada, todos los ángulos se miden en radianes. Por lo tanto, si desea trabajar con las esquinas en grados, será necesario recordar la fórmula de traducción de radianes a grados.

En la terminología Maxima, la no forma de expresión se llama "forma noun", calculada - "Forma de verbo".

El siguiente punto importante cuando se trabaja en sistemas de matemáticas informáticas es la capacidad de sustituir los valores de las variables o partes de las expresiones en la función, las expresiones. Considere algunas de las características del sistema proporcionadas para estos fines.

Por ejemplo, se requiere que exprese COS X 4SIN X-X en lugar de la variable para sustituir un valor particular, por ejemplo,.

Capítulo 1 Conceptos básicos del trabajo en la computadora Matemáticas Mates Maxima

Por lo tanto, el comando SUPERIOR le permite realizar una sustitución a la expresión de cualquier variable. De hecho, los comandos de sustitución en la expresión o función en maxima son varios.

1.8. Transformaciones más simples de expresiones.

De forma predeterminada, el sistema Maxima es la función de proyecto automático activo, es decir, El sistema intenta simplificar la expresión ingresada sin ningún equipo.

Ejemplo. Que se requiera que encuentre el valor de la siguiente expresión numérica.

1 1− 4

: 2 1 4 4 5 7.

Pongamos la expresión de acuerdo con las reglas del sistema Maxima.

Como puede ver, el sistema respondió al valor de la expresión, aunque no hicimos ningún equipo.

¿Cómo hacer que el sistema no traiga el resultado, sino la expresión en sí? Para hacer esto, la función de simplificación debe desactivarse utilizando el comando SIMP: False $. Entonces obtengamos:

Para activar la función de simplificación, debe configurar el comando SIMP: True $. La función de recuperación automática puede operar tanto con números como con algunas expresiones numéricas. Por ejemplo,

Así llamado Gubina, E.V. Andropov

Cuando ingrese, podemos contactar a cualquiera de las celdas anteriores por su nombre, sustituyéndolo en cualquier expresión. Además, la última celda de la salida se denota en%, y la última celda de entrada es a través de _. Esto le permite recurrir al último resultado, sin distraer cuál es su número. Pero tales apelaciones a las células no necesitan ser abusados, porque al sobreestimar el documento completo o sus células de entrada individuales, pueden ocurrir desacuerdos entre números celulares.

el resultado es 5 veces.

Preferiblemente, en lugar de nombres de celdas, use variables y asigne sus nombres a cualquier expresión. En este caso, en la forma del valor de la variable puede actuar cualquier expresión matemática.

Los nombres de los valores se guardan durante todo el trabajo con el documento. Recuerde que si necesita eliminar la definición de la variable, esto se puede hacer con la función Matar (nombre), donde el nombre es el nombre de la expresión que se está destruyendo; Además, puede ser tanto el nombre asignado para usted como para ninguna celda de entrada o salida. De la misma manera, puede borrar toda la memoria y liberar todos los nombres ingresando al comando Matar (todos) (o seleccione MAXIMA-\u003e Memoria clara (Memoria clara)). En este caso, todas las células de E / S se limpian, y su numeración comenzará nuevamente de la unidad.

La función de recuperación automática no siempre puede simplificar la expresión. Además, hay una serie de equipos que están diseñados para trabajar con expresiones: racional e irracional. Considera algunos de ellos.

rata (expresión): convierte una expresión racional a la forma canónica: revela todos los paréntesis, luego trae todo a un denominador común, resume y reduce; Cierte todos los números en el último registro decimal para Rational. La forma canónica se "canceló" automáticamente en caso de transformaciones que no son racionales.

rATSIMP (expresión): simplifica la expresión debido a las transformaciones racionales. Funciona, incluyendo "profundamente en", es decir, irracional

Capítulo 1 Conceptos básicos del trabajo en la computadora Matemáticas Mates Maxima

parte de la expresión no se consideran atómicos, sino simplificados, incluidos todos los elementos racionales dentro de ellos

fullratsimp (expresión) -la función de simplificar la expresión racional por el método de uso secuencial a la expresión transmitida de la función RatSimp (). Debido a esto, la función funciona ligeramente más que Ratsimp (), pero da un resultado más confiable.

expandir (expresión): revela corchetes en expresión en todos los niveles de anidamiento. A diferencia de la función RAPEXPAND (), las fracciones del tránsito al denominador general no conducen.

radcan (Expresión) es una función de simplificar las funciones logarítmicas, exponenciales y la energía con indicadores racionales no objetivo, es decir, raíces (radicales).

A menudo, solo su complicación puede ocurrir cuando se intenta simplificar la expresión en Maxima. Un aumento en el resultado puede ocurrir debido al hecho de que es desconocido qué valores pueden tomar variables incluidas en la expresión. Para evitar esto, debe estar restringido en los valores que la variable puede recibir. Esto se hace utilizando la función asumir. Por lo tanto, en algunos casos, el mejor resultado se puede lograr combinando Ratcan () con Ratsimp () o FullRatsimp ().

			- un 2 b 2
		aBA1 / 4.
Ejemplo. Simplificar la expresión	b a b a 2 1/4		un 2- b 2.

Si se aplica a nuestra expresión para simplificar racionalmente, obtenemos:

APLICAR LA FUNCIÓN DE ASUMEN (condición) y úsala a algunas variables incluidas en la expresión, restricciones en sus valores:

Así llamado Gubina, E.V. Andropov

Como puede ver, recibieron un resultado compacto.

1.9. Solución de ecuaciones algebraicas y sus sistemas.

EN el sistema Maxima para resolver ecuaciones lineales y no lineales se usa en función de resolución incorporada, que tiene la siguiente sintaxis:

resolver (expr, x): resuelve la ecuación de expr de algebraica en relación con la variablexx

resolver (expr): resuelve la ecuación de EXPR de algebraica con respecto a una variable desconocida incluida en la ecuación.

Por ejemplo, resolver la ecuación lineal 5 x + 8 \u003d 0. Para hacer esto, usamos el botón en la barra de herramientas, cuando hace clic en la cual aparece un cuadro de diálogo (Fig. 13). Presentamos la ecuación original y hagamos clic en Aceptar.

Higo. 13. Cuadro de diálogo para resolver ecuaciones.

Como resultado, se formará un equipo en el documento de trabajo para resolver la ecuación y la solución encontrada:

Capítulo 1 Conceptos básicos del trabajo en la computadora Matemáticas Mates Maxima

El comando para resolver las ecuaciones se puede establecer de tal manera que pueda verificar fácilmente las decisiones encontradas. Para hacer esto, es recomendable utilizar el comando de sustitución de EV.

Por ejemplo, resolvemos la ecuación algebraica x 3 + 1 \u003d 0 y realizamos la verificación de las decisiones encontradas.

Como resultado, se obtuvieron tres raíces. Bajo el nombre de Resh, tenemos una lista de valores: las raíces de la ecuación. Los elementos de la lista están en corchetes y separados de uno de los otros semicol. A cada elemento de este tipo de la lista, puede ponerse en contacto con su número. Lo usamos al verificar las soluciones: sustituiremos alternativamente cada una de las raíces en la ecuación original.

Usando el comando allanots (expr), puede encontrar todas las soluciones aproximadas de la ecuación algebraica. Este comando se puede usar si el comando SOLVE no pudo encontrar la solución a la ecuación o la solución se obtiene demasiado engorracante, como, por ejemplo, para la siguiente ecuación: (1 + 2 x) 3 \u003d 13.5 (1 + x 5) .

Así llamado Gubina, E.V. Andropov

Usando el comando SOLVE, puede encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones lineales.

Ð x +2 y +3 z +4 k +5 m \u003d 13
	2 x + y + 2 z + 3 k + 4 m \u003d 10

	2 x + 2 y + z + 2 k + 3 m \u003d 11 se puede resolver de la siguiente manera:

	2 x + 2 y + 2 z + k + 2 m \u003d 6

ï 2 x +2 y +2 z +2 k + m \u003d 3

1. Guarde cada una de las ecuaciones del sistema bajo los nombres EQ1, EQ2, EQ3, EQ4, EQ5.

2. Encontramos la solución del sistema.

3. Realice la verificación de la solución encontrada:

Por lo tanto, al sustituir la solución obtenida en cada una de las ecuaciones del sistema, se obtuvo la igualdad fiel.

La función de resolución del sistema Maxima puede resolver las ecuaciones lineales en caso de que la solución no sea solo. Luego, se refleja a las designaciones del tipo% r_number para mostrar que una variable desconocida es gratuita y puede tomar cualquier valor.

Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, puede usar el comando ALGSYS. Por ejemplo, encuentra la solución del sistema de ecuaciones.